2.2E: Ecuaciones separables (Ejercicios)

Q2.2.1

En Ejercicios 2.2.1-2.2.6 encuentra todas las soluciones.

1. \( {y'={3x^2+2x+1\over y-2}}\)

2. \((\sin x)(\sin y)+(\cos y)y'=0\)

3. \(xy'+y^2+y=0\)

4. \(y' \ln |y|+x^2y= 0\)

5. \( {(3y^3+3y \cos y+1)y'+{(2x+1)y\over 1+x^2}=0}\)

6. \(x^2yy'=(y^2-1)^{3/2}\)

Q2.2.2

En Ejercicios 2.2.7-2.2.10 encuentra todas las soluciones. Además, traza un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.

7. \( {y'=x^2(1+y^2)}; \; \{-1\le x\le1,\ -1\le y\le1\}\)

8. \(y'(1+x^2)+xy=0 ; \; \{-2\le x\le2,\ -1\le y\le1\}\)

9. \(y'=(x-1)(y-1)(y-2); \; \{-2\le x\le2,\ -3\le y\le3\}\)

10. \((y-1)^2y'=2x+3; \; \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le5\}\)

Q2.2.3

En los Ejercicios 2.2.11 y 2.2.12 resolver el problema de valor inicial.

11. \( {y'={x^2+3x+2\over y-2}, \quad y(1)=4}\)

12. \(y'+x(y^2+y)=0, \quad y(2)=1\)

Q2.2.4

En Ejercicios 2.2.13-2.2.16 resolver el problema de valor inicial y graficar la solución.

13. \((3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1\)

14. \( {y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0}\)

15. \(y'+2x(y+1)=0, \quad y(0)=2\)

16. \(y'=2xy(1+y^2),\quad y(0)=1\)

Q2.2.5

En Ejercicios 2.2.17-2.2.23 resolver el problema de valor inicial y encontrar el intervalo de validez de la solución.

17. \(y'(x^2+2)+ 4x(y^2+2y+1)=0, \quad y(1)=-1\)

18. \(y'=-2x(y^2-3y+2), \quad y(0)=3\)

19. \( {y'={2x\over 1+2y}, \quad y(2)=0}\)&

20. \(y'=2y-y^2, \quad y(0)=1\)

21. \(x+yy'=0, \quad y(3) =-4\)

22. \(y'+x^2(y+1)(y-2)^2=0, \quad y(4)=2\)

23. \((x+1)(x-2)y'+y=0, \quad y(1)=-3\)

Q2.2.6

24. Resolver\( {y'={(1+y^2) \over (1+x^2)}}\) explícitamente.

25. Resolver\( {y'\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=0}\) explícitamente.

26. Resolver\( {y'={\cos x\over \sin y},\quad y (\pi)={\pi\over2}}\) explícitamente.

27. Resolver el problema de valor inicial\[y'=ay-by^2,\quad y(0)=y_0.\] Discutir el comportamiento de la solución si a\(y_0\ge0\); b\(y_0<0\).

28. La población\(P=P(t)\) de una especie satisface la ecuación logística\[P'=aP(1-\alpha P)\] y\(P(0)=P_0>0\). Buscar\(P\) para\(t>0\), y encontrar\(\lim_{t\to\infty}P(t)\).

29. Una epidemia se propaga a través de una población a un ritmo proporcional al producto del número de personas ya infectadas y del número de personas susceptibles, pero aún no infectadas. Por lo tanto, si\(S\) denota la población total de personas susceptibles y\(I=I(t)\) denota el número de personas infectadas en el momento\(t\), entonces\[I'=rI(S-I),\] donde\(r\) es una constante positiva. Asumiendo eso\(I(0)=I_0\), encuentra\(I(t)\) para\(t>0\), y demuéstralo\(\lim_{t\to\infty}I(t)=S\).

30. El resultado del Ejercicio 2.2.29 es desalentador: si algún miembro susceptible del grupo está inicialmente infectado, ¡entonces a la larga todos los miembros susceptibles están infectados! En una nota más esperanzadora, supongamos que la enfermedad se propaga según el modelo del Ejercicio 2.2.29, pero hay un medicamento que cura a la población infectada a una tasa proporcional al número de individuos infectados. Ahora la ecuación para el número de individuos infectados se convierte en\[I'=rI(S-I)-qI \tag{A} \] donde\(q\) es una constante positiva.

1. Elegir\(r\) y\(S\) positivo. Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en rejillas rectangulares adecuadas\[R=\{0\le t \le T,\ 0\le I \le d\}\] en el\((t,I)\) plano -plano, verificar que si\(I\) es alguna solución de (A) tal que\(I(0)>0\), entonces\(\lim_{t\to\infty}I(t)=S-q/r\) si\(q<rS\) y\(\lim_{t\to\infty}I(t)=0\) si\(q\ge rS\).
2. Para verificar los resultados experimentales de (a), utilizar la separación de variables para resolver (A) con condición inicial\(I(0)=I_0>0\), y encontrar\(\lim_{t\to\infty}I(t)\).

31. Consideremos la ecuación diferencial\[y'=ay-by^2-q, \tag{A} \] donde\(a\),\(b\) son constantes positivas, y\(q\) es una constante arbitraria. Supongamos\(y\) denota una solución de esta ecuación que satisface la condición inicial\(y(0)=y_0\).

1. Elegir\(a\) y\(b\) positivo y\(q<a^2/4b\). Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en rejillas rectangulares adecuadas\[R=\{0\le t \le T,\ c\le y \le d\} \tag{B} \] en el\((t,y)\) plano -plano, descubre que hay números\(y_1\) y\(y_2\) con\(y_1<y_2\) tal que si\(y_0>y_1\) entonces\(\lim_{t\to\infty}y(t)=y_2\), y si\(y_0<y_1\) entonces\(y(t)=-\infty\) para algún valor finito de\(t\) . (¿Qué pasa si\(y_0=y_1\)?)
2. Elegir\(a\) y\(b\) positivo y\(q=a^2/4b\). Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en rejillas rectangulares adecuadas de la forma (B), descubre que hay un número\(y_1\) tal que si\(y_0\ge y_1\) entonces\(\lim_{t\to\infty}y(t)=y_1\), mientras que si\(y_0<y_1\) entonces\(y(t)=-\infty\) por algún valor finito de\(t\).
3. Elija positivo\(a\),\(b\) y\(q>a^2/4b\). Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en rejillas rectangulares adecuadas de la forma (B), descubre que no importa lo que\(y_0\) sea,\(y(t)=-\infty\) para algún valor finito de\(t\).
4. Verifica tus resultados de experimentos analíticamente. Comienza separando variables en (A) para obtener\[{y'\over ay-by^2-q}=1.\] Para decidir qué hacer a continuación tendrás que usar la fórmula cuadrática. Esto debería llevarte a ver por qué hay tres casos. ¡Llévalo de ahí! Debido a su papel en la transición entre estos tres casos,\(q_0=a^2/4b\) se denomina valor de bifurcación de\(q\). En general, si\(q\) es un parámetro en cualquier ecuación diferencial,\(q_0\) se dice que es un valor de bifurcación de\(q\) si la naturaleza de las soluciones de la ecuación con\(q<q_0\) es cualitativamente diferente de la naturaleza de las soluciones con\(q>q_0\).

32. Al trazar campos de dirección y soluciones de\[y'=qy-y^3,\] convencerse de que\(q_0=0\) es un valor de bifurcación de\(q\) para esta ecuación. Explica qué es lo que te hace sacar esta conclusión.

33. Supongamos que una enfermedad se propaga de acuerdo con el modelo del Ejercicio 2.2.29, pero hay un medicamento que cura a la población infectada a un ritmo constante de\(q\) individuos por unidad de tiempo, donde\(q>0\). Entonces la ecuación para el número de individuos infectados se convierte\[I'=rI(S-I)-q.\]

Suponiendo eso\(I(0)=I_0>0\), utilizar los resultados del Ejercicio 2.2.31 para describir lo que sucede como\(t\to\infty\).

34. Suponiendo que\(p \not\equiv 0\), estados condiciones bajo las cuales la ecuación lineal\[y'+p(x)y=f(x)\] es separable. Si la ecuación satisface estas condiciones, resolverla por separación de variables y por el método desarrollado en la Sección 2.1.

Q2.2.7

Resolver las ecuaciones en Ejercicios 2.2.35-2.2.38 utilizando variación de parámetros seguida de separación de variables.

35. \( {y'+y={2xe^{-x}\over1+ye^x}}\)&

36. \( {xy'-2y={x^6\over y+x^2}}\)

37. \( {y'-y}={(x+1)e^{4x}\over(y+e^x)^2}\)&

38. \(y'-2y= {xe^{2x}\over1-ye^{-2x}}\)

39. Utilizar variación de parámetros para mostrar que las soluciones de las siguientes ecuaciones son de la forma\(y=uy_1\), donde\(u\) satisface una ecuación separable\(u'=g(x)p(u)\). Encuentra\(y_1\) y\(g\) para cada ecuación.

1. \(xy'+y=h(x)p(xy)\)
2. \( {xy'-y=h(x) p\left({y\over x}\right)}\)
3. \(y'+y=h(x) p(e^xy)\)
4. \(xy'+ry=h(x) p(x^ry)\)
5. \( {y'+{v'(x)\over v(x)}y= h(x) p\left(v(x)y\right)}\)