4.7: Resonancia
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La resonancia ocurre cuando la frecuencia del término no homogéneo coincide con la frecuencia de la solución homogénea. Para ilustrar la resonancia en su forma de realización más simple, consideramos la oda lineal no homogénea de segundo orden \[\label{eq:1}\overset{..}{x}+\omega_0^2x=f\cos\omega t,\quad x(0)=x_0,\quad \overset{.}{x}(0)=u_0.\]
Nuestro principal objetivo es determinar qué sucede con la solución en el límite\(\omega\to\omega_0\).
La ecuación homogénea tiene ecuación característica\[r^2+\omega_0^2=0,\nonumber\] por lo que\(r_{\pm}=\pm i\omega_0\). Por lo tanto, \[\label{eq:2}x_h(t)=c_1\cos\omega_0t+c_2\sin\omega_0t.\]
Para encontrar una solución particular, notamos la ausencia de un término de primera derivada, y simplemente intentamos\[x(t)=A\cos\omega t.\nonumber\]
Tras la sustitución en la oda, obtenemos\[-\omega^2A+\omega_0^2A=f,\nonumber\] o\[A=\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}.\nonumber\]
Por lo tanto,\[x_p(t)=\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}\cos\omega t.\nonumber\]
Nuestra solución general es así\[x(t)=c_1\cos\omega_0t+c_2\sin\omega_0t+\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}\cos\omega t,\nonumber\] con derivados\[\overset{.}{x}(t)=\omega_0(c_2\cos\omega_0t-c_1\sin\omega_0t)-\frac{f\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\sin\omega t.\nonumber\]
Se cumplen las condiciones iniciales cuando\[\begin{aligned}x_0&=c_1+\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}, \\ u_0&=c_2\omega_0,\end{aligned}\] así\[c_1=x_0-\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2},\quad c_2=\frac{u_0}{\omega_0}.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución a la oda que satisface las condiciones iniciales es\[\begin{aligned}x(t)&=\left(x_0-\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}\right)\cos\omega_0t+\frac{u_0}{\omega_0}\sin\omega_0t+\frac{f}{\omega_0^2-\omega^2}\cos\omega t \\ &=x_0\cos\omega_0t+\frac{u_0}{\omega_0}\sin\omega_0t+\frac{f(\cos\omega t-\cos\omega_0t)}{\omega_0^2-\omega^2},\end{aligned}\] donde hemos agrupado términos proporcionales a la amplitud de forzamiento\(f\).
La resonancia ocurre en el límite\(\omega\to\omega_0\); es decir, la frecuencia del término no homogéneo (la fuerza externa) coincide con la frecuencia de la solución homogénea (la oscilación libre). Por regla de L'Hospital, el límite del término proporcional a\(f\) se encuentra diferenciando con respecto a\(\omega\):
\[\begin{align}\underset{\omega\to\omega_0}{\lim}\frac{f(\cos\omega t-\cos\omega_0t)}{\omega_0^2-\omega^2}&=\underset{\omega\to\omega_0}{\lim}\frac{-ft\sin\omega t}{-2\omega} \nonumber \\ &=\frac{ft\sin\omega_0t}{2\omega_0}\label{eq:3}.\end{align}\]
En resonancia, el término proporcional a la amplitud\(f\) del término no homogéneo aumenta linealmente con\(t\), resultando en amplitudes de oscilación mayores y mayores para\(x(t)\). En general, si el término no homogéneo en la ecuación diferencial es una solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente, entonces el ansatz correcto para la solución particular es una constante multiplicada por los tiempos del término no homogéneo\(t\).
Para ilustrar más este mismo ejemplo, volvemos a la oda original, que ahora se supone que está exactamente en resonancia,\[\overset{..}{x}+\omega_0^2x=f\cos\omega_0t,\nonumber\] y encontramos una solución particular directamente. La solución particular es la parte real de la solución particular de\[\overset{..}{z}+\omega_0^2z=fe^{i\omega_0t}.\nonumber\]
Si lo intentamos\(z_p = Ce^{i\omega_0t}\), obtenemos\(0 = f\), demostrando que la solución particular no es de esta forma. Debido a que el término no homogéneo es una solución de la ecuación homogénea, debemos tomar como nuestro ansatz\[z_p=Ate^{i\omega_0t}.\nonumber\]
Tenemos\[\overset{.}{z}_p=Ae^{i\omega_0 t}(1+i\omega_0t),\quad\overset{..}{z}_p=Ae^{i\omega_0 t}\left(2i\omega_0-\omega_0^2t\right);\nonumber\] y tras la sustitución en la oda\[\begin{aligned}\overset{..}{z}_p+\omega_0^2z_p&=Ae^{i\omega_0t}\left(2i\omega_0-\omega_0^2t\right)+\omega_0^2Ate^{i\omega_0t} \\ &=2i\omega_0Ae^{i\omega_0 t} \\ &=fe^{i\omega_0t}.\end{aligned}\]
Por lo tanto,\[A=\frac{f}{2i\omega_0},\nonumber\] y\[\begin{aligned}x_p&=\text{Re}\left\{\frac{ft}{2i\omega_0}e^{i\omega_0t}\right\} \\ &=\frac{ft\sin\omega_0t}{2\omega_0},\end{aligned}\] el mismo resultado que\(\eqref{eq:3}\).
Encuentre una solución particular de\(\overset{..}{x}-3\overset{.}{x}-4x=5e^{-t}\).
Solución
Si intentamos ingenuamente el ansatz\[x=Ae^{-t},\nonumber\] y sustituimos esto en la ecuación diferencial no homogénea, obtenemos\[A+3A-4A=5,\nonumber\] o\(0 = 5\), lo cual es claramente una tontería. Por lo tanto, nuestro ansatz no logra encontrar una solución. La causa de esta falla es que la ecuación homogénea correspondiente tiene solución\[x_h=c_1e^{4t}+c_2e^{-t},\nonumber\] para que el término no homogéneo\(5e^{−t}\) sea una de las soluciones de la ecuación homogénea. Para encontrar una solución particular, por lo tanto, debemos tomar como nuestro ansatz\[x=Ate^{-t},\nonumber\] con primera y segunda derivados dados por\[\overset{.}{x}=Ae^{-t}(1-t),\quad\overset{..}{x}=Ae^{-t}(-2+t).\nonumber\]
Sustitución en los rendimientos de la ecuación diferencial\[Ae^{-t}(-2+t)-3Ae^{-t}(1-t)-4Ate^{-t}=5e^{-t}.\nonumber\]
Los términos que contienen\(t\) cancelar fuera de esta ecuación, resultando en\(−5A = 5\), o\(A = −1\). Por lo tanto, la solución particular es\[x_p=-te^{-t}.\nonumber\]