5.E: Problemas de Autovalor (Ejercicios)
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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería" de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.
5.1: Problemas de Sturm-Liouville
Encuentra valores propios y funciones propias de
\[y''+ \lambda y=0,~~~y(0)-y'(0)=0,~~~y(1)=0.\]
Expandir la\(f(x)=x\) función al\(0 \leq x \leq 1\) usar las funciones propias del sistema
\[y''+ \lambda y=0,~~~y'(0)=0,~~~y(1)=0.\]
Supongamos que tuviste un problema de Sturm-Liouville en el intervalo\([0,1]\) y se te ocurrió\(y_n(x)=\sin(\gamma nx)\), donde\(\gamma >0\) hay alguna constante. Descomponer\(f(x)=x, 0<x<1\), en términos de estas funciones propias.
Encuentra valores propios y funciones propias de
\[y'^{(4)}+ \lambda y=0,~~~y(0)=0,~~~y'(0)=0,~~~y(1)=0~~~y'(1)=0.\]
Este problema no es un problema de Sturm-Liouville, pero la idea es la misma.
Buscar valores propios y funciones propias para
\[\frac{d}{dx}(e^xy')+ \lambda e^xy=0,~~~y(0)=0,~~~y(1)=0.\]
Pista: Primero escribe el sistema como un sistema de coeficiente constante para encontrar soluciones generales. Tenga en cuenta que el Teorema 5.1.1 garantiza\(\lambda \geq 0\).
Encuentra valores propios y funciones propias de
\[y''+ \lambda y=0,~~~y(-1)=0,~~~y(1)=0.\]
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\(\lambda_{n}=\frac{(2n-1)\pi}{2},\:n=1,\: 2,\: 3,\cdots ,\)\(y_{n}=\cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}x\right)\)
Ponga los siguientes problemas en la forma estándar para los problemas de Sturm-Liouville, es decir\(p(x),q(x), r(x), \alpha_1,\alpha_,\beta_1,\beta_1, \), encuentre y decida si los problemas son regulares o no.
- \(xy''+\lambda y=0\)para\(0<x<1,\: y(0)=0,\: y(1)=0,\)
- \((1+x^2)y''+2xy'+(\lambda -x^2)y=0\)para\(-1<x<1,\: y(-1)=0,\: y(1)+y'(1)=0\)
- Contestar
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- \(p(x)=1,\: q(x)=0,\: r(x)=\frac{1}{x},\:\alpha_{1}=1,\:\alpha_{2}=0,\:\beta_{1}=1,\:\beta_{2}=0\). El problema no es regular.
- \(p(x)=1+x^{2},\: q(x)=x^{2},\: r(x)=1,\:\alpha_{1}=1,\:\alpha_{2}=0,\:\beta_{1}=1,\:\beta_{2}=1\). El problema es regular.
5.2: Aplicación de la serie de funciones propias
Supongamos que tienes una viga de longitud\(5\) con extremos libres. Dejar\(y\) ser la desviación transversal de la viga en posición\(x\) sobre la viga\((0<x<5)\). Sabes que las constantes son tales que esto satisface la ecuación\(y_{tt}+4y_{xxxx}=0\). Supongamos que sabe que la forma inicial del haz es la gráfica de\(x(5-x)\), y la velocidad inicial es uniformemente igual a\(2\) (igual para cada uno\(x\)) en la\(y\) dirección positiva. Configura la ecuación junto con el límite y las condiciones iniciales. Simplemente configurarlo, no resuelva.
Supongamos que tiene una viga de longitud\(5\) con un extremo libre y un extremo fijo (el extremo fijo está en\(x=5\)). Dejar\(u\) ser la desviación longitudinal de la viga en posición\(x\) sobre la viga\((0<x<5)\). Sabes que las constantes son tales que esto satisface la ecuación\(u_{tt}=4u_{xx}\). Supongamos que sabe que el desplazamiento inicial del haz es\(\frac{x-5}{50}\), y la velocidad inicial está\(\frac{-(x-5)}{100}\) en la\(u\) dirección positiva. Configura la ecuación junto con el límite y las condiciones iniciales. Simplemente configurarlo, no resuelva.
Supongamos que la viga es de\(L\) unidades de largo, todo lo demás se mantuvo igual que en (5.2.2). ¿Cuál es la ecuación y la solución de la serie?
Supongamos que tienes
\[\begin{align}\begin{aligned} & a^4 y_{xxxx} + y_{tt} = 0 \quad (0 < x < 1, t > 0) , \\ & y(0,t) = y_{xx}(0,t) = 0,\\ & y(1,t) = y_{xx}(1,t) = 0 ,\\ & y(x,0) = f(x), \quad y_{t}(x,0) = g(x) . \end{aligned}\end{align}\]
Es decir, también tienes una velocidad inicial. Encuentre una solución en serie. Pista: Usa la misma idea que hicimos para la ecuación de onda.
Supongamos que tiene una viga de longitud\(1\) con extremos abisagrados. Dejar\(y\) ser la desviación transversal de la viga en posición\(x\) sobre la viga (\(0<x<1\)). Sabes que las constantes son tales que esto satisface la ecuación\(y_{tt}+4y_{xxxx}=0\). Supongamos que sabe que la forma inicial del haz es la gráfica de\(\sin(\pi x)\), y la velocidad inicial es\(0\). Resolver para\(y\).
- Contestar
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\(y(x,t)=\sin (\pi x)\cos (2\pi^{2}t)\)
Supongamos que tienes una viga de longitud\(10\) con dos extremos fijos. Dejar\(y\) ser la desviación transversal de la viga en posición\(x\) sobre la viga (\(0<x<10\)). Sabes que las constantes son tales que esto satisface la ecuación\(y_{tt}+9y_{xxxx}=0\). Supongamos que sabe que la forma inicial del haz es la gráfica de\(\sin(\pi x)\), y la velocidad inicial es uniformemente igual a\(x(10-x)\). Configura la ecuación junto con el límite y las condiciones iniciales. Simplemente configurarlo, no resuelva.
- Contestar
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\(9y_{xxxx}+y_{tt}=0\)\((0<x<10,\: t>0)\),\(\quad y(0,t)=y_{x}(0,t)=0\),\(\quad y(10,t)=y_{x}(10,t)=0\),\(\quad y(x,0)=\sin (\pi x)\),\(\quad y_{t}(x,0)=x(10-x)\).
5.3: Soluciones periódicas constantes
Supongamos que la función de forzamiento para la cuerda vibratoria es\(F_0 \sin(\omega t)\). Derivar la solución particular\(y_p\).
Toma la cuerda vibratoria forzada. Supongamos que\(L=1,a=1\). Supongamos que la función de forzamiento es la onda cuadrada que está\(1\) en el intervalo\(0<x<1\) y\(-1 \) en el intervalo\(-1<x<0\). Encuentra la solución particular. Pista: Es posible que desee utilizar el resultado de Ejercicio\(\PageIndex{5.3.1}\).
Las unidades son cgs (centímetros-gramos-segundos). Para\(k=0.005, \omega =1.991 \times 10^{-7},A_0=20\). Encuentra la profundidad a la que la variación de temperatura es la mitad (\(\pm 10\)grados) de lo que está en la superficie.
Derivar la solución para la oscilación de temperatura subterránea sin asumir eso\(T_0=0\).
Toma la cuerda vibratoria forzada. Supongamos que\(L=1,a=1\). Supongamos que la función de forzamiento es un diente de sierra, es\(|x|-\frac{1}{2}\) decir, se\(-1<x<1\) extiende periódicamente. Encuentra la solución particular.
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\(y_{p}(x,t)=\sum\limits_{\overset{n=1}{n\text{ odd}}}^\infty \frac{-4}{n^{4}\pi^{4}}\left(\cos (n\pi x)-\frac{\cos (n\pi )-1}{\sin (n\pi )}\sin (n\pi x)-1\right)\cos (n\pi t).\)
Las unidades son cgs (centímetros-gramos-segundos). Para\(k=0.01, \omega =1.991 \times 10^{-7},A_0=25\). Encuentra la profundidad en la que el verano vuelve a ser el punto más caluroso.
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Aproximadamente 1991 centímetros