2.6E: Factores Integrantes (Ejercicios)

Q2.6.1

1.

1. Verificar que\(\mu(x,y)=y\) sea un factor de integración para\[y dx+\left(2x+\frac{1}{y} \right) dy=0 \tag{A} \] sobre cualquier rectángulo abierto que no intersecta el\(x\) eje o, de manera equivalente, que\[y^{2} dx +(2xy+1) dy=0 \tag{B} \] sea exacto en cualquier rectángulo de este tipo.
2. Verificar que\(y\equiv0\) sea una solución de (B), pero no de (A).
3. Demostrar que\[y(xy+1)=c \tag{C}\] es una solución implícita de (B), y explicar por qué cada función diferenciable\(y=y(x)\) distinta a la\(y\equiv0\) que satisface (C) es también una solución de (A).

2.

1. Verificar que\(\mu(x,y)=1/(x-y)^2\) sea un factor de integración para\[-y^{2}dx+x^{2}dy=0 \tag{A}\] en cualquier rectángulo abierto que no intersecta la línea\(y=x\) o, de manera equivalente, que\[-\frac{y^{2}}{(x-y)^{2}}dx + \frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}dy=0 \tag{B}\] sea exacto en cualquier rectángulo de ese tipo.
2. Utilice el Teorema 2.2.1 para mostrar que\[\frac{xy}{(x-y)}=c\tag{C}\] es una solución implícita de (B), y explicar por qué también es una solución implícita de (A)
3. Verificar que\(y=x\) sea una solución de (A), aunque no se pueda obtener de (C).

Q2.6.2

En Ejercicios 2.6.3-2.6.16 encontrar un factor integrador; es decir, una función de una sola variable, y resolver la ecuación dada.

3. \(ydx-xdy=0\)

4. \(3x^{2}ydx +2x^{3}dy=0\)

5. \(2y^{3}dx+3y^{2}dy=0\)

6. \((5xy+2y+5)dx+2xdy=0\)

7. \((xy+x+2y+1)\,dx+(x+1)\,dy=0\)

8. \((27xy^2+8y^3)\,dx+(18x^2y+12xy^2)\,dy=0\)

9. \((6xy^2+2y)\,dx+(12x^2y+6x+3)\,dy=0\)

10. \(y^2\,dx+\left(xy^2+3xy+{1\over y}\right)\,dy=0\)

11. \((12x^3y+24x^2y^2)\,dx+(9x^4+32x^3y+4y)\,dy=0\)

12. \((x^2y+4xy+2y)\,dx+(x^2+x)\,dy=0\)

13. \(-y\,dx+(x^4-x)\,dy=0\)

14. \(\cos x\cos y\,dx +(\sin x\cos y-\sin x\sin y+y)\,dy=0\)

15. \((2xy+y^2)\,dx+(2xy+x^2-2x^2y^2-2xy^3)\,dy=0\)

16. \(y\sin y\,dx+x(\sin y-y\cos y)\,dy=0\)

Q2.6.3

En Ejercicios 2.6.17-2.6.23 encontrar un factor integrador de la forma\(\mu (x,y)=P(x)Q(y)\) y resolver la ecuación dada.

17. \(y(1+5\ln|x|)\,dx+4x\ln|x|\,dy=0\)

18. \((\alpha y+ \gamma xy)\,dx+(\beta x+ \delta xy)\,dy=0\)

19. \((3x^2y^3-y^2+y)\,dx+(-xy+2x)\,dy=0\)

20. \(2y\,dx+ 3(x^2+x^2y^3)\,dy=0\)

21. \((a\cos xy-y\sin xy)\,dx+(b\cos xy-x\sin xy)\, dy=0\)

22. \(x^4y^4\,dx+x^5y^3\,dy=0\)

23. \(y(x\cos x+2\sin x)\,dx+x(y+1)\sin x\,dy=0\)

Q2.6.4

En Ejercicios 2.6.24-2.6.27 encontrar un factor integrador y resolver la ecuación. Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para la ecuación en la región rectangular indicada.

24. \((x^4y^3+y)\,dx+(x^5y^2-x)\,dy=0; \quad \{-1\le x\le1,-1\le y\le1\}\)

25. \((3xy+2y^2+y)\,dx+(x^2+2xy+x+2y)\,dy=0; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y\le2\}\)

26. \((12 xy+6y^3)\,dx+(9x^2+10xy^2)\,dy=0; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y\le2\}\)

27. \((3x^2y^2+2y)\,dx+ 2x\,dy=0; \quad \{-4\le x\le4,-4\le y\le4\}\)

Q2.6.5

28. Supongamos\(a\)\(b\)\(c\),,, y\(d\) son constantes tales que\(ad-bc\ne0\), y dejar\(m\) y\(n\) ser arbitrarios números reales. Demostrar que

\[(ax^my+by^{n+1})\,dx+(cx^{m+1}+dxy^n)\,dy=0\]

tiene un factor integrador\(\mu(x,y)=x^\alpha y^\beta\).

29. Supongamos que\(M\)\(N\)\(M_x\),, y\(N_y\) son continuos para todos\((x,y)\), y\(\mu=\mu(x,y)\) es un factor integrador para\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.\tag{A}\]

Supongamos que\(\mu_x\) y\(\mu_y\) son continuos para todos\((x,y)\), y supongamos que\(y=y(x)\) es una función diferenciable tal que\(\mu(x,y(x))=0\) y\(\mu_x(x,y(x))\ne0\) para todos\(x\) en algún intervalo\(I\). Demostrar que\(y\) es una solución de (A) en\(I\).

30. Según el Teorema 2.1.2, la solución general de la ecuación lineal no homogénea\[y'+p(x)y=f(x)\tag{A}\]

es\[y=y_{1}x\left( c+\int f(x)/y_{1}(x) dx \right),\tag{B}\]

donde\(y_1\) está cualquier solución no trivial de la ecuación complementaria\(y'+p(x)y=0\). En este ejercicio obtenemos esta conclusión de una manera diferente. Te puede resultar instructivo aplicar el método aquí sugerido para resolver algunos de los ejercicios de la Sección 2.1.

1. Reescribir (A) como\[[p(x)y-f(x)]dx +dy =0,\tag{C}\] y mostrar que\(\mu=\pm e^{\int p(x)\,dx}\) es un factor de integración para (C).
2. Multiplicar (A) por\(\mu=\pm e^{\int p(x)\,dx}\) y verificar que la ecuación resultante pueda ser reescrita como\[(\mu(x)y)'=\mu(x)f(x).\] Luego integrar ambos lados de esta ecuación y resolver\(y\) para mostrar que la solución general de (A) es\[y={1\over\mu(x)}\left(c+\int f(x)\mu(x)\,dx\right).\] ¿Por qué esta forma de la solución general es equivalente a (B)?