2.2: ODE lineales de segundo orden de coeficiente constante
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Resolver ecuaciones de coeficiente constante
Supongamos que tenemos el problema
\[ y'' - 6y' + 8y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 6 \nonumber \]
Se trata de una ecuación homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Coeficientes constantes significa que las funciones delante de\( y''\)\(y'\),, y\(y\) son constantes y no dependen de ellas\(x\).
Para adivinar una solución, piensa en una función que sabes que permanece esencialmente igual cuando la diferenciamos, para que podamos tomar la función y sus derivadas, sumar algunos múltiplos de estos juntos, y terminar con cero.
Intentemos \(^{1}\)una solución de la forma\(y = e^{rx}\). Entonces\(y' = re^{rx}\) y\(y'' = r^2e^{rx}\). Enchufe para obtener
\[\begin{align}\begin{aligned} y''-6y'+8y & = 0 , \\ \underbrace{r^2 e^{rx}}_{y''} -6 \underbrace{r e^{rx}}_{y'}+8 \underbrace{e^{rx}}_{y} & = 0 , \\ r^2 -6 r +8 & = 0 \qquad \text{(divide through by } e^{rx} \text{)},\\ (r-2)(r-4) & = 0 .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
De ahí, si\(r = 2\) o\(r = 4\), entonces\(e^{rx}\) es una solución. Así que vamos\(y_1 = e^{2x} \) y\(y_2 = e^{4x}\).
Verifica eso\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones.
Solución
Las funciones\(e^{2x}\) y\(e^{4x}\) son linealmente independientes. Si no fueran linealmente independientes podríamos escribir\(e^{4x} = Ce^{2x}\) para alguna constante\(C\), implicando eso\(e^{2x} = C\) para todos\(x\), lo que claramente no es posible. De ahí que podamos escribir la solución general como
\[ y = C_1e^{2x} + C_2e^{4x} \nonumber \]
Tenemos que resolver para\(C_1\) y\(C_2\). Para aplicar las condiciones iniciales primero encontramos\( y' = 2C_1e^{2x} + 4C_2e^{4x}\). Enchufamos\(x = 0\) y resolvemos.
\[\begin{align}\begin{aligned} -2 &= y(0) = C_1 + C_2 \\ 6 &= y'(0) = 2C_1 + 4C_2 \end{aligned}\end{align} \nonumber \]
O bien aplicar algún álgebra matricial, o simplemente resolverlos por matemáticas de secundaria. Por ejemplo, divida la segunda ecuación por 2 para obtener\(3 = C_1 + 2C_2\), y restar las dos ecuaciones para obtener\(5 = C_2\). Entonces\(C_1 = -7\) como\(-2 = C_1 + 5 \). De ahí que la solución que estamos buscando es
\[ y = -7e^{2x} + 5e^{4x} \nonumber \]
Generalicemos este ejemplo en un método. Supongamos que tenemos una ecuación
\[ \label{eq:6}ay'' +by' +cy = 0, \]
donde\( a, b, c \) están las constantes. Pruebe la solución\( y = e^{rx} \) para obtener
\[ ar^2 e^{rx} + bre^{rx} + ce^{rx} = 0 \nonumber \]
Dividir por\(e^{rx}\) para obtener la denominada ecuación característica de la ODE:
\[ ar^2 + br + c = 0 \nonumber \]
Resuelve para el\(r\) usando la fórmula cuadrática.
\[ r_1, r_2 = \dfrac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} \nonumber \]
Por lo tanto, tenemos\(e^{r_1x}\) y\(e^{r_2x}\) como soluciones. Todavía hay una dificultad si\(r_1 = r_2 \), pero no es difícil de superar.
Supongamos que\(r_1\) y\(r_2\) son las raíces de la ecuación característica.
Si\( r_1\) y\(r_2\) son distintos y reales (cuando\( b^2 - 4ac > 0 \)), entonces\(\eqref{eq:6}\) tiene la solución general
\[ y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \nonumber \]
Si\(r_1 = r_2 \) (sucede cuando\( b^2 - 4ac = 0 \)), entonces\(\eqref{eq:6}\) tiene la solución general
\[ y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x} \nonumber \]
Para otro ejemplo del primer caso, tomemos la ecuación\(y'' - k^2y = 0 \). Aquí la ecuación característica es\( r^2 - k^2 = 0 \) o\( (r - k)(r + k) = 0 \). En consecuencia,\(e^{-kx} \) y\(e^{kx} \) son las dos soluciones linealmente independientes.
Resolver
\[y''-k^{2}y=0. \nonumber \]
Solución
La ecuación característica es\(r^{2}-k^{2}=0\) o\((r-k)(r+k)=0\). En consecuencia,\(e^{-kx}\) y\(e^{kx}\) son las dos soluciones linealmente independientes, y la solución general es\[y=C_{1}e^{kx}+C_{2}e_{-kx}. \nonumber \]
Desde\(\cosh s=\frac{e^{s}+e^{-s}}{2}\) y\(\sinh s=\frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\), también podemos escribir la solución general como\[y=D_{1}\cosh (kx)+D_{2}\sinh (kx). \nonumber \]
Encuentre la solución general de\[ y'' - 8y' + 16y = 0 \nonumber \]
Solución
La ecuación característica es\( r^2 - 8r + 16 = {( r - 4)}^2 = 0 \). La ecuación tiene una raíz doble\( r_1 = r_2 = 4 \). La solución general es, por lo tanto,
\[ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x} \nonumber \]
Verifica eso\( e^{4x} \) y\( xe^{4x}\) son linealmente independientes.
- Responder
-
Eso\( e^{4x} \) resuelve la ecuación es clara. Si\( xe^{4x}\) resuelve la ecuación, entonces sabemos que hemos terminado. Vamos a calcular\( y' = e^{4x} + 4xe^{4x} \) y\( y'' = 8e^{4x} + 16xe^{4x} \). Enchufe
\[ y'' - 8y' + 16y = 8e^{4x} + 16xe^{4x} - 8(e^{4x} + 4xe^{4x} ) + 16xe^{4x} = 0 \nonumber \]
Debemos señalar que en la práctica, la raíz duplicada rara vez ocurre. Si los coeficientes se escogen de manera verdaderamente aleatoria, es muy poco probable que obtengamos una raíz duplicada.
Demos una breve prueba de por qué la solución\(xe^{rx}\) funciona cuando se duplica la raíz. Este caso es realmente un caso limitante de cuando las dos raíces son distintas y muy cercanas. Tenga en cuenta que\( \frac {e^r2^x - e^x1^x}{r_2 - r_1} \) es una solución cuando las raíces son distintas. Cuando tomamos el límite como\(r_1\) va a\(r_2\), realmente estamos tomando la derivada de\(e^{rx} \) usar\(r\) como variable. Por lo tanto, el límite es\( xe^{rx}\), y de ahí esta es una solución en el caso de raíz duplicada.
2.2.2 Números complejos y fórmula de Euler
Puede suceder que un polinomio tenga algunas raíces complejas. Por ejemplo, la ecuación no\( r^2 + 1 = 0 \) tiene raíces reales, pero sí tiene dos raíces complejas. Aquí revisamos algunas propiedades de números complejos.
Los números complejos pueden parecer un concepto extraño, sobre todo por la terminología. No hay nada imaginario ni realmente complicado en los números complejos. Un número complejo es simplemente un par de números reales,\( (a, b) \). Podemos pensar en un número complejo como un punto en el plano. Agregamos números complejos de la manera sencilla,\( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) \). Definimos multiplicación por
\[(a,b) \times (c,d) \overset{\text{def}}{=} (ac-bd,ad+bc) . \nonumber \]
Resulta que con esta regla de multiplicación, se mantienen todas las propiedades estándar de la aritmética. Además, y lo más importante\(( 0, 1) \times (0,1) = (-1, 0 )\).
Generalmente solo escribimos\( (a, b) \) como\( (a + ib)\), y tratamos\(i\) como si fuera un desconocido. Hacemos aritmética con números complejos tal como lo haríamos con polinomios. El inmueble que acabamos de mencionar se convierte\( i^2 = -1\). Entonces cada vez que vemos\(i^2\), lo reemplazamos por\(-1\). Los números\(i\) y\(-i\) son las dos raíces de\(r^2 + 1 = 0\).
Tenga en cuenta que los ingenieros a menudo usan la letra\(j\) en lugar de\(i\) para la raíz cuadrada de\(-1\). Utilizaremos la convención y el uso de los matemáticos\(i\).
Asegúrate de entender (que puedes justificar) las siguientes identidades:
- \( i^2 = -1, i^3 = -1, i^4 = 1 \),
- \( \frac {1}{i} = -i \),
- \( (3 -7i)(-2 -9i) = \dots = -69 - 13i \),
- \( (3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - {(2i)}^2 = 3^2 + 2^2 = 13 \),
- \( \frac {1}{3-2i} = \frac {1}{3-2i} \frac {3+2i}{3+2i} = \frac{3+2i}{13} = \frac {3}{13} + \frac{2}{13} i \).
También podemos definir el exponencial\(e^{a+ib}\) de un número complejo. Esto lo hacemos anotando la serie Taylor y enchufando el número complejo. Debido a que la mayoría de las propiedades de lo exponencial se pueden probar observando la serie Taylor, estas propiedades aún se mantienen para el exponencial complejo. Por ejemplo la propiedad muy importante:\(e^{x+y} = e^xe^y\). Esto significa que\(e^{a+ib} = e^ae^{ib} \). De ahí que si podemos calcular\(e^{ib}\), podemos calcular\(e^{a+ib}\). Para\(e^{ib}\) nosotros utilizamos la llamada fórmula de Euler.
Fórmula de Euler
\[ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \quad { \it{~and~ } }\quad e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta \nonumber \]
En otras palabras,\(e^{a+ib}=e^{a}(\cos (b)+i\sin (b))=e^{a}\cos (b)+ie^{a}\sin (b)\).
Usando la fórmula de Euler, verifique las identidades:
\[ \cos \theta = \frac { e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \quad\text{and}\quad \sin \theta = \frac { e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2} \nonumber \]
Identidades de doble ángulo: Comience con\( e^{i (2 \theta)} = {(e^{i \theta})}^2 \). Use Euler on each side y deduzca:
- Responder
-
\[ \cos (2 \theta) = {\cos}^2 \theta - {\sin}^2 \theta \quad\text{and}\quad \sin (2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \nonumber \]
Para un número complejo\(a + ib\) llamamos a\(a\) la parte real y a\(b\) la parte imaginaria del número. A menudo se utiliza la siguiente notación,
\[ \text{Re}(a + ib) =a \quad\text{and}\quad \text{Im} (a + ib) = b \nonumber \]
2.2.3 Raíces complejas
Supongamos que la ecuación\( ay'' + by' + cy = 0\) tiene la ecuación característica\(ar^2 + br + c = 0 \) que tiene raíces complejas. Por la fórmula cuadrática, las raíces son\( \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\). Estas raíces son complejas si\(b^2 - 4ac < 0 \). En este caso las raíces son
\[r_1, r_2 = \frac {-b}{2a} \pm i \dfrac { \sqrt {4ac - b^2}}{2a} \nonumber \]
Como puedes ver, siempre obtenemos un par de raíces de la forma\( \alpha \pm i \beta \). En este caso aún podemos escribir la solución como
\[ y = C_1e^{(\alpha + i \beta )x} + C_2e^{(\alpha - i\beta)x} \nonumber \]
Sin embargo, lo exponencial es ahora complejo valorado. Tendríamos que\(C_2\) permitir\(C_1\) y ser números complejos para obtener una solución de valor real (que es lo que buscamos). Si bien no hay nada particularmente malo en este enfoque, puede dificultar los cálculos y generalmente se prefiere encontrar dos soluciones de valor real.
Aquí podemos usar la fórmula de Euler. Vamos
\[ y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x} \quad\text{and}\quad y_2 = e^{( \alpha - i \beta ) x} \nonumber \]
Entonces tenga en cuenta que
\[\begin{align}\begin{aligned} y_1 &= e^{ax} \cos (\beta x) + ie^{ax} \sin ( \beta x) \\ y_2 &= e^{ax} \cos (\beta x) - ie^{ax} \sin (\beta x) \end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Las combinaciones lineales de soluciones también son soluciones. De ahí que,
\[\begin{align}\begin{aligned} y_3 &= \frac {y_1 + y_2}{2} = e^{ax} \cos (\beta x) \\ y_4 &= \frac {y_1 - y_2}{2i} = e^{ax} \sin (\beta x) \end{aligned}\end{align} \nonumber \]
son también soluciones. Además, son de valor real. No es difícil ver que son linealmente independientes (no múltiplos entre sí). Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.
Para la ODE homegneous de segundo orden
\[ ay'' + by' + cy = 0 \nonumber \]
Si la ecuación característica tiene las raíces\( \alpha \pm i \beta \) (cuando\( b^2 - 4ac < 0 \)), entonces la solución general es
\[ y = C_1e^{ax} \cos (\beta x) + C_2e^{ax} \sin (\beta x) \nonumber \]
Encuentra la solución general de\( y'' + k^2 y = 0 \), para una constante\( k > 0 \).
Solución
La ecuación característica es\(r^2 + k^2 = 0 \). Por lo tanto, las raíces son\( r = \pm ik \) y por el teorema tenemos la solución general
\[ y = C_1 \cos (kx) + C_2 \sin (kx) \nonumber \]
Encuentra la solución de\(y'' - 6y' + 13y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 10. \)
Solución
La ecuación característica es\( r^2 - 6r + 13 = 0 \). Al completar la plaza obtenemos\( {(r -3)}^2 + 2^2 = 0 \) y de ahí las raíces son\( r = 3 \pm 2i\). Por el teorema tenemos la solución general
\[y = C_1e^{3x} \cos (2x) + C_2 e^{3x} \sin (2x) \nonumber \]
Para encontrar la solución que satisfaga las condiciones iniciales, primero conectamos cero para obtener
\[ 0 = y(0) = C_1e^0 \cos 0 + C_2e^0 \sin 0 = C_1 \nonumber \]
De ahí\(C_1 = 0 \) y\(y = C_2e^{3x} \sin (2x) \). Diferenciamos
\[ y' = 3C_2 e^{3x} \sin (2x) + 2C_2e^{3x} \cos (2x) \nonumber \]
Nuevamente enchufamos la condición inicial y obtenemos\(10 = y'(0) = 2C_2\), o\( C_2 = 5 \). De ahí que la solución que estamos buscando es
\[ y = 5e^{3x} \sin (2x) \nonumber \]
Notas al pie
[1] Hacer una conjetura educada con algunos parámetros para resolver es una técnica tan central en las ecuaciones diferenciales, que la gente a veces usa un nombre elegante para tal suposición: ansatz, alemán para “colocación inicial de una herramienta en una pieza de trabajo”. Sí, los alemanes tienen una palabra para eso.