1.1: Conjunto de problemas

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Para cada una de las ODEs siguientes, escríbala como un sistema de primer orden, establezca las variables dependientes e independientes, establezca cualquier parámetro en la ODE (es decir, constantes no especificadas) y establezca si es lineal o no lineal, y autónoma o no autónoma,
(a)

\(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+sin \theta = Fcos(\omega t)\),\(\theta \in \mathbb{S}^1\).

b)

\(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+\theta = Fcos(\omega t)\),\(\theta \in \mathbb{S}^1\).

c)

\(\frac{d^{3}y}{dx^3}+x^{2}y\frac{dy}{dx}+y = 0\),\(x \in \mathbb{R}^1\).

d)

\(\ddot{x}+\sigma\dot{x}+x-x^3 = \theta\),

\(\ddot{\theta} + sin \theta = 0\),\((x,\theta) \in \mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^1\)

e)

\(\ddot{\theta}+\sigma\dot{\theta}+sin \theta = x\),

\(\ddot{x}-x+x^3 = 0\),\((\theta, x) \in \mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^1\)
Considere el campo vectorial:
\(\dot{x} = 3x^\frac{2}{3}\),\(x(0) \ne 0\),\(x \in \mathbb{R}\).

¿Este campo vectorial tiene soluciones únicas?
Considere el campo vectorial:
\(\dot{x} = -x+x^2\),\(x(0) = x_{0}\),\(x \in \mathbb{R}\).

Determinar el intervalo de tiempo de existencia de todas las soluciones en función de la condición inicial,\(x_{0}\).
Considere el campo vectorial:
\(\dot{x} = a(t)x+b(t)\),\(x \in \mathbb{R}\).

Determinar condiciones suficientes sobre los coeficientes a (t) y b (t) para los cuales las soluciones existirán para siempre. ¿Los resultados dependen de la condición inicial?