1.12: Serie Taylor

Una serie Taylor de una función\(f(x)\) sobre un punto\(x = a\) es una representación de serie de potencia\(f(x)\) desarrollada de manera que todas las derivadas de\(f(x)\) al\(a\) coincidir con todas las derivadas de la serie de potencia. Sin preocuparnos por la convergencia aquí, tenemos\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\nonumber\]

Observe que el primer término en la serie power coincide\(f(a)\), todos los demás términos desapareciendo, el segundo término coincide\(f'(a)\), todos los demás términos desapareciendo, etc. Comúnmente, la serie Taylor se desarrolla con\(a = 0\). También haremos uso de la serie Taylor en una forma ligeramente diferente, con\(x = x_* + \epsilon\) y\(a = x_*\):

\[f(x_*+\epsilon)=f(x_*)+f'(x_*)\epsilon+\frac{f''(x_*)}{2!}\epsilon^2+\frac{f'''(x_*)}{3!}\epsilon^3+\cdots\nonumber\]

Otra forma de ver esta serie es la de\(g(\epsilon ) = f(x_* + \epsilon)\), expandida sobre\(\epsilon = 0\).

Las series de Taylor que se utilizan comúnmente incluyen\[\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots , \\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots , \\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots , \\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1, \\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,\quad\text{for }|x|<1.\end{aligned}\]