4.3E: Mecánica Primaria (Ejercicios)

Salvo que se dirija lo contrario, supongamos que la magnitud de la fuerza gravitacional sobre un objeto con masa\(m\) es constante e igual a\(mg\). En los ejercicios que implican movimiento vertical tomar la dirección hacia arriba para ser positivos.

Q4.3.1

1. Un bombero que pesa\(192\) lb se desliza por un poste de fuego infinitamente largo que ejerce una fuerza resistiva de fricción con magnitud proporcional a su velocidad, con\(k=2.5\) lb-s/ft. Suponiendo que parte del descanso, encuentra su velocidad en función del tiempo y encuentra su velocidad terminal.

2. Una bombera que pesa\(192\) lb se desliza por un poste de fuego infinitamente largo que ejerce una fuerza resistiva de fricción con magnitud proporcional a su velocidad, con constante de proporcionalidad\(k\). Encontrar\(k\), dado que su velocidad terminal es\(-16\) ft/s, y luego encontrar su velocidad\(v\) en función de\(t\). Supongamos que ella parte del descanso.

3. Un barco pesa\(64,000\) lb Su propulsor produce un empuje constante de\(50,000\) lb y el agua ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional a la velocidad, con\(k=2000\) lb-s/ft. Suponiendo que la embarcación parte del descanso, encuentre su velocidad en función del tiempo, y encuentre su velocidad terminal.

4. Una fuerza horizontal constante de\(10\) N empuja un\(20\) kg-masa a través de un medio que resiste su movimiento con\(.5\) N por cada m/s de velocidad. La velocidad inicial de la masa es\(7\) m/s en la dirección opuesta a la dirección de la fuerza aplicada. Encuentra la velocidad de la masa para\(t > 0\).

5. Una piedra que pesa\(1/2\) lb se lanza hacia arriba desde una altura inicial de\(5\) ft con una velocidad inicial de\(32\) pies/s. la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, con\(k=1/128\) lb-s/ft. Encuentra la altura máxima alcanzada por la piedra.

6. Un automóvil de\(3200\) -lb se mueve a\(64\) pies/s por debajo de un\(30\) grado de grado cuando se queda sin combustible. Encuentra su velocidad después de eso si la fricción ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional al cuadrado de la velocidad, con\(k=1\ \mbox{lb-s}^2/{\mbox ft}^2\). También encuentra su velocidad terminal.

7. Un peso\(96\) lb se deja caer del reposo en un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional a la velocidad. Encuentra su velocidad en función del tiempo si su velocidad terminal es\(-128\) ft/s.

8. Un objeto con masa\(m\) se mueve verticalmente a través de un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional a la velocidad. Dejar\(y=y(t)\) ser la altitud del objeto en el momento\(t\), con\(y(0)=y_0\). Utilice los resultados del Ejemplo 4.3.1 para mostrar que

\[y(t)=y_0+{m\over k}(v_0-v-gt).\nonumber \]

9. Un objeto con masa\(m\) es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial\(v_0\) desde la superficie terrestre (\(y_0=0\)) en un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional a la velocidad. Encuentra el\(T\) momento en que el objeto alcanza su altitud máxima\(y_m\). Después usa el resultado del Ejercicio 4.3.8 para encontrar\(y_m\).

10. Un objeto que pesa\(256\) lb se deja caer del reposo en un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional al cuadrado de la velocidad. La magnitud de la fuerza de resistencia es\(1\) lb cuando\(|v|=4\ \mbox{ft/s}\). \(v\)Buscar\(t > 0\) y encontrar su velocidad terminal.

11. A un objeto con masa\(m\) se le da una velocidad inicial\(v_0\le0\) en un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional al cuadrado de la velocidad. Encuentra la velocidad del objeto para\(t > 0\), y encuentra su velocidad terminal.

12. Un objeto con masa\(m\) es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial\(v_0\) en un medio que ejerce una fuerza resistiva con magnitud proporcional al cuadrado de la velocidad.

1. Encuentra el\(T\) momento en que el objeto alcanza su altitud máxima.
2. Utilice el resultado del Ejercicio 4.3.11 para encontrar la velocidad del objeto para\(t > T\).

13. A un objeto con masa\(m\) se le da una velocidad inicial\(v_0\le0\) en un medio que ejerce una fuerza resistiva de la forma\(a|v|/(1+|v|)\), donde\(a\) es constante positiva.

1. Establecer una ecuación diferencial para la velocidad del objeto.
2. Usa tu método numérico favorito para resolver la ecuación que encontraste en (a), para convencerte de que hay un número único\(a_0\) tal que\(\lim_{t\to\infty}s(t)=\infty\) si\(a\le a_0\) y\(\lim_{t\to\infty}s(t)\) existe (finito) si\(a>a_0\). (Decimos que\(a_0\) es el valor de bifurcación de\(a\).) Intenta encontrar\(a_0\) y\(\lim_{t\to\infty}s(t)\) en el caso donde\(a>a_0\).

14. Un objeto de masa\(m\) cae en un medio que ejerce una fuerza resistiva\(f=f(s)\), donde\(s=|v|\) está la velocidad del objeto. Supongamos que\(f(0)=0\) y\(f\) es estrictamente creciente y diferenciable en\((0,\infty)\).

1. Escribe una ecuación diferencial para la velocidad\(s=s(t)\) del objeto. Tómelo como dado que todas las soluciones de esta ecuación con\(s(0)\ge0\) están definidas para todos\(t>0\) (lo cual tiene buen sentido por motivos físicos).
2. Demuéstralo si\(\lim_{s\to\infty}f(s)\le mg\) entonces\(\lim_{t\to\infty}s(t)=\infty\).
3. Mostrar que si\(\lim_{s\to\infty}f(s)>mg\) entonces\(\lim_{t\to\infty}s(t)=s_T\) (velocidad terminal), donde\(f(s_T)=mg\)..

15. Una masa\(100\) -g con velocidad inicial\(v_0\le0\) cae en un medio que ejerce una fuerza resistiva proporcional a la cuarta potencia de la velocidad. La resistencia es\(.1\) N si la velocidad es\(3\) m/s.

1. Configurar el problema de valor inicial para la velocidad\(v\) de la masa para\(t>0\).
2. Utilice el Ejercicio 4.3.14 (c) para determinar la velocidad terminal del objeto.
3. Para confirmar su respuesta a (b), utilice uno de los métodos numéricos estudiados en el Capítulo 3 para computar soluciones aproximadas en\([0,1]\) (segundos) del problema de valor inicial de (a), con valores iniciales\(v_0=0\),\(-2\),\(-4\),...,\(-12\). Presente sus resultados en forma gráfica similar a la Figura 4.3.3.

16. Un objeto de\(64\) -lb con velocidad inicial\(v_0\le0\) cae a través de un fluido denso que ejerce una fuerza resistiva proporcional a la raíz cuadrada de la velocidad. La resistencia es\(64\) lb si la velocidad es\(16\) ft/s.

1. Configurar el problema de valor inicial para la velocidad\(v\) de la masa para\(t>0\).
2. Utilice el Ejercicio 4.3.14 (c) para determinar la velocidad terminal del objeto.
3. Para confirmar su respuesta a (b), utilice uno de los métodos numéricos estudiados en el Capítulo 3 para computar soluciones aproximadas en\([0,4]\) (segundos) del problema de valor inicial de (a), con valores iniciales\(v_0=0\),\(-5\),\(-10\),...,\(-30\). Presente sus resultados en forma gráfica similar a la Figura 4.3.3.

Q4.3.2

En Ejercicios 4.3.17-4.3.20, supongamos que la fuerza debida a la gravedad viene dada por la ley de la gravitación de Newton. Toma la dirección ascendente para ser positivo.

17. Se lanzará una sonda espacial desde una estación espacial\(200\) a millas sobre la Tierra. Determine su velocidad de escape en millas/s. Tome el radio de la Tierra para ser\(3960\) millas.

18. Un vehículo espacial debe ser lanzado desde la luna, que tiene un radio de aproximadamente\(1080\) millas. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la luna es de unos\(5.31\) pies/s\(^2\). Encuentra la velocidad de escape en millas/s.

19.

1. Demostrar que (Ecuación 4.3.27) se puede reescribir como\[v^2={h-y\over y+R} v^2_e+v_0^2.\nonumber \]
2. Mostrar que si\(v_0=\rho v_e\) con\(0\le \rho < 1\), entonces la altitud máxima\(y_m\) alcanzada por el vehículo espacial es\[y_m={h+R\rho^2\over 1-\rho^2}.\nonumber \]
3. Al exigirlo\(v(y_m)=0\), use (Ecuación 4.3.26) para deducir que si\(v_0 < v_e\) entonces\[|v|=v_e\left[{(1-\rho^2)(y_m-y)\over y+R}\right]^{1/2},\nonumber \] donde\(y_m\) y\(\rho\) son como se define en (b) a nd\(y \ge h\).
4. Deducir de (c) que si\(v < v_e\), el vehículo tarda iguales tiempos en subir de\(y=h\) a\(y=y_m\) y volver a caer de\(y=y_m\) a\(y=h\).

20. En la situación considerada en la discusión de la velocidad de escape, mostrar que\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\infty\) si es\(v(t)>0\) para todos\(t>0\).