4.2E: Enfriamiento y Mezcla (Ejercicios)

Q4.2.1

1. Se mueve un termómetro de una habitación donde la temperatura es\(70^\circ\) F a un congelador donde está la temperatura\(12^\circ F\). Después de\(30\) segundos el termómetro lee\(40^\circ\) F. ¿Qué lee después de\(2\) minutos?

2. Un fluido inicialmente a\(100^\circ\) C se coloca afuera en un día en que la temperatura es\(-10^\circ\) C, y la temperatura del fluido desciende\(20^\circ\) C en un minuto. Encuentra la temperatura\(T(t)\) del fluido para\(t > 0\).

3. A las 12:00 pm se coloca un termómetro de lectura\(10^\circ\) F en una habitación donde la temperatura es\(70^\circ\) F. Se lee\(56^\circ\) cuando se coloca afuera, donde la temperatura es\(5^\circ\) F, a las 12:03. ¿Qué lee a las 12:05 pm?

4. Un termómetro que inicialmente lee\(212^\circ\) F se coloca en una habitación donde la temperatura es\(70^\circ\) F. Después de 2 minutos el termómetro lee\(125^\circ\) F.

1. ¿Qué lee el termómetro después de\(4\) minutos?
2. ¿Cuándo leerá el termómetro\(72^\circ\) F?
3. ¿Cuándo leerá el termómetro\(69^\circ\) F?

5. Un objeto con temperatura inicial\(150^\circ\) C se coloca afuera, donde la temperatura es\(35^\circ\) C. Sus temperaturas a 12:15 y 12:20 son\(120^\circ\) C y\(90^\circ\) C, respectivamente.

1. ¿A qué hora se colocó el objeto afuera?
2. ¿Cuándo será su temperatura\(40^\circ\) C?

6. Un objeto se coloca en una habitación donde la temperatura es\(20^\circ\) C. La temperatura del objeto desciende en\(5^\circ\) C en\(4\) minutos y en\(7^\circ\) C en\(8\) minutos. ¿Cuál era la temperatura del objeto cuando inicialmente se colocó en la habitación?

7. Una taza de agua hirviendo se coloca afuera a la 1:00 pm. Un minuto después la temperatura del agua es\(152^\circ\) F. Después de otro minuto su temperatura es\(112^\circ\) F. ¿Cuál es la temperatura exterior?

8. Un tanque inicialmente contiene\(40\) galones de agua pura. Se agrega una solución con\(1\) gramo de sal por galón de agua al tanque a\(3\) gal/min, y la solución resultante se drena a la misma velocidad. Encuentra la cantidad\(Q(t)\) de sal en el tanque a la vez\(t > 0\).

9. Un tanque inicialmente contiene una solución de\(10\) libras de sal en\(60\) galones de agua. Se agrega agua con\(1/2\) libra de sal por galón al tanque a\(6\) gal/min, y la solución resultante sale a la misma velocidad. Encuentra la cantidad\(Q(t)\) de sal en el tanque a la vez\(t > 0\).

10. Un tanque inicialmente contiene\(100\) litros de una solución salina con una concentración de\(.1\) g/litro. Se agrega una solución con una concentración de sal de\(.3\) g/litro al tanque a\(5\) litros/min, y la mezcla resultante se drena a la misma velocidad. Encontrar la concentración\(K(t)\) de sal en el tanque como una función de\(t\).

11. Un tanque de\(200\) galones inicialmente contiene\(100\) galones de agua con\(20\) libras de sal. Se agrega una solución salina con\(1/4\) libra de sal por galón al tanque a\(4\) gal/min, y la mezcla resultante se drena a\(2\) gal/min. Encuentra la cantidad de sal en el tanque ya que está a punto de desbordarse.

12. Supongamos que se agrega agua a un tanque a 10 gal/min, pero se escapa a razón de\(1/5\) gal/min por cada galón en el tanque. ¿Cuál es la menor capacidad que puede tener el tanque si el proceso va a continuar indefinidamente?

13. Una reacción química en un laboratorio con volumen\(V\) (en pies\(^3\)) produce\(q_1\)\(^3\) pies/min de un gas nocivo como subproducto. El gas es peligroso a concentraciones mayores que\(\overline c\), pero inofensivo en concentraciones\(\le \overline c\). Los ventiladores de admisión en un extremo del laboratorio extraen aire fresco a una velocidad de\(q_2\) ft\(^3\) /min y los ventiladores de escape en el otro extremo extraen la mezcla de gas y aire del laboratorio a la misma velocidad. Suponiendo que el gas esté siempre distribuido uniformemente en la habitación y su concentración inicial\(c_0\) esté en un nivel seguro, encuentre el valor más pequeño de\(q_2\) requerido para mantener condiciones seguras en el laboratorio para siempre.

14. Un tanque de\(1200\) -galón inicialmente contiene\(40\) libras de sal disueltas en\(600\) galones de agua. A partir de\(t_0=0\), se agrega al tanque agua que contiene\(1/2\) libra de sal por galón a razón de\(6\) gal/min y la mezcla resultante se drena del tanque a\(4\) gal/min. Encuentre la cantidad\(Q(t)\) de sal en el tanque en cualquier momento\(t > 0\) antes del desbordamiento.

15. El tanque\(T_1\) inicialmente contiene\(50\) galones de agua pura. A partir de\(t_0=0\), se vierte agua que contiene\(1\) libra de sal por galón\(T_1\) a razón de\(2\) gal/min. La mezcla se drena\(T_1\) a la misma velocidad a un segundo tanque\(T_2\), que inicialmente contiene\(50\) galones de agua pura. También a partir de\(t_0=0\), se vierte una mezcla de otra fuente que contiene\(2\) libras de sal por galón\(T_2\) a razón de\(2\) gal/min. La mezcla se drena\(T_2\) a razón de\(4\) gal/min.

1. Encuentra una ecuación diferencial para la cantidad\(Q(t)\) de sal en tanque\(T_2\) a la vez\(t > 0\).
2. Resolver la ecuación derivada en (a) para determinar\(Q(t)\).
3. Encuentra\(\lim_{t\to\infty}Q(t)\).

16. Supongamos que un objeto con temperatura inicial\(T_0\) se coloca en un recipiente sellado, el cual a su vez se coloca en un medio con temperatura\(T_m\). Dejar que la temperatura inicial del recipiente sea\(S_0\). Supongamos que la temperatura del objeto no afecta la temperatura del contenedor, lo que a su vez no afecta la temperatura del medio. (Estas suposiciones son razonables, por ejemplo, si el objeto es una taza de café, el contenedor es una casa, y el medio es la atmósfera).

1. Suponiendo que el contenedor y el medio tienen constantes de decaimiento de temperatura distintas\(k\) y,\(k_m\) respectivamente, usar la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas\(S(t)\) y\(T(t)\) del contenedor y objeto a la vez\(t\).
2. Suponiendo que el contenedor y el medio tienen la misma constante de decaimiento de temperatura\(k\), use la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas\(S(t)\) y\(T(t)\) del contenedor y objeto a la vez\(t\).
3. Encontrar\(\lim._{t\to\infty}S(t)\) y\(\lim_{t\to\infty}T(t)\).

17. En nuestros ejemplos y ejercicios anteriores sobre la ley de enfriamiento de Newton asumimos que la temperatura del medio permanece constante. Este modelo es adecuado si el calor perdido o ganado por el objeto es insignificante en comparación con el calor requerido para provocar un cambio apreciable en la temperatura del medio. Si esto no es así, debemos usar un modelo que tenga en cuenta el calor intercambiado entre el objeto y el medio. Dejar\(T=T(t)\) y\(T_m=T_m(t)\) ser las temperaturas del objeto y del medio, respectivamente, y dejar\(T_0\) y\(T_{m0}\) ser sus valores iniciales. Nuevamente, asumimos que\(T\) y\(T_m\) están relacionados por la ley de enfriamiento de Newton,

\[T'=-k(T-T_m). \tag{A}\]

También asumimos que el cambio en el calor del objeto a medida que cambia su temperatura de\(T_0\) a\(T\) es\(a(T-T_0)\) y que el cambio en el calor del medio a medida que su temperatura cambia de\(T_{m0}\) a\(T_m\) es\(a_m(T_m-T_{m0})\), donde\(a\) y\(a_m\) son constantes positivas dependiendo sobre las masas y propiedades térmicas del objeto y del medio, respectivamente. Si asumimos que el calor total del sistema que consiste en el objeto y el medio permanece constante (es decir, se conserva la energía), entonces

\[a(T-T_0)+a_m(T_m-T_{m0})=0. \tag{B}\]

1. La ecuación (A) involucra dos funciones desconocidas\(T\) y\(T_m\). Utilice (A) y (B) para derivar una ecuación diferencial que involucre solamente\(T\).
2. Encuentra\(T(t)\) y\(T_m(t)\) para\(t>0\).
3. Encontrar\(\lim_{t\to\infty}T(t)\) y\(\lim_{t\to\infty}T_m(t)\).

18. Los mecanismos de control permiten que el fluido fluya hacia un tanque a una velocidad proporcional al volumen\(V\) de fluido en el tanque, y que fluya hacia fuera a una velocidad proporcional a\(V^2\). Supongamos\(V(0)=V_0\) y las constantes de proporcionalidad son\(a\) y\(b\), respectivamente. \(V(t)\)Buscar\(t>0\) y encontrar\(\lim_{t\to\infty}V(t)\).

19. Tanques idénticos\(T_1\) e\(T_2\) inicialmente contienen\(W\) galones cada uno de agua pura. A partir de\(t_0=0\),\(c\) se bombea una solución salina con concentración constante\(T_1\) a\(r\) gal/min y se drena\(T_1\)\(T_2\) a la misma velocidad. La mezcla resultante también\(T_2\) se drena a la misma velocidad. Encuentra las concentraciones\(c_1(t)\) y\(c_2(t)\) en tanques\(T_1\) y\(T_2\) para\(t>0\).

20. Una secuencia infinita de tanques idénticos\(T_1\),\(T_2\),...,\(T_n\),..., inicialmente contienen\(W\) galones cada uno de agua pura. Se enganchan entre sí para que el fluido drene de\(T_n\) hacia adentro\(T_{n+1}\,(n=1,2,\cdots)\). Se hace circular una solución salina a través de los tanques para que entre y salga de cada tanque a una velocidad constante de\(r\) gal/min. La solución tiene una concentración de\(c\) libras de sal por galón cuando entra\(T_1\).

1. Encuentra la concentración\(c_n(t)\) en tanque\(T_n\) para\(t>0\).
2. Encuentra\(\lim_{t\to\infty}c_n(t)\) para cada uno\(n\).

21. Tanques\(T_1\) y\(T_2\) cuentan con capacidades\(W_1\) y\(W_2\) litros, respectivamente. Inicialmente ambos están llenos de soluciones de tinte con concentraciones\(c_{1}\) y\(c_2\) gramos por litro. A partir de\(t_0=0\), la solución de\(T_1\) se\(T_2\) bombea a una velocidad de\(r\) litros por minuto, y la solución de\(T_2\) se\(T_1\) bombea a la misma velocidad.

1. Encuentra las concentraciones\(c_1(t)\) y\(c_2(t)\) del tinte en\(T_1\) y\(T_2\) para\(t>0\).
2. Encontrar\(\lim_{t\to\infty}c_1(t)\) y\(\lim_{t\to\infty}c_2(t)\).

22. Consideremos el problema de mezcla del Ejemplo 4.2.3, pero sin la suposición de que la mezcla se agita instantáneamente para que la sal esté siempre distribuida uniformemente por toda la mezcla. Supongamos en cambio que la distribución se acerca a la uniformidad como\(t\to\infty\) En este caso la ecuación diferencial para\(Q\) es de la forma

\[Q'+{a(t)\over150}Q=2\]

donde\(\lim_{t\to\infty}a(t)=1\).

1. Asumiendo eso\(Q(0)=Q_0\), ¿se puede adivinar el valor de\(\lim_{t\to\infty}Q(t)\)?.
2. Usa métodos numéricos para confirmar tu suposición en los siguientes casos:

\[\text{(i) } a(t)=t/(1+t) \quad \text{(ii) } a(t)=1-e^{-t^2} \quad \text{(iii) } a(t)=1-\sin(e^{-t}).\]

23. Considerar el problema de mezcla del Ejemplo 4.2.4 en un tanque con capacidad infinita, pero sin el supuesto de que la mezcla se agita instantáneamente para que la sal esté siempre distribuida uniformemente por toda la mezcla. Supongamos en cambio que la distribución se acerca a la uniformidad como\(t\to\infty\) En este caso la ecuación diferencial para\(Q\) es de la forma

\[Q'+{a(t)\over t+100}Q=1\]

donde\(\lim_{t\to\infty}a(t)=1\).

1. Dejar\(K(t)\) ser la concentración de sal a la vez\(t\). Asumiendo eso\(Q(0)=Q_0\), ¿puedes adivinar el valor de\(\lim_{t\to\infty}K(t)\)?
2. Usa métodos numéricos para confirmar tu suposición en los siguientes casos:

\[\text{(i) } a(t)=t/(1+t)\quad \text{(ii) } a(t)=1-e^{-t^2} \quad \text{(iii) } a(t)=1+\sin(e^{-t}).\]