4.5E: Aplicaciones a Curvas (Ejercicios)

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Q4.5.1

En Ejercicios 4.5.1-4.5.8 encontramos una ecuación diferencial de primer orden para la familia de curvas dada.

1. \(y(x^2+y^2)=c\)

2. \(e^{xy}=cy\)

3. \(\ln |xy|=c(x^2+y^2)\)

4. \(y=x^{1/2}+cx\)

5. \(y=e^{x^2}+ce^{-x^2}\)

6. \({y=x^3+{c\over x}}\)

7. \(y=\sin x+ce^x\)

8. \(y=e^x+c(1+x^2)\)

Q4.5.2

9. Mostrar que la familia de círculos se\[(x-x_0)^2+y^2=1,\;-\infty<x_0<\infty,\nonumber\] puede obtener uniendo curvas integrales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Más específicamente, encontrar ecuaciones diferenciales para las familias de semicírculos

\[(x-x_0)^2+y^2=1,\; x_0<x<x_0+1,\;-\infty<x_0<\infty,\nonumber\]

\[(x-x_0)^2+y^2=1,\; x_0-1<x<x_0,\;-\infty<x_0<\infty.\nonumber\]

10. Supongamos\(f\) y\(g\) son diferenciables para todos\(x\). Encuentra una ecuación diferencial para la familia de funciones\(y=f+cg\) (\(c\)=constante).

Q4.5.3

En Ejercicios 4.5.11-4.5.13 encontramos una ecuación diferencial de primer orden para la familia de curvas dada.

11. Líneas a través de un punto dado\((x_0,y_0)\).

12. Círculos a través\((-1,0)\) y\((1,0)\).

13. Círculos a través\((0,0)\) y\((0,2)\).

Q4.5.4

14. Utilice el método Ejemplo 4.5.6 (a) para encontrar las ecuaciones de líneas a través de los puntos dados tangentes a la parábola\(y=x^2\). También, encuentra los puntos de tangencia.

\((5,9)\)
\((6,11)\)
\((-6,20)\)
\((-3,5)\)

15.

Mostrar que la ecuación de la línea tangente al círculo\[x^2+y^2=1 \tag{A}\] en un punto\((x_0,y_0)\) del círculo es\[y={1-x_0x\over y_0}\quad \text{if} \quad x_0\ne\pm1. \tag{B}\]
Mostrar que si\(y'\) es la pendiente de una línea tangente no vertical al círculo (A) y\((x,y)\) es un punto en la línea tangente entonces\[(y')^2(x^2-1)-2xyy'+y^2-1=0. \tag{C}\]
Mostrar que el segmento de la línea tangente (B) en el que\((x-x_0)/y_0>0\) se encuentra una curva integral de la ecuación diferencial\[y'={xy-\sqrt{x^2+y^2-1}\over x^2-1}, \tag{D}\] mientras que el segmento en el que\((x-x_0)/y_0<0\) se encuentra una curva integral de la ecuación diferencial\[y'={xy+\sqrt{x^2+y^2-1}\over x^2-1}. \tag{E}\] HINT: Use la fórmula cuadrática para resolver (C) para\(y'\). Luego sustituya (B)\(y\) y elija el\(\pm\) signo en la fórmula cuadrática para que la expresión resultante se\(y'\) reduzca a la pendiente conocida\(y'=-x_{0}/y_{0}\)
Mostrar que los semicírculos superior e inferior de (A) son también curvas integrales de (D) y (E).
Encuentra las ecuaciones de dos líneas a través de (5,5) tangente al círculo (A), y encuentra los puntos de tangencia.

16.

Mostrar que la ecuación de la línea tangente a la parábola\[x=y^2 \tag{A}\] en un punto\((x_0,y_0)\ne(0,0)\) de la parábola es\[y={y_0\over2}+{x\over2y_0}. \tag{B}\]
Mostrar que si\(y'\) es la pendiente de una línea tangente no vertical a la parábola (A) y\((x,y)\) es un punto en la línea tangente entonces\[4x^2(y')^2-4xyy'+x=0. \tag{C}\]
Mostrar que el segmento de la línea tangente definido en (a) sobre el cual\(x>x_0\) se encuentra una curva integral de la ecuación diferencial\[y'={y+\sqrt{y^2-x}\over2x}, \tag{D}\] mientras que el segmento en el que\(x<x_0\) se encuentra una curva integral de la ecuación diferencial\[y'={y-\sqrt{y^2-x}\over2x}, \tag{E}\] HINT: Use la fórmula cuadrática para resolver (c) para\(y'\). Luego sustituya (B) por y y elija el\(\pm\) signo en la fórmula cuadrática para que la expresión resultante para\(y'\) reduzca a la pendiente conocida de\(y'=\frac{1}{2y_{0}}\)
Mostrar que las mitades superior e inferior de la parábola (A), dadas por\(y=\sqrt x\) y\(y=-\sqrt x\) para\(x>0\), son también curvas integrales de (D) y (E).

17. Utilice los resultados del Ejercicio 4.5.16 para encontrar las ecuaciones de dos líneas tangentes a la parábola\(x=y^2\) y que pasan por el punto dado. También encuentra los puntos de tangencia.

\((-5,2)\)
\((-4,0)\)
\((7,4)\)
\((5,-3)\)

18. Encuentra una curva\(y=y(x)\) a través de (1,2) tal que la tangente a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(x\) eje en\({x_I=x_0/2}\).

19. Encuentra todas las curvas de\(y=y(x)\) tal manera que la tangente a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(x\) eje en\(x_I=x^3_0\).

20. Encuentra todas las curvas de\(y=y(x)\) tal manera que la tangente a la curva en cualquier punto pase por un punto dado\((x_1,y_1)\).

21. Encuentra una curva\(y=y(x)\) a través de\((1,-1)\) tal manera que la tangente a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(y\) eje en\(y_I=x^3_0\).

22. Encuentra todas las curvas de\(y=y(x)\) tal manera que la tangente a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(y\) eje en\(y_I=x_0\).

23. Encuentre una curva\(y=y(x)\) a través de\((0,2)\) tal manera que la normal a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(x\) eje en\(x_I=x_0+1\).

24. Encuentre una curva\(y=y(x)\) a través de\((2,1)\) tal manera que la normal a la curva en cualquier punto\((x_0,y(x_0))\) intersecta el\(y\) eje en\(y_I=2y(x_0)\).

Q4.5.5

En Ejercicios 4.5.25-2.5.29 encontramos las trayectorias ortogonales de la familia dada de curvas.

25. \(x^2+2y^2=c^2\)

26. \(x^2+4xy+y^2=c\)

27. \(y=ce^{2x}\)

28. \(xye^{x^2}=c\)

29. \({y={ce^x\over x}}\)

Q4.5.6

30. Encuentra una curva a través de\((-1,3)\) ortogonal a cada parábola de la forma\[y=1+cx^2\nonumber\] que intersecta. ¿Cuál de estas parábola se cruza la curva deseada?

31. Mostrar que las trayectorias ortogonales de\[x^2+2axy+y^2=c\nonumber\] satisfacer\[|y-x|^{a+1}|y+x|^{a-1}=k.\nonumber\]

32. Si las líneas\(L\) y se\(L_1\) cruzan en\((x_0,y_0)\) y\(\alpha\) es el ángulo más pequeño a través del cual se\(L\) debe girar en sentido antihorario\((x_0,y_0)\) a punto de llevarlo a coincidencia con\(L_1\), decimos que\(\alpha\) es el ángulo de\(L\) a \(L_1\); por lo tanto,\(0\le\alpha<\pi\). Si\(L\) y\(L_1\) son tangentes a curvas\(C\) y\(C_1\), respectivamente, que se cruzan en\((x_0,y_0)\), decimos que\(C_1\) se cruza\(C\) en el ángulo\(\alpha\). Utilice la identidad\[\tan(A+B)={\tan A+\tan B\over1-\tan A\tan B}\nonumber\] para mostrar que si\(C\) y\(C_1\) están intersectando curvas integrales de\[y'=f(x,y) \quad \text{and} \quad y'={f(x,y)+\tan\alpha\over 1-f(x,y)\tan\alpha} \quad\left( \alpha \ne {\pi\over2}\right),\nonumber\] respectivamente, entonces se\(C_1\) cruza\(C\) en el ángulo\(\alpha\).

33. Utilice el resultado del Ejercicio 4.5.32 para encontrar una familia de curvas que intersecten cada línea no vertical a través del origen en el ángulo\(\alpha=\pi/4\).

34. Usa el resultado del Ejercicio 4.5.32 para encontrar una familia de curvas que intersecten cada círculo centrado en el origen en un ángulo dado\(\alpha \ne \pi/2\).