5.4: Términos discontinuos o impulsivos

Ahora resolvemos algunas oda más desafiantes con términos inhomogéneos discontinuos o impulsivos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver\(2\overset{..}{x}+\overset{.}{x}+2x=u_5(t)-u_{20}(t)\), con\(x(0)=\overset{.}{x}(0)=0\)

Solución

El término no homogéneo aquí es una función step-up, step-down que es unidad en el intervalo\((5, 20)\) y cero en otra parte. Tomando la transformación de Laplace de la oda usando la Tabla 5.1.1,\[2\left(s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)\right)+sX(s)-x(0)+2X(s)=\frac{e^{-5s}}{s}-\frac{e^{-20s}}{s}.\nonumber\]

Usando los valores iniciales y resolviendo\(X(s)\), encontramos\[X(s)=\frac{e^{-5s}-e^{-20s}}{s(2s^2+s+2)}.\nonumber\]

Para determinar la solución para ahora\(x(t)\) necesitamos encontrar la transformada inversa de Laplace. Las funciones exponenciales se pueden tratar utilizando la línea 13 del Cuadro 5.1.1. Escribimos\[X(s)=(e^{-5s}-e^{-20s})H(s),\nonumber\] donde\[H(s)=\frac{1}{s(2s^2+s+2)}.\nonumber\]

Después usando la línea 13, tenemos \[\label{eq:1}x(t)=u_5(t)h(t-5)-u_{20}(t)h(t-20),\]donde\(h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}\).

Para determinar\(h(t)\) necesitamos la expansión parcial de la fracción de\(H(s)\). Dado que el discriminante de\(2s^2 + s + 2\) es negativo, tenemos\[\frac{1}{s(2s^2+s+2)}=\frac{a}{s}+\frac{bs+c}{2s^2+s+2},\nonumber\] cediendo la ecuación\[1=a(2s^2+s+2)+(bs+c);\nonumber\] o después de equiparar poderes de\(s\),\[2a+b=0,\quad a+c=0,\quad 2a=1,\nonumber\] ceder\(a=\frac{1}{2}\),\(b=-1\), y\(c=-\frac{1}{2}\). Por lo tanto,\[\begin{aligned}H(s)&=\frac{1/2}{s}-\frac{s+\frac{1}{2}}{2s^2+s+2} \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{2}}{s^2+\frac{1}{2}s+1}\right).\end{aligned}\]

Inspeccionando la Tabla 5.1.1, el primer término se puede transformar usando la línea 2, y el segundo término se puede transformar usando las líneas 8 y 9, siempre que completemos el cuadrado del denominador y luego masajeemos el numerador. Es decir, primero completamos la plaza:

\[s^2+\frac{1}{2}s+1=\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16};\nonumber\]y a continuación escribimos\[\frac{s+\frac{1}{2}}{s^2+\frac{1}{2}s+1}=\frac{\left(s+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{\sqrt{15}}\sqrt{\frac{15}{16}}}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}.\nonumber\]

Por lo tanto, la función\(H(s)\) puede escribirse como\[H(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{\left(s+\frac{1}{4}\right)}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}-\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)\frac{\sqrt{\frac{15}{16}}}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}\right).\nonumber\]

El primer término se transforma usando la línea 2, el segundo término usando la línea 9 y el tercer término usando la línea 8. Finalmente obtenemos \[\label{eq:2}h(t)=\frac{1}{2}\left(1-e^{-t/4}\left(\cos (\sqrt{15}t/4)+\frac{1}{\sqrt{15}}\sin (\sqrt{15}t/4)\right)\right),\]cuál cuando se combina con\(\eqref{eq:1}\) rinde la solución bastante complicada para\(x(t)\).

Comentamos brevemente que también es posible resolver este ejemplo sin usar la transformada de Laplace. La idea clave es que ambos\(x\) y\(\overset{.}{x}\) son funciones continuas de\(t\). Claramente a partir de la forma del término no homogéneo y las condiciones iniciales,\(x(t) = 0\) para\(0 ≤ t ≤ 5\). Luego resolvemos la oda entre\(5 ≤ t ≤ 20\) con el término no homogéneo igual a unidad y condiciones iniciales\(x(5) =\overset{.}{x}(5) = 0\). Esto requiere primero encontrar la solución homogénea general, luego encontrar una solución particular, y luego agregar las soluciones homogéneas y particulares y resolver para las dos constantes desconocidas. Para simplificar el álgebra, tenga en cuenta que el mejor ansatz para usar para encontrar la solución homogénea es\(x(t) = e^{r(t−5)}\), y no\(x(t) = e^{rt}\). Finalmente, resolvemos la oda homogénea para\(t ≥ 20\) usar como condiciones límite los valores previamente determinados\(x(20)\) y\(\overset{.}{x}(20)\), donde hemos hecho uso de la continuidad de\(x\) y\(\overset{.}{x}\). Aquí, el mejor ansatz para usar es\(x(t) = e^{r(t−20)}\). El alumno podrá beneficiarse probando esto como ejercicio e intentando obtener una solución final que concuerde con la forma dada por\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:2}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resuelve\(2\overset{..}{x}+\overset{.}{x}+2x=\delta (t-5)\) con\(x(0)=\overset{.}{x}(0)=0\)

Solución

Aquí el término no homogéneo es un impulso en el tiempo\(t = 5\). Tomando la transformada de Laplace de la oda usando la Tabla 5.1.1, y aplicando las condiciones iniciales, de\[(2s^2+s+2)X(s)=e^{-5s},\nonumber\] manera que\[\begin{aligned}X(s)&=\frac{1}{2}e^{-5s}\left(\frac{1}{s^2+\frac{1}{2}s+1}\right) \\ &=\frac{1}{2}e^{-5s}\left(\frac{1}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}\right) \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{15}}e^{-5s}\left(\frac{\sqrt{\frac{15}{16}}}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}\right).\end{aligned}\]

La transformada inversa de Laplace ahora puede calcularse usando las líneas 8 y 13 de la Tabla 5.1.1:

\[\label{eq:3}x(t)=\frac{2}{\sqrt{15}}u_5(t)e^{-(t-5)/4}\sin (\sqrt{15}(t-5)/4).\]

Es interesante resolver este ejemplo sin usar una transformada de Laplace. Claramente,\(x(t) = 0\) hasta el momento del impulso en\(t = 5\). Además, después del impulso la oda es homogénea y puede resolverse con métodos estándar. La única dificultad es determinar las condiciones iniciales de la oda homogénea en\(t = 5^+\).

Cuando el término no homogéneo es proporcional a una función delta, la solución\(x(t)\) es continua a través de la singularidad de la función delta, pero la derivada de la solución\(\overset{.}{x}(t)\) es discontinua. Si integramos la oda de segundo orden a través de la singularidad en\(t = 5\) y consideramos\(\epsilon\to 0\), solo sobrevive el segundo término derivado del lado izquierdo, y\[\begin{aligned}2\int_{5-\epsilon}^{5+\epsilon}\overset{..}{x}dt&=\int_{5-\epsilon}^{5+\epsilon}\delta (t-5)dt \\ &=1.\end{aligned}\]

Y como\(\epsilon\to 0\), tenemos\(\overset{.}{x}(5^+)− \overset{.}{x}(5^-) = 1/2\). Ya que\(\overset{.}{x}(5^-) = 0\), las condiciones iniciales apropiadas inmediatamente después de la fuerza de impulso son\(x(5^+) = 0\) y\(\overset{.}{x}(5^+) = 1/2\). Este resultado se puede confirmar usando\(\eqref{eq:3}\).