2.1: El tipo más simple de ecuación diferencial

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Las ecuaciones diferenciales ordinarias más simples se pueden integrar directamente encontrando antiderivadas. Estas odas más simples tienen la forma\[\frac{d^nx}{dt^n}=G(t),\nonumber\] donde la derivada de\(x = x(t)\) puede ser de cualquier orden, y el lado derecho puede depender solo de la variable independiente\(t\). Como ejemplo, considere una masa que cae bajo la influencia de la gravedad constante, como la que se encuentra aproximadamente en la superficie de la Tierra. La ley de Newton\(F = ma\),, da como resultado la ecuación\[m\frac{d^2x}{dt^2}=-mg,\nonumber\] donde\(x\) está la altura del objeto sobre el suelo,\(m\) es la masa del objeto, y el\(g = 9.8\) metro/s\(^{2}\) es la aceleración gravitacional constante. Como sugirió Galileo, la masa se cancela de la ecuación, y\[\frac{d^2x}{dt^2}=-g.\nonumber\]

Aquí, el lado derecho de la oda es una constante. La primera integración, obtenida por antidiferenciación, rinde\[\frac{dx}{dt}=A-gt,\nonumber\] con\(A\) la primera constante de integración; y la segunda integración rinde\[x=B+At-\frac{1}{2}gt^2,\nonumber\] con\(B\) la segunda constante de integración. Las dos constantes de integración\(A\) y luego se\(B\) pueden determinar a partir de las condiciones iniciales. Si sabemos que la altura inicial de la masa es\(x_0\), y la velocidad inicial es\(v_0\), entonces las condiciones iniciales son\[x(0)=x_0,\quad\frac{dx}{dt}(0)=v_0.\nonumber\]

La sustitución de estas condiciones iniciales en las ecuaciones para\(dx/dt\) y nos\(x\) permite resolver para\(A\) y\(B\). La solución única que satisface tanto la oda como las condiciones iniciales viene dada por\[\label{eq:1}x(t)=x_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2.\]

Por ejemplo, supongamos que dejamos caer una bola de la parte superior de un edificio de\(50\) metros. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en golpear el suelo? Esta pregunta requiere solución de\(\eqref{eq:1}\) por el tiempo\(T\) que toma para\(x(T) = 0\), dado\(x_0 = 50\) medidor y\(v_0 = 0\). Resolviendo para\(T\),\[\begin{aligned}T&=\sqrt{\frac{2x_0}{g}} \\ &=\sqrt{\frac{2\cdot 50}{9.8}}\text{sec} \\ &\approx 3.2\text{sec.}\end{aligned}\]