4.E: Serie de Fourier y PDEs (Ejercicios)
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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería" de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.
4.1: Problemas de valor límite
Pista para los siguientes ejercicios: Tenga en cuenta que cuando\( \lambda>0\), entonces\( \cos( \sqrt{\lambda}(t-a))\) y también\( \sin( \sqrt{\lambda}(t-a))\) son soluciones de la ecuación homogénea.
Calcular todos los valores propios y funciones propias de\( x''+ \lambda x=0, x(a)=0, x(b)=0\) (asumir\(a<b\)).
Calcular todos los valores propios y funciones propias de\( x''+ \lambda x=0, x'(a)=0, x'(b)=0\) (asumir\(a<b\)).
Calcular todos los valores propios y funciones propias de\( x''+ \lambda x=0, x'(a)=0, x(b)=0\) (asumir\(a<b\)).
Calcular todos los valores propios y funciones propias de\( x''+ \lambda x=0, x(a)=x(b), x'(a)=x'(b)\) (asumir\(a<b\)).
Nos hemos saltado el caso del\( \lambda <0\) problema del valor límite\( x''+ \lambda x=0, x(- \pi)=x( \pi), x'(- \pi)=x'(\pi)\). Terminar el cálculo y mostrar que no hay valores propios negativos.
Considera una cuerda giratoria de longitud 2 y densidad lineal 0.1 y tensión 3. Encuentra la velocidad angular más pequeña cuando sale la cuerda.
- Contestar
-
\(\omega=\pi\sqrt{\frac{15}{2}}\)
Supongamos\( x''+ \lambda x=0\) y\( x(0)=1, x(1)=1\). Encuentra todos\( \lambda\) para los cuales hay más de una solución. También encuentre las soluciones correspondientes (sólo para los valores propios).
- Contestar
-
\(\lambda_{k}=4k^{2}\pi^{2}\)para\(k=1,\:2,\: 3,\ldots\)\(x_{k}=\cos (2k\pi t)+B\sin (2k\pi t)\) (para cualquier\(B\))
Supongamos\( x''+ x=0\) y\( x(0)=0, x'(\pi)=1\). Encuentre todas las soluciones si las hay.
- Contestar
-
\(x(t)=-\sin (t)\)
Considerar\( x'+ \lambda x=0\) y\( x(0)=0, x(1)=0\). ¿Por qué no tiene ningún valor propio? ¿Por qué cualquier ecuación de primer orden con dos condiciones de punto final como la anterior no tiene valores propios?
- Contestar
-
La solución general es\(x=Ce^{-\lambda t}\). Desde\(x(0)=0\) entonces\(C=0\), y así\(x(t)=0\). Por lo tanto, la solución siempre es idéntica a cero. Una condición siempre es suficiente para garantizar una solución única para una ecuación de primer orden.
Supongamos\( x'''+ \lambda x=0\) y\( x(0)=0, x'(0)=0, x(1)=0\). Supongamos que\( \lambda >0\). Encuentra una ecuación que todos esos valores propios deben satisfacer. Pista: Tenga en cuenta que\( - \sqrt[3]{\lambda}\) es una raíz de\( r^3+\lambda =0\).
- Contestar
-
\(\frac{\sqrt{3}}{3}e^{\frac{-3}{2}\sqrt[3]{\lambda}}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\left(\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{\lambda}}{2}\right)+\sin\left(\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{\lambda}}{2}\right)=0\)
4.2: La serie trigonométrica
Supongamos que\(f(t)\) se define en\([- \pi,\pi]\) como\(\sin(5t)+ \cos(3t)\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Supongamos que\(f(t)\) se define en\([- \pi,\pi]\) como\( |t|\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Supongamos que\(f(t)\) se define en\([- \pi,\pi]\) como\( |t|^3\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Supongamos que\(f(t)\) se define\((- \pi,\pi]\) como
\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{cc} -1&~~~~ {\it{~if~}} - \pi < t \leq 0, \\ 1& {\it{~if~}} 0 < t \leq \pi. \end{array} \right. \]
Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Supongamos que\(f(t)\) se define en\((- \pi,\pi]\) como\(t^3\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Supongamos que\(f(t)\) se define en\([- \pi,\pi]\) como\(t^2\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier de\(f(t)\).
Hay otra forma de la serie de Fourier usando exponenciales complejos\(e^{nt}\) para\(n=\ldots ,-2,\: -1,\: 0,\: 1,\: 2,\ldots\) en lugar de\(\cos(nt)\) y\(\sin (nt)\) para positivos\(n\). A veces puede ser más fácil trabajar con este formulario. Ciertamente es más compacto escribir, y solo hay una fórmula para los coeficientes. A la baja, los coeficientes son números complejos.
Let
\[ f(t)= \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} a_n \cos(nt)+b_n \sin(nt).\]
Usa la fórmula de Euler\( e^{i \theta}= \cos(\theta) + i \sin(\theta)\) para demostrar que existen números complejos\( c_m\) tales que
\[ f(t)=\sum^{\infty}_{m=- \infty} c_m e^{imt}.\]
Tenga en cuenta que la suma ahora abarca todos los enteros, incluidos los negativos. No se preocupe por la convergencia en este cálculo. Pista: Puede ser mejor partir de la forma exponencial compleja y escribir la serie como
\[ c_0+ \sum^{\infty}_{m=1} c_m e^{imt}+c_{-m}e^{-imt}.\]
Supongamos que\(f(t)\) se define en\([- \pi,\pi]\) como\( f(t)= \sin(t)\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier.
- Contestar
-
\(\sin (t)\)
Supongamos que\(f(t)\) se define en\((- \pi,\pi]\) como\( f(t)= \sin(\pi t)\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier.
- Contestar
-
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi -n)\sin (\pi n+\pi^{2})+(\pi +n)\sin (\pi n-\pi^{2})}{\pi n^{2}-\pi^{3}}\sin (nt)\)
Supongamos que\(f(t)\) se define en\((- \pi,\pi]\) como\( f(t)= \sin^2(t)\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier.
- Contestar
-
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2t)\)
Supongamos que\(f(t)\) se define en\((- \pi,\pi]\) como\( f(t)= t^4\). Extender periódicamente y calcular la serie de Fourier.
- Contestar
-
\(\frac{\pi^{4}}{5}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(8\pi^{2}n^{2}-48)}{n^{4}}\cos (nt)\)
4.3: Más información sobre la serie de Fourier
Dejar\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \it{if}& - 1 < t \leq 0, \\ t & \it{if} & 0 < t \leq 1, \end{array} \right. \] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
Dejar\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} -t & \it{if}& - 1 < t \leq 0, \\ t^2 & \it{if} & 0 < t \leq 1, \end{array} \right. \] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
Dejar\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{-t}{10} & \it{if}& - 10 < t \leq 0, \\ \dfrac{t}{10} & \it{if} & 0 < t \leq 10, \end{array} \right. \] extendido periódicamente (periodo es 20).
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\it{rd}}\) armónica.
Vamos\(f(t)= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3} \cos(nt)\). ¿Es\( f(t)\) continuo y diferenciable en todas partes? Encuentra la derivada (si existe en todas partes) o justifica por qué no\(f(t)\) es diferenciable en todas partes.
Vamos\(f(t)= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n} \sin(nt)\). ¿Es\( f(t)\) diferenciable en todas partes? Encuentra la derivada (si existe en todas partes) o justifica por qué no\( f(t)\) es diferenciable en todas partes.
Dejar\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & ~~~\it{if}~ - 2 < t \leq 0, \\ t & \it{if} ~ 0 < t \leq 1, \\ -t+2 & \it{if} ~ 1 < t \leq 2, \end{array} \right. \] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
Dejar\[ f(t)=e^t ~~~~~ \it{for}~ -1<t \leq 1\] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
- ¿A qué converge la serie en\(t=1\).
Dejar\[ f(t)=t^2 ~~~~~ \it{for}~ -1<t \leq 1\] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Al enchufar\( t=0\), evaluar\( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}= 1 - \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}- \cdots .\)
- Ahora evalúe\( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}= 1 + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+ \cdots .\).
Dejar\[f(t)=\left\{\begin{array}{lll}{0}&{\text{if}}&{-3<t\leq 0,} \\ {t}&{\text{if}}&{0<t\leq 3,}\end{array}\right.\] extendido periódicamente. Supongamos que\(F(t)\) es la función dada por la serie de Fourier de\(f\). Sin computar la serie de Fourier evaluar.
- \(F(2)\)
- \(F(-2)\)
- \(F(4)\)
- \(F(-4)\)
- \(F(3)\)
- \(F(-9)\)
Dejar\[ f(t)=t^2 ~~~~~ \it{for}~ -2<t \leq 2\] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
- Contestar
-
- \(\frac{8}{6}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16(-1)^{n}}{\pi^{2}n^{2}}\cos\left(\frac{n\pi}{2}t\right)\)
- \(\frac{8}{6}-\frac{16}{\pi^{2}}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+\frac{4}{\pi^{2}}\cos\left(\pi t\right)-\frac{16}{9\pi ^{2}}\cos\left(\frac{3\pi}{2}t\right)+\cdots\)
Dejar\[ f(t)=t ~~~~~ \it{for}~ \lambda<t \leq \lambda ~(\it{for~some} ~ \lambda) \] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Escribe la serie explícitamente hasta la\( 3^{\text{rd}}\) armónica.
- Contestar
-
- \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2\lambda }{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{\lambda}t\right)\)
- \(\frac{2\lambda}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{\lambda}t\right)-\frac{\lambda}{\pi}\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}t\right)+\frac{2\lambda}{3\pi}\sin\left(\frac{3\pi}{\lambda}t\right)-\cdots\)
Vamos a\[ f(t)= \dfrac{1}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n^2+1)} \sin(n \pi t).\] Calentar\( f'(t)\).
- Contestar
-
\(f'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi}{n^{2}+1}\cos(n\pi t)\)
Let\[ f(t)= \dfrac{1}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3)} \cos(nt).\]
- Encuentra el antiderivado.
- ¿El antiderivado es periódico?
- Contestar
-
- \(F(t)=\frac{t}{2}+C+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}\sin (nt)\)
- no
Dejar\[ f(t)=\dfrac{t}{2} ~~~~~ \it{for}~ - \pi<t \leq \pi\] extendido periódicamente.
- Calcular la serie de Fourier para\( f(t)\).
- Enchufe\( t= \dfrac{\pi}{2}\) para encontrar una representación en serie para\(\dfrac{\pi}{4}\).
- Utilizando los primeros 4 términos del resultado de la parte b) aproximado\(\dfrac{\pi}{4}\).
- Contestar
-
- \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin (nt)\)
- \(f\)es continuo en\(t=\frac{\pi}{2}\) por lo que la serie de Fourier converge a\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}\). Obtener\(\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\).
- Usando los primeros\(4\) términos get\(76/105\approx 0.72\) (una aproximación bastante mala, tendrías que tomar sobre\(50\) términos para empezar a llegar a dentro\(0.01\) de\(\frac{\pi}{4}\)).
Dejar\[f(t)=\left\{\begin{array}{lll}{0}&{\text{if}}&{-2<t\leq 0,} \\ {2}&{\text{if}}&{0<t\leq 2,}\end{array}\right.\] extendido periódicamente. Supongamos que\(F(t)\) es la función dada por la serie de Fourier de\(f\). Sin computar la serie de Fourier evaluar.
- \(F(0)\)
- \(F(-1)\)
- \(F(1)\)
- \(F(-2)\)
- \(F(4)\)
- \(F(-8)\)
- Contestar
-
- \(F(0)=1\)
- \(F(-1)=0\)
- \(F(1)=2\)
- \(F(-2)=1\)
- \(F(4)=1\)
- \(F(-9)=0\)
4.4: Serie de seno y coseno
Tomar\( f(t)=(t-1)^2\) definido en\( 0 \leq t \leq 1\).
- Esbozar la trama de la extensión periódica uniforme de\(f\).
- Esbozar la trama de la extensión periódica impar de\(f\).
Encuentra la serie de Fourier tanto de la extensión periódica impar como par de la función\( f(t)=(t-1)^2\) para\( 0 \leq t \leq 1\). ¿Se puede decir qué extensión es continua a partir de los coeficientes de la serie de Fourier?
Encuentra la serie de Fourier tanto de la extensión periódica impar como par de la función\( f(t)=t\) para\( 0 \leq t \leq \pi\).
Encuentra la serie de Fourier de la extensión periódica uniforme de la función\( f(t) = \sin t\) para\( 0 \leq t \leq \pi\).
Considerar
\[ x''(t)+4x(t)=f(t),\]
donde\( f(t)=1\) en\( 0< t<1\).
- Resolver por las condiciones de Dirichlet\( x(0)=0\),\(x(1)=0\).
- Resolver por las condiciones de Neumann\(x'(0)=0\),\(x'(1)=0\).
Considerar
\[ x''(t)+9x(t)=f(t),\]
para\( f(t)= \sin(2 \pi t)\) el\( 0< t<1\).
- Resolver por las condiciones de Dirichlet\( x(0)=0,\: x(1)=0\).
- b) Resolver por las condiciones Neumann\( x'(0)=0,\: x'(1)=0\).
Considerar
\[ x''(t)+3x(t)=f(t),\quad x(0)=0,\quad x(1)=0, \]
donde\( f(t)= \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n \pi t)\). Escribe la solución\(x(t)\) como una serie de Fourier, donde se dan los coeficientes en términos de\(b_n\).
Dejemos\( f(t)=t^2(2-t)\) para\( 0 \leq t \leq 2\). Dejar\( F(t)\) ser la extensión periódica impar. Cómponlo\( F(1),\: F(2),\: F(3),\: F(-1),\: F( \frac{9}{2}),\: F(101),\: F(103)\). Nota: No compute usando la serie sinusoidal.
\(f(t)= \frac{t}{3}\)Vamos\( 0 \leq t <3\).
- Encuentra la serie de Fourier de la extensión periódica par.
- Encuentra la serie de Fourier de la extensión periódica impar.
- Contestar
-
- \(\frac{1}{2}+ \sum\limits_{\overset{n=1}{n\text{ odd}}}^\infty \frac{-4}{\pi^{2}n^{2}}\cos\left(\frac{n\pi}{3}t\right)\)
- \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2{(-1)}^{n+1}}{\pi n} \sin\bigl(\frac{n\pi}{3} t \bigr)\)
\( f(t)= \cos(2t)\)Vamos\(0 \leq t < \pi\).
- Encuentra la serie de Fourier de la extensión periódica par.
- Encuentra la serie de Fourier de la extensión periódica impar.
- Contestar
-
- \(\cos (2t)\)
- \(\sum\limits_{\overset{n=1}{n\text{ odd}}}^\infty \frac{-4n}{\pi n^{2}-4\pi}\sin (nt)\)
Dejar que\(f(t)\) se defina el\(0 \leq t < 1\). Ahora toma el promedio de las dos extensiones\( g(t)= \frac{F_{odd}(t)+F_{even}(t)}{2}\).
- Qué pasa\(g(t)\) si\(0 \leq t < 1\) (¡Justifica!)
- Qué pasa\( g(t)\) si\(-1 < t < 0\) (¡Justifica!)
- Contestar
-
- \(f(t)\)
- \(0\)
Vamos\( f(t)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin(nt)\). Resolver\( x'' -x=f(t)\) por las condiciones de Dirichlet\( x(0)=0\) y\( x(\pi)=0\).
- Contestar
-
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-1}{n^{2}(1+n^{2})}\sin (nt)\)
Vamos\( f(t)= t+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \sin(nt)\). Resolver\( x'' + \pi x=f(t)\) por las condiciones de Dirichlet\( x(0)=0\) y\(x(\pi)=1\). Pista: Tenga en cuenta que\( \frac{t}{\pi}\) satisface las condiciones dadas de Dirichlet.
- Contestar
-
\(\frac{t}{\pi}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}(\pi -n^{2})}\sin (nt)\)
4.5: Aplicaciones de la serie de Fourier
Vamos\( F(t)= \frac{1}{2}+ \sum^{\infty}_{ {n =1}} \frac{1}{n^2} \cos(n \pi t)\). Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + 2x= F(t)\). Exprese su solución como una serie de Fourier.
Vamos\( F(t)= \sum^{\infty}_{ {n =1}} \frac{1}{n^3} \sin(n \pi t)\). Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + x' +x= F(t)\). Exprese su solución como una serie de Fourier.
Vamos\( F(t)= \sum^{\infty}_{ {n =1}} \frac{1}{n^2} \cos(n \pi t)\). Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + 4x= F(t)\). Exprese su solución como una serie de Fourier.
Dejar\( F(t)=t\)\(-1<t<1\) y extender periódicamente. Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + x= F(t)\). Exprese su solución como una serie.
Dejar\( F(t)=t\)\(-1<t<1\) y extender periódicamente. Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + \pi^2 x= F(t)\). Exprese su solución como una serie.
Vamos\(F(t)= \sin(2 \pi t)+0.1 \cos(10 \pi t)\). Encuentre la solución periódica constante para\(x''+\sqrt{2}x=F(t)\). Exprese su solución como una serie de Fourier.
- Contestar
-
\(x=\frac{1}{\sqrt{2}-4\pi^{2}}\sin (2\pi t)+\frac{0.1}{\sqrt{2}-100\pi^{2}}\cos (10\pi t)\)
Vamos\( F(t)= \sum^{\infty}_{ {n =1}} e^{-n} \cos(2nt)\). Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + 3x= F(t)\). Exprese su solución como una serie de Fourier.
- Contestar
-
\(x=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{3-(2n)^{2}}\cos (2nt)\)
Dejar\( F(t)=|t|\) para\(-1 \leq t \leq 1\) extendido periódicamente. Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + \sqrt{3}x= F(t)\). Exprese su solución como una serie.
- Contestar
-
\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}+\sum\limits_{\overset{n=1}{n\text{ odd}}}^\infty\frac{-4}{n^{2}\pi^{2}(\sqrt{3}-n^{2}\pi^{2})}\cos(n\pi t)\)
Dejar\( F(t)=|t|\) para\(-1 \leq t \leq 1\) extendido periódicamente. Encuentre la solución periódica constante para\(x'' + \pi^2x= F(t)\). Exprese su solución como una serie.
- Contestar
-
\(x=\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{2}{\pi^{3}}t\sin(\pi t)+\sum\limits_{\overset{n=3}{n\text{ odd}}}^\infty\frac{-4}{n^{2}\pi^{4}(1-n^{2})}\cos(n\pi t)\)
4.6: PDE, Separación de Variables y Ecuación de Calor
Imagina que tienes un cable de longitud\(2\), con\(k=0.001\) y una distribución de temperatura inicial de\(u(x,0)=50x\). Supongamos que ambos extremos están incrustados en hielo (temperatura 0). Encuentra la solución como una serie.
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &=u_{xx}, \\ u(0,t) &= u(1,t)=0, \\ u(x,0) &= 100 ~~~~ {\rm{for~}} 0<x<1.\end{aligned}\end{align}\)
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &=u_{xx}, \\ u_x(0,t) &= u_x( \pi ,t)=0, \\ u(x,0)& =3 \cos(x)+ \cos(3x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< \pi.\end{aligned}\end{align}\)
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &= \frac{1}{3}u_{xx}, \\ u_x(0,t) &= u_x( \pi,t)=0, \\ u(x,0) &= \frac{10x}{ \pi} ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< \pi.\end{aligned}\end{align}\)
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &=u_{xx}, \\ u(0,t) &=0,~~~ u(1,t)=100, \\ u(x,0) &= \sin(\pi x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x<1.\end{aligned}\end{align}\)
Pista: Utilice el hecho de que\(u(x,t)=100x\) es una solución satisfactoria\(u_t=u_{xx},\: u(0,t)=0,\: u(1,t)=100\). Entonces usesuperposición.
Encuentre la solución de temperatura de estado estacionario en función de\(x\) solo, dejando\(t \rightarrow \infty\) entrar la solución de ejercicios\(\PageIndex{4}\) y\(\PageIndex{5}\). Verificar que satisfaga la ecuación\(u_{xx}=0\).
Utilice variables de separación para encontrar una solución no trivial a\(u_{xx}+u_{yy}=0\), dónde\(u(x,0)=0\) y\(u(0,y)=0\). Pista: Prueba\(u(x,y) =X(x)Y(y)\).
Supongamos que un extremo del cable está aislado (digamos en\(x=0\)) y el otro extremo se mantiene a temperatura cero. Es decir, encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &= ku_{xx}, \\ u_x(0,t) &= u( L,t)=0, \\ u(x,0) &= f(x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< L.\end{aligned}\end{align}\)
Expresar cualquier coeficiente de la serie por integrales de\(f(x)\).
Supongamos que el cable es circular y aislado, por lo que no hay extremos. Se puede pensar en esto como simplemente conectar los dos extremos y asegurarse de que la solución coincida en los extremos. Es decir, encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &= ku_{xx}, \\ u(0,t) &= u( L,t),~~~~u_x(0,t)= u_x( L,t) \\ u(x,0) &= f(x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< L.\end{aligned}\end{align}\)
Expresar cualquier coeficiente de la serie por integrales de\(f(x)\).
Considere un cable aislado en ambos extremos,\(L=1\),\(k=1\), y\(u(x,0)=\cos^{2}(\pi x)\).
- Encuentra la solución\(u(x,t)\). Pista: una identidad trivial.
- Encuentra la temperatura promedio.
- Inicialmente la variación de temperatura es\(1\) (máxima menos la mínima). Encuentra el momento en que es la variación\(\frac{1}{2}\).
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &= 3u_{xx}, \\ u(0,t) &= u( \pi,t)=0, \\ u(x,0) &= 5 \sin(x)+2 \sin(5x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< \pi.\end{aligned}\end{align} \)
- Contestar
-
\(u(x,t)=5\sin(x)e^{3t}+2\sin(5x)e^{-75t}\)
Encuentre una solución en serie de
\(\begin{align}\begin{aligned} u_t &= 0.1u_{xx}, \\ u_x(0,t) &= u_x( \pi,t)=0, \\ u(x,0) &= 1+2 \cos(x) ~~~~ {\rm{for~}} 0<x< \pi.\end{aligned}\end{align}\)
- Contestar
-
\(u(x,t)=1+2\cos(x)e^{-0.1t}\)
Utilice la separación de variables para encontrar una solución no trivial a\(u_{xt}=u_{xx}\).
- Contestar
-
\(u(x,t)=e^{\lambda t}e^{\lambda x}\)para algunos\(\lambda\)
Utilice la separación de variables para encontrar una solución no trivial a\(u_x+u_t=u\). (Pista: prueba\(u(x,t)=X(x)+T(t)\)).
- Contestar
-
\(u(x,t)=Ae^{x}+Be^{t}\)
Supongamos que la temperatura en el cable se fija\(0\) en los extremos,\(L=1\),\(k=1\), y\(u(x,0)=100\sin (2\pi x)\).
- Cuál es la temperatura\(x=\frac{1}{2}\) en cualquier momento.
- Cuál es la temperatura máxima y mínima en el cable en\(t=0\).
- En qué momento es la temperatura máxima en el cable exactamente la mitad del máximo inicial en\(t=0\).
- Contestar
-
- \(0\)
- \(\text{minimum }-100\),\(\text{maximum }100\)
- \(t=\frac{\ln 2}{4\pi^{2}}\)
4.7: Ecuación de onda unidimensional
Resolver
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt}& =9y_{xx}, \\ y(0,t) &=y(1,t)=0, \\ y(x,0)& = \sin(3 \pi x) + \frac{1}{4} \sin(6 \pi x) & {\rm{for}}~0<x<1, \\ y_t(x,0)& =0 & {\rm{for}}~0<x<1.\end{aligned}\end{align}\]
Resolver
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt} &=4y_{xx}, \\ y(0,t) &=y(1,t)=0, \\ y(x,0) &= \sin(3 \pi x) + \frac{1}{4} \sin(6 \pi x) & {\rm{for}}~0<x<1, \\ y_t(x,0) &= \sin(9 \pi x) & {\rm{for}}~0<x<1.\end{aligned}\end{align}\]
Derivar la solución para una cadena general desplumada de longitud\(L\), donde levantamos la cuerda alguna distancia\(b\) en el punto medio y la soltamos, y para cualquier constante\(a\) (en la ecuación\(y_{tt}=a^2y_{xx}\)).
Imagina que un instrumento musical de cuerda cae al suelo. Supongamos que la longitud de la cadena es 1 y\(a=1\). Cuando el instrumento musical choca con el suelo la cuerda estaba en posición de reposo y por lo tanto\(y(x,0)=0\). Sin embargo, la cuerda se movía a cierta velocidad en el impacto\((t=0\))), digamos\( y_t(x,0)=-1\). Encuentra la solución\(y(x,t)\) para la forma de la cuerda a la vez\(t\).
Supongamos que tienes una cuerda vibratoria y que hay resistencia al aire proporcional a la velocidad. Es decir, tienes
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt} &=a^2y_{xx}-ky_t, \\ y(0,t) &=y(1,t)=0, \\ y(x,0) &= f(x) & {\rm{for}}~0<x<1, \\ y_t(x,0) &= 0 & {\rm{for}}~0<x<1.\end{aligned}\end{align}\]
Supongamos que\(0<k< 2 \pi a\). Derivar una solución en serie al problema. Cualquier coeficiente en la serie debe expresarse como integrales de\(f(x)\).
Supongamos que toca la cuerda de guitarra exactamente en el medio para asegurar otra condición\(u\left(\frac{L}{2},t\right)=0\) para siempre. ¿Qué múltiplos de la frecuencia fundamental\(\frac{\pi a}{L}\) aparecen en la solución?
Resolver
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt} &=y_{xx}, \\ y(0,t)&=y( \pi,t)=0, \\ y(x,0) &= \sin(x) & {\rm{for}}~0<x< \pi, \\ y_t(x,0) &= \sin(x) & {\rm{for}}~0<x< \pi.\end{aligned}\end{align}\]
- Contestar
-
\(y(x,t)=\sin(x)\left(\sin(t)+\cos(t)\right)\)
Resolver
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt} &=25y_{xx}, \\ y(0,t) &=y( 2,t)=0, \\ y(x,0) &= 0 & {\rm{for}}~0<x< 2, \\ y_t(x,0) &= \sin( \pi x) + 0.1 \sin( 2 \pi t) & {\rm{for}}~0<x< 2.\end{aligned}\end{align}\]
- Contestar
-
\(y(x,t)=\frac{1}{5\pi}\sin(\pi x)\sin (5\pi t)+\frac{1}{100\pi}\sin (2\pi x)\sin (10\pi t)\)
Resolver
\[\begin{align}\begin{aligned} y_{tt} &=2y_{xx}, \\ y(0,t) &=y( \pi ,t)=0, \\ y(x,0) &= x & {\rm{for}}~0<x< \pi, \\ y_t(x,0) &= 0 & {\rm{for}}~0<x< \pi.\end{aligned}\end{align}\]
- Contestar
-
\(y(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin (nx)\cos (n\sqrt{2}t)\)
Veamos qué pasa cuando\(a=0\). Encuentre una solución para\(y_{tt}=0,\: y(0,t)=y( \pi,t)=0,\: y(x,0)= \sin(2x),\: y_t(x,0)= \sin(x). \)
- Contestar
-
\(y(x,t)=\sin (2x)+t\sin (x)\)
4.8: Solución D'Alembert de la ecuación de onda
Usando la solución d'Alembert resuelve\(y_{tt}=4y_{xx}\),\(0<x< \pi , t>0, y(0,t)=y( \pi,t)=0, y(x,0) = \sin x\), y\(y_t(x,0)= \sin x\). Pista: Tenga en cuenta que\( \sin x\) es la extensión impar de\(y(x,0)\) y\(y_t(x,0)\).
Usando la solución d'Alembert resuelve\(y_{tt}=2y_{xx}\),\(0<x< 1 , t>0, y(0,t)=y( 1,t)=0, y(x,0) = \sin^5( \pi x)\), y\(y_t(x,0)= \sin^3( \pi x) \).
Tomar\(y_{tt}=4y_{xx}\),\(0<x< \pi , t>0, y(0,t)=y( \pi,t)=0, y(x,0) = x( \pi -x)\), y\(y_t(x,0)=0\).
- Resuelve usando la fórmula d'Alembert. Pista: Puede usar la serie sinusoidal para\(y(x,0)\).
- Encuentre la solución en función de\(x\) para un fijo\(t=0.5,\: t=1,\) y\(t=2\). No utilice la serie sinusoidal aquí.
Derivar la solución de d'Alembert para\(y_{tt}=a^2y_{xx}\)\(0<x< \pi , t>0, y(0,t)=y( \pi,t)=0, y(x,0) = f(x)\), y\(y_t(x,0)=0\), utilizando la solución de la serie de Fourier de la ecuación de onda, aplicando una identidad trigonométrica apropiada. Pista: Hazlo primero para un solo término de la solución de la serie de Fourier, en particular hazlo cuando\(y\) es\(\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\sin\left(\frac{n\pi a}{L}t\right)\).
La solución d'Alembert aún funciona si no hay condiciones de límite y la condición inicial se define en toda la línea real. Supongamos que\(y_{tt}=y_{xx}\) (para todos\(x\) en la línea real y\(t \geq 0\)),\(y(x,0)=f(x)\), y\(y_t(x,0)\), donde
\( f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & {\rm{if}} & x<-1, \\ x+1 & {\rm{if}} & -1 \leq x < 0, \\ -x+1& {\rm{if}} & 0 \leq x < 1 \\ 0 & {\rm{if}} & x>1. \end{array} \right.\)
Resuelve usando la solución d'Alembert. Es decir, anote una definición por partes para la solución. A continuación, esboce la solución para\(t=0,t= 1/2, t=1\), y\(t=2\).
Usando la solución d'Alembert resuelve\(y_{tt}=9y_{xx}\),\(0<x< 1 , t>0, y(0,t)=y( 1,t)=0, y(x,0) = \sin(2 \pi x)\), y\(y_t(x,0)= \sin(3 \pi x)\).
- Contestar
-
\(y(x,t)=\frac{\sin (2\pi (x-3t))+\sin (2\pi (3t+x))}{2}+\frac{\cos (3\pi (x-3t))-\cos (3\pi (3t+x))}{18\pi }\)
Tomar\(y_{tt}=4y_{xx}\),\(0<x< 1 , t>0,\: y(0,t)=y( 1,t)=0,\: y(x,0) = x-x^2\), y\(y_t(x,0)=0\). Usando la solución D'Alembert encuentre la solución en
- \(t=0.1\),
- \(t= 1/2\),
- \(t=1\).
Es posible que tenga que dividir su respuesta por casos.
- Contestar
-
- \( y(x,t) = \left\{ \begin{array}{ccc} x-x^{2}-0.04 & {\rm{if}} & 0.2\leq x\leq 0.8 \\ 0.6x & {\rm{if}} & x\leq 0.2 \\ 0.6-0.6x & {\rm{if}} & x\geq 0.8 \end{array} \right.\)
- \(y(x,\frac{1}{2})=-x+x^{2}\)
- \(y(x,1)=x-x^{2}\)
Tomar\(y_{tt}=100y_{xx}\),\(0<x< 4 , t>0,\: y(0,t)=y( 4,t)=0,\: y(x,0) = F(x)\), y\(y_t(x,0)=0\). Supongamos que\(F(0)=0,\: F(1)=2,\: F(2)=3,\: F(3)=1\). Usando la solución de D'Alembert encuentra
- \(y(1,1)\),
- \(y(4,3)\),
- \(y(3,9)\).
- Contestar
-
- \(y(1,1)=-\frac{1}{2}\)
- \(y(4,3)=0\)
- \(y(3,9)=\frac{1}{2}\)
4.9: Temperatura de estado estacionario y el laplaciano
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< \pi\) y\(0<y< \pi\). Resolver el problema
\[ \Delta u=0, ~~~~ u(x,0)= \sin x,~~~~ u(x, \pi)= 0, ~~~~ u(0, y)= 0,~~~~ u( \pi, y)= 0.\nonumber \]
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 1\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= \sin( \pi x)- \sin(2 \pi x), ~~~ u(x,1)=0, \\ u(0,y) &=0,~~~ u(1,y)=0.\end{aligned}\end{align}\)
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 1\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy}&=0, \\ u(x,0) &= u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=C.\end{aligned}\end{align}\)
para alguna constante\(C\). Pista: Adivina, luego revisa tu intuición.
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< \pi\) y\(0<y< \pi\). Resolver
\[ \Delta u=0,~~~ u(x,0) = 0,~~~ u(x, \pi) = \pi ,~~~ u(0,y) = y,~~~ u( \pi,y) = y.\nonumber\]
Pista: Pruebe una solución de la forma\(u(x,y)=X(x)+Y(y)\) (diferente separación de variables).
Usa la solución de Ejercicio\(\PageIndex{4}\) para resolver
\[ \Delta u=0,~~~ u(x,0) = \sin x,~~~ u(x, \pi) = \pi ,~~~ u(0,y) = y,~~~ u( \pi,y) = y.\nonumber\]
Pista: Usar superposición.
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< w\) y\(0<y< h\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= 0, & u(x,h)=f(x), \\ u(0,y) &=0, & u(w,y)=0.\end{aligned}\end{align}\)
La solución debe estar en forma de serie utilizando los coeficientes de la serie de Fourier de\(f(x)\).
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< w\) y\(0<y< h\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= 0, & u(x,h)=0, \\ u(0,y)&=f(y),& u(w,y)=0.\end{aligned}\end{align}\)
La solución debe estar en forma de serie utilizando los coeficientes de la serie de Fourier de\(f(y)\).
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< w\) y\(0<y< h\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= 0, & u(x,h)=0, \\ u(0,y) &=0, & u(w,y)=f(y).\end{aligned}\end{align}\)
La solución debe estar en forma de serie utilizando los coeficientes de la serie de Fourier de\(f(y)\).
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 1\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= \sin(9 \pi x), & u(x,1)= \sin(2 \pi x), \\ u(0,y) &=0, &u(1,y)=0.\end{aligned}\end{align}\)
Pista: Usar superposición.
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 1\). Resolver el problema
\(\begin{align}\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=0, \\ u(x,0) &= \sin( \pi x), & u(x,1)= \sin( \pi x), \\ u(0,y) &= \sin( \pi y), & u(1,y)= \sin( \pi y).\end{aligned}\end{align}\)
Pista: Usar superposición.
Usando solo tu intuición encuentra\(u(1/2,1/2)\), para el problema\( \Delta u=0\), dónde\(u(0,y)=u(1,y)=100\) para\(0<y<1\), y\(u(x,0)=u(x,1)=0\) para\(0<x<1\). Explicar.
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 1\). Resolver el problema
\[ \Delta u=0,~~~ u(x,0) = \sum_{n=1}^{ \infty}\sin(n \pi x),~~~ u(x, 1) = 0,~~~ u(0,y) = 0,~~~ u(1,y) = 0.\nonumber \]
- Contestar
-
\(u(x,y)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}}\sin (n\pi x)\left(\frac{\sinh (n\pi (1-y))}{\sinh (n\pi )}\right) \)
\(R\)Sea la región descrita por\(0<x< 1\) y\(0<y< 2\). Resolver el problema
\[ \Delta u=0,~~~ u(x,0) = 0.1 \sin ( \pi x),~~~ u(x, 2) = 0 ,~~~ u(0,y) = 0,~~~ u( 1,y) = 0.\nonumber \]
- Contestar
-
\(u(x,y)=0.1\sin (\pi x)\left(\frac{\sinh (\pi (2-y))}{\sinh (2\pi )}\right)\)
4.10: Problema de Dirichlet en el círculo y el kernel de Poisson
Usando series solve\(\Delta u=0, u(1,\theta)= |\theta|\) para\( -\pi< \theta \leq \pi\).
Usando series solve\(\Delta u=0, u(1,\theta)=g(\theta)\) para los siguientes datos. Pista: identidades trig.
- \(g(\theta)=1/2 + 3\sin(\theta)+\cos(3\theta) \)
- \(g(\theta)=\cos(3\theta) +3\sin(3\theta)+\sin(9\theta) \)
- \(g(\theta)=2\cos(\theta+1)\)
- \(g(\theta)=\sin^2(\theta)\)
Usando el kernel de Poisson, dar la solución a\(\Delta u=0\), donde\(u(1,\theta)\) es cero para\(\theta\) fuera del intervalo\([-\pi/4, \pi/4]\) y\(u(1,\theta)\) es\(1\) para\(\theta\) en el intervalo\([-\pi/4, \pi/4]\).
- Dibuja una gráfica para el kernel de Poisson en función de\(\alpha\) cuándo\(r=1/2\) y\(\theta=0\).
- Describa lo que le sucede a la gráfica cuando se hace\(r\) más grande (a medida que se acerca a 1).
- Sabiendo que la solución\(u(r,\theta)\) es el promedio ponderado de\(g(\theta)\) con el kernel de Poisson como el peso, explica lo que significa tu respuesta a la parte b.
Tomar la función\(g(\theta)\) como la función\(xy=\cos(\theta) \sin(\theta)\) en el límite. Utilice la solución en serie para encontrar una solución al problema de Dirichlet\(\Delta u=0, u(1,\theta)=g(\theta)\). Ahora convierta la solución a coordenadas cartesianas\(x\) y\(y\). ¿Esta solución es sorprendente? Pista: usa tus identidades trig.
Llevar a cabo el cómputo que necesitábamos en la separación de variables y resolvemos\(r^2R''+rR'-n^2R=0\), para\(n=0,1,2,3,...\).
Derive la solución en serie al problema de Dirichlet si la región es un círculo de radio\(\rho\) en lugar de\(1\). Es decir, resolver\(\Delta u=0, u(\rho,\theta)=g(\theta)\).
- Encuentre la solución para\(\Delta u=0\),\(u(1,\theta )=x^{2}y^{3}+5x^{2}\). Escribe la respuesta en coordenadas cartesianas.
- Ahora resuelve\(\Delta u=0\),\(u(1,\theta )=x^{k}y^{l}\). Escribe la solución en coordenadas cartesianas.
- Supongamos que tienes un polinomio\(P(x,y)=\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}c_{j,k}x^{j}y^{k}\)\(\Delta u=0\), resuelve,\(u(1,\theta )=P(x,y)\) (es decir, escribe la fórmula para la respuesta). Escribe la respuesta en coordenadas cartesianas.
Observe que la respuesta es nuevamente un polinomio en\(x\) y\(y\). Ver también Ejercicio\(\PageIndex{5}\).
Usando series solve\(\Delta u=0,\: u(1,\theta)=1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\sin(n \theta)\).
- Contestar
-
\(u=1\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}}r^{n}\sin (n\theta )\)
Usando la solución en serie encuentre la solución para\(\Delta u=0,\: u(1,\theta)=1- \cos( \theta)\). Expresar la solución en coordenadas cartesianas (es decir, usando\(x\) y\(y\)).
- Contestar
-
\(u=1-x\)
- Intenta adivinar una solución para\(\Delta u=-1,\: u(1,\theta)=0\). Pista: prueba una solución de la que solo dependa\(r\). También primero, no te preocupes por la condición límite.
- Ahora resuelve\(\Delta u=-1,\: u(1,\theta)= \sin( 2\theta)\) usando superposición.
- Contestar
-
- \(u=\frac{-1}{4}r^{2}+\frac{1}{4}\)
- \(u=\frac{-1}{4}r^{2}+\frac{1}{4}+r^{2}\sin (2\theta )\)
Derive la solución del kernel de Poisson si la región es un círculo de radio\(\rho\) en lugar de\(1\). Es decir, resolver\(\Delta u=0,\: u(\rho,\theta)=g( \theta)\).
- Contestar
-
\(u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\rho ^{2}-r^{2}}{\rho -2r\rho\cos (\theta -\alpha )+r^{2}}g(\alpha )d\alpha\)