4.1E: Crecimiento y Decaimiento (Ejercicios)

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Q4.1.1

1. La vida media de una sustancia radiactiva es de 3200 años. Encuentra la cantidad$Q(t)$ de la sustancia que queda a la vez$t > 0$ si$Q(0)=20$ g.

2. La vida media de una sustancia radiactiva es de 2 días. Encuentra el tiempo requerido para que una cantidad dada del material se descomponga hasta 1/10 de su masa original.

3. Un material radiactivo pierde 25% de su masa en 10 minutos. ¿Cuál es su vida media?

4. Un árbol contiene un porcentaje conocido$p_0$ de una sustancia radiactiva con vida media$\tau$. Cuando el árbol muere la sustancia se descompone y no es reemplazada. Si se encuentra que el porcentaje de la sustancia en los restos fosilizados de tal árbol es$p_1$, ¿cuánto tiempo ha estado muerto el árbol?

5. Si$t_p$ y$t_q$ son los tiempos requeridos para que un material radiactivo se$1/p$ descomponga y$1/q$ multiplice su masa original (respectivamente), ¿cómo están$t_p$ y$t_q$ relacionados?

6. Encontrar la constante de desintegración$k$ para una sustancia radiactiva, dado que la masa de la sustancia es$Q_1$ a la vez$t_1$ y$Q_2$ a la vez$t_2$.

7. Un proceso crea una sustancia radiactiva a razón de 2 g/hr y la sustancia se descompone a una velocidad proporcional a su masa, con constante de proporcionalidad$k=.1 (\mbox{hr})^{-1}$. Si$Q(t)$ es la masa de la sustancia en el momento$t$, encuentra$\lim_{t\to\infty}Q(t)$.

8. Un banco paga intereses continuamente a la tasa del 6%. ¿Cuánto tiempo lleva un depósito de$Q_0$ crecer en valor a$2Q_0$?

9. ¿A qué tasa de interés, compuesta continuamente, un depósito bancario duplicará su valor en 8 años?

10. Una cuenta de ahorro paga 5% anual de intereses compuestos de forma continua. El depósito inicial es de$Q_0$ dólares. Supongamos que no hay retiros o depósitos posteriores.

¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse el valor de la cuenta?
¿Qué pasa$Q_0$ si el valor de la cuenta después de 10 años es de $100,000 dólares?

11. Un fabricante de dulces hace 500 libras de dulces por semana, mientras que su familia numerosa se come los dulces a una tasa igual a$Q(t)/10$ libras por semana, donde$Q(t)$ está la cantidad de dulces presentes en el momento$t$.

Encuentra$Q(t)$ por$t > 0$ si el fabricante de dulces tiene 250 libras de dulces en$t=0$.
Encuentra$\lim_{t\to\infty} Q(t)$.

12. Supongamos que una sustancia se descompone a una tasa anual igual a la mitad del cuadrado de la masa de la sustancia presente. Si empezamos con 50 g de la sustancia, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 g?

13. Una súper masa de pan aumenta de volumen a una velocidad proporcional al volumen$V$ presente. Si$V$ aumenta por un factor de 10 en 2 horas y$V(0)=V_0$, encuentra$V$ en cualquier momento$t$. ¿Cuánto tiempo tardará$V$ en aumentar a$100 V_0$?

14. Una sustancia radiactiva se descompone a una tasa proporcional a la cantidad presente, y la mitad de la cantidad original$Q_0$ queda después de 1500 años. ¿En cuántos años se reduciría el monto original$3Q_0/4$? ¿Cuánto quedará después de 2000 años?

15. Un mago crea oro continuamente a razón de 1 onza por hora, pero un asistente lo roba continuamente a razón del 5% de lo mucho que haya por hora. Deja$W(t)$ ser el número de onzas que el mago tiene en su momento$t$. Encontrar$W(t)$ y$\lim_{t\to\infty}W(t)$ si$W(0)=1$.

16. Un proceso crea una sustancia radiactiva a razón de 1 g/h, y la sustancia se descompone a una tasa horaria igual a 1/10 de la masa presente (expresada en gramos). Suponiendo que inicialmente hay 20 g, encontrar la masa$S(t)$ de la sustancia presente en el momento$t$, y encontrar$\lim_{t\to\infty} S(t)$.

17. Un tanque está vacío en$t=0$. Se agrega agua al tanque a razón de 10 gal/min, pero se escurre a una velocidad (en galones por minuto) igual al número de galones en el tanque. ¿Cuál es la menor capacidad que puede tener el tanque si este proceso va a continuar para siempre?

18. Una persona deposita $25,000 en un banco que paga 5% anual de intereses, compuestos continuamente. La persona se retira continuamente de la cuenta a razón de 750 dólares anuales. Encontrar$V(t)$, el valor de la cuenta en el momento$t$ posterior al depósito inicial.

19. Una persona tiene una fortuna que crece a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada de su valía. Encuentra el valor$W$ de la fortuna en función de$t$ si era $1 millón hace 6 meses y hoy es de 4 millones de dólares.

20. Dejar$p=p(t)$ ser la cantidad de un producto presente en el momento$t$. El producto se fabrica continuamente a una tasa proporcional a$p$, con proporcionalidad constante 1/2, y se consume continuamente a una tasa proporcional a$p^2$, con proporcionalidad constante 1/8. Encuentra$p(t)$ si$p(0)=100$.

21.

a. en la situación del Ejemplo 4.1.6 encuentra el valor exacto P (t) de la cuenta de la persona después de t años, donde t es un número entero. Asumir que cada año tiene exactamente 52 semanas, e incluir el depósito de fin de año en el cómputo.

SUMINISTRO: En el momento t los $1000 iniciales han estado en depósito por$t$ años. Se han realizado$52t$ depósitos de $$50$ cada uno. El primer $$50$ ha estado en depósito por$t − 1/52$ años, el segundo por$t − 2/52$ años... en general, el j th $$50$ ha estado en depósito por$t − j/52$ años ($1 ≤ j ≤ 52t$). Encuentra el valor actual de cada$50$ depósito $ asumiendo$6$% interés compuesto continuamente, y usa la fórmula\[1+x+x^{2}+ . . . + x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}(x\neq 1)\] para encontrar su valor total.

b. dejar

\[p(t)={Q(t)-P(t)\over P(t)}\]

ser el error relativo después de$t$ años. Encuentra

\[p(\infty)=\lim_{t\to\infty}p(t).\]

22. Un comprador de vivienda toma prestados$P_0$ dólares a una tasa de interés anual$r$, aceptando pagar el préstamo con pagos mensuales iguales de$M$ dólares mensuales a lo largo de$N$ años.

a. Derivar una ecuación diferencial para el principal del préstamo (monto que debe el comprador de vivienda)$P(t)$ en el momento$t>0$, haciendo la suposición simplificadora de que el comprador de vivienda reembolsa el préstamo continuamente en lugar de en pasos discretos. (Ver Ejemplo 4.1.6.)

b. Resolver la ecuación derivada en (a).

c. Utilizar el resultado de (b) para determinar un valor aproximado por$M$ suponer que cada año tiene exactamente 12 meses de igual duración.

d. Se puede demostrar que el valor exacto de$M$ viene dado por

\[M={rP_0\over 12}\left(1-(1+r/12)^{-12N}\right)^{-1}.\]

Comparar el valor de$M$ obtenido de la respuesta en (c) con el valor exacto si (i)$P_0=\$50,000$, $r=7{1\over2}$%, $N=20$ (ii) $P_0=\$150,000$, $r=9.0$%, $N=30$.

23. Supongamos que el comprador de vivienda del Ejercicio 4.1.22 elige reembolsar el préstamo continuamente a tasa de$\alpha M$ dólares mensuales, donde$\alpha$ es una constante mayor a 1. (Esto se llama pago acelerado.)

Determinar el$T(\alpha)$ momento en que se pagará el préstamo y el monto$S(\alpha)$ que ahorrará el comprador de vivienda.
Supongamos$P_0=\$50,000$,$r=8$%, y$N=15$. Calcular los ahorros obtenidos por pagos acelerados con$\alpha=1.05,1.10$, y$1.15$.

24. Un benefactor desea establecer un fondo fiduciario para pagar el sueldo de un investigador por$T$ años. El salario es comenzar en$S_0$ dólares anuales e incrementar a una tasa fraccionaria de$a$ por año. Encuentra la cantidad de dinero$P_0$ que el benefactor debe depositar en un fondo fiduciario pagando intereses a una$r$ tasa anual. Supongamos que el salario del investigador se paga continuamente, los intereses se agrava continuamente, y los aumentos salariales se otorgan de manera continua.

25. Una sustancia radiactiva con constante de desintegración$k$ se produce a razón de

\[{at\over1+btQ(t)}\]

unidades de masa por unidad de tiempo, donde$a$ y$b$ son constantes positivas y$Q(t)$ es la masa de la sustancia presente en el tiempo$t$; así, la tasa de producción es pequeña al inicio y tiende a disminuir cuando$Q$ es grande.

Establecer una ecuación diferencial para$Q$.
Elija sus propios valores positivos para$a$$b$,$k$, y$Q_0=Q(0)$. Usa un método numérico para descubrir lo que sucede a$Q(t)$ como$t\to\infty$. (Sea preciso, expresando sus conclusiones en términos de$a$,$b$,$k$. Sin embargo, no se requiere ninguna prueba.)

26. Siga las instrucciones del Ejercicio 4.1.25, asumiendo que la sustancia se produce a razón de$at/(1+bt(Q(t))^2)$ unidades de masa por unidad de tiempo.

27. Siga las instrucciones del Ejercicio 4.1.25, asumiendo que la sustancia se produce a razón de$at/(1+bt)$ unidades de masa por unidad de tiempo.