6: La transformación de Laplace

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La transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales y reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego puede ser resuelta por las reglas formales del álgebra.

6.1: La transformación de Laplace
La transformación de Laplace resulta ser un método muy eficiente para resolver ciertos problemas de ODE. En particular, la transformada puede tomar una ecuación diferencial y convertirla en una ecuación algebraica. Si se puede resolver la ecuación algebraica, aplicar la transformada inversa nos da nuestra solución deseada.
6.2: Transformadas de derivados y ODEs
El procedimiento para las ecuaciones de coeficiente constante lineal es el siguiente. Tomamos una ecuación diferencial ordinaria en la variable de tiempo t. Aplicamos la transformada de Laplace para transformar la ecuación en una ecuación algebraica (no diferencial) en el dominio de la frecuencia. Resolvemos la ecuación para X (s). Después tomando la transformada inversa, si es posible, encontramos x (t). Desafortunadamente, no todas las funciones tienen una transformación de Laplace, no todas las ecuaciones se pueden resolver de esta manera.
6.3: Convolución
La transformación de Laplace de un producto no es producto de las transformaciones. En cambio, introducimos la convolución de dos funciones de t para generar otra función de t.
6.4: Delta Dirac y Respuesta al Impulso
A menudo en aplicaciones estudiamos un sistema físico poniendo un pulso corto y luego viendo lo que hace el sistema. El comportamiento resultante a menudo se llama respuesta de impulso.
6.5: Resolviendo PDEs con la Transformación de Laplace
La transformada de Laplace proviene de la misma familia de transformaciones que la serie de Fourier, para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDEs). Por lo tanto, no es sorprendente que también podamos resolver las PDE con la transformación de Laplace.
6.E: La transformación de Laplace (Ejercicios)
Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Ecuaciones diferenciales para ingeniería” de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.