4.6: ODEs lineales inhomogéneas de primer orden revisitadas

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La oda lineal de primer orden se puede resolver mediante el uso de un factor integrador. Aquí muestro que las odas que tienen coeficientes constantes pueden ser resueltas por nuestro método de solución recién aprendido.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver\(\overset{.}{x}+2x=e^{-t}\) con\(x(0)=3/4\).

Solución

En lugar de utilizar un factor integrador, seguimos el enfoque de tres pasos:

encontrar la solución homogénea general;
encontrar una solución particular;
agregarlos y satisfacer las condiciones iniciales.

En consecuencia, probamos el ansatz\(x_h (t) = e^{rt}\) para la oda homogénea\(\overset{.}{x}+ 2x = 0\) y encontramos\[r+2=0,\quad\text{or}\quad r=-2.\nonumber\]

Para encontrar una solución particular, probamos el ansatz\(x_p(t) = Ae^{−t}\), y tras la sustitución\[-A+2A=1,\quad\text{or}\quad A=1.\nonumber\]

Por lo tanto, la solución general a la oda es\[x(t)=ce^{-2t}+e^{-t}.\nonumber\]

La condición inicial única determina la constante desconocida\(c\):

\[x(0)=\frac{3}{4}=c+1,\nonumber\]para que\(c=-1/4\). Por lo tanto,\[\begin{aligned}x(t)&=e^{-t}-\frac{1}{4}e^{-2t} \\ &=e^{-t}\left(1-\frac{1}{4}e^{-t}\right).\end{aligned}\]