5.4: El Método de Coeficientes Indeterminados I
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En esta sección consideramos la ecuación de coeficiente constante
\[\label{eq:5.4.1} ay''+by'+cy=e^{\alpha x}G(x),\]
donde\(\alpha\) es una constante y\(G\) es un polinomio.
Del Teorema 5.3.2, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.4.1} es\(y=y_p+c_1y_1+c_2y_2\), donde\(y_p\) está una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.1} y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria
\[ay''+by'+cy=0. \nonumber \]
En la Sección 5.2 mostramos cómo encontrar\(\{y_1,y_2\}\). En esta sección te mostraremos cómo encontrar\(y_p\). El procedimiento que usaremos se llama el método de coeficientes indeterminados. Nuestro primer ejemplo es similar a los Ejercicios 5.3.16-5.3.21.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.2} y''-7y'+12y=4e^{2x}.\]
Entonces encuentra la solución general.
Solución
Sustituyendo\(y_p=Ae^{2x}\)\(y\) en la Ecuación\ ref {eq:5.4.2} producirá un múltiplo constante de\(Ae^{2x}\) en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2}, por lo que puede ser posible elegir\(A\) para que\(y_p\) sea una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2}. Vamos a probarlo; si\(y_p=Ae^{2x}\) entonces
\[y_p''-7y_p'+12y_p=4Ae^{2x}-14Ae^{2x}+12Ae^{2x}=2Ae^{2x}=4e^{2x} \nonumber\]
si\(A=2\). Por lo tanto\(y_p=2e^{2x}\) es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2}. Para encontrar la solución general, observamos que el polinomio característico de la ecuación complementaria
\[\label{eq:5.4.3} y''-7y'+12y=0\]
es\(p(r)=r^2-7r+12=(r-3)(r-4)\), así\(\{e^{3x},e^{4x}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.3}. Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2} es
\[y=2e^{2x}+c_1e^{3x}+c_2e^{4x}. \nonumber\]
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.4} y''-7y'+12y=5e^{4x}.\]
Entonces encuentra la solución general.
Solución
Frescos de nuestro éxito en encontrar una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2} — donde elegimos\(y_p=Ae^{2x}\) porque el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.4.2} es un múltiplo constante de\(e^{2x}\) — puede parecer razonable intentarlo\(y_p=Ae^{4x}\) como una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.4}. Sin embargo, esto no va a funcionar, ya que vimos en Ejemplo 5.4.1 que\(e^{4x}\) es una solución de la ecuación complementaria Ecuación\ ref {eq:5.4.3}, por lo que sustituyendo\(y_p=Ae^{4x}\) en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {eq:5.4.4}) produce cero a la izquierda, no importa cómo escojamos\(A\). Para descubrir una forma adecuada para\(y_p\), utilizamos el mismo enfoque que utilizamos en la Sección 5.2 para encontrar una segunda solución de
\[ay''+by'+cy=0 \nonumber\]
en el caso donde la ecuación característica tiene una raíz real repetida: buscamos soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.4} en la forma\(y=ue^{4x}\), donde\(u\) es una función a determinar. Sustituyendo\[\label{eq:5.4.5} y=ue^{4x},\quad y'=u'e^{4x}+4ue^{4x},\quad \text{and} \quad y''=u''e^{4x}+8u'e^{4x}+16ue^{4x}\]
en Ecuación\ ref {eq:5.4.4} y cancelar los\(e^{4x}\) rendimientos del factor común\[(u''+8u'+16u)-7(u'+4u)+12u=5, \nonumber\]
o\[u''+u'=5. \nonumber\]
Por inspección vemos que\(u_p=5x\) es una solución particular de esta ecuación, así\(y_p=5xe^{4x}\) es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.4}. Por lo tanto\[y=5xe^{4x}+c_1e^{3x}+c_2e^{4x} \nonumber\]
es la solución general.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.6} y''-8y'+16y=2e^{4x}.\]
Solución
Dado que el polinomio característico de la ecuación complementaria
\[\label{eq:5.4.7} y''-8y'+16y=0\]
es\(p(r)=r^2-8r+16=(r-4)^2\), ambos\(y_1=e^{4x}\) y\(y_2=xe^{4x}\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.7}. Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:5.4.6}) no tiene una solución de la forma\(y_p=Ae^{4x}\) o\(y_p=Axe^{4x}\). Como en Example 5.4.2 , buscamos soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.6} en la forma\(y=ue^{4x}\), where \(u\) is a function to be determined. Substituting from Equation \ref{eq:5.4.5} into Equation \ref{eq:5.4.6} and canceling the common factor \(e^{4x}\) yields
\[(u''+8u'+16u)-8(u'+4u)+16u=2, \nonumber\]
o\[u''=2. \nonumber\]
Integrar dos veces y tomar las constantes de integración a cero muestra que\(u_p=x^2\) es una solución particular de esta ecuación, así\(y_p=x^2e^{4x}\) es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.4}. Por lo tanto\[y=e^{4x}(x^2+c_1+c_2x) \nonumber\]
es la solución general.Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relativos a la forma de una solución particular\(y_p\) de una ecuación coeficiente constante
\[ay''+by'+cy=ke^{\alpha x}, \nonumber\]
donde\(k\) es una constante diferente de cero:
- Si\(e^{\alpha x}\) no es una solución de la ecuación complementaria\[\label{eq:5.4.8} ay''+by'+cy=0,\] entonces\(y_p=Ae^{\alpha x}\), donde\(A\) es una constante. (Ver Ejemplo 5.4.1 ).
- Si\(e^{\alpha x}\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.4.8} pero no lo\(xe^{\alpha x}\) es, entonces\(y_p=Axe^{\alpha x}\), donde\(A\) es una constante. (Ver Ejemplo 5.4.2 .)
- Si ambos\(e^{\alpha x}\) y\(xe^{\alpha x}\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.8}, entonces\(y_p=Ax^2e^{\alpha x}\), donde\(A\) es una constante. (Ver Ejemplo 5.4.3 .)
Ver Ejercicio 5.4.30 para las pruebas de estos hechos.
En los tres casos solo puede sustituir la forma apropiada\(y_p\) y sus derivados directamente en
\[ay_p''+by_p'+cy_p=ke^{\alpha x},\nonumber\]
y resolver para la constante\(A\), como hicimos en Ejemplo 5.4.1 . (Ver Ejercicios 5.4.31-5.4.33.) Sin embargo, si la ecuación es
\[ay''+by'+cy=k e^{\alpha x}G(x), \nonumber\]
donde\(G\) es un polinomio de grado mayor a cero, te recomendamos que utilices la sustitución\(y=ue^{\alpha x}\) como hicimos en Ejemplos 5.4.2 y 5.4.3 . La ecuación para\(u\) will turn out to be
\[\label{eq:5.4.9} au''+p'(\alpha)u'+p(\alpha)u=G(x),\]
donde\(p(r)=ar^2+br+c\) está el polinomio característico de la ecuación complementaria y\(p'(r)=2ar+b\) (Ejercicio 5.4.30); sin embargo, no se debe memorizar esto ya que es fácil derivar la ecuación para\(u\) en cualquier caso particular. Tenga en cuenta, sin embargo, que si\(e^{\alpha x}\) es una solución de la ecuación complementaria entonces\(p(\alpha)=0\), entonces la Ecuación\ ref {eq:5.4.9} se reduce a
\[au''+p'(\alpha)u'=G(x), \nonumber\]
mientras que si ambos\(e^{\alpha x}\) y\(xe^{\alpha x}\) son soluciones de la ecuación complementaria entonces\(p(r)=a(r-\alpha)^2\) y\(p'(r)=2a(r-\alpha)\), así\(p(\alpha)=p'(\alpha)=0\) y Ecuación\ ref {eq:5.4.9}) reduce a
\[au''=G(x). \nonumber\]
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.10} y''-3y'+2y=e^{3x}(-1+2x+x^2).\]
Solución
Sustituyendo
\[y=ue^{3x},\quad y'=u'e^{3x}+3ue^{3x},\quad \text{and} y''=u''e^{3x}+6u'e^{3x}+9ue^{3x}\nonumber \]
en Ecuación\ ref {eq:5.4.10}) y cancelar\(e^{3x}\) rendimientos\[(u''+6u'+9u)-3(u'+3u)+2u=-1+2x+x^2, \nonumber\]
o\[\label{eq:5.4.11} u''+3u'+2u=-1+2x+x^2.\]
Como en el Ejemplo 5.3.2, para adivinar una forma para una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.11}), observamos que sustituir un polinomio de segundo grado\(u_p=A+Bx+Cx^2\) por\(u\) en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {eq:5.4.11}) produce otro polinomio de segundo grado con coeficientes que dependen de \(A\),\(B\), y\(C\); por lo tanto,
\[\text{if} \quad u_p=A+Bx+Cx^2\quad \text{then} \quad u_p'=B+2Cx\quad \text{and} \quad u_p''=2C. \nonumber\]
Si\(u_p\) es para satisfacer la Ecuación\ ref {eq:5.4.11}), debemos tener\[\begin{aligned} u_p''+3u_p'+2u_p&=2C+3(B+2Cx)+2(A+Bx+Cx^2)\\ &=(2C+3B+2A)+(6C+2B)x+2Cx^2=-1+2x+x^2.\end{aligned}\nonumber \]
Equiparar coeficientes de potencias similares de\(x\) en los dos lados de los últimos rendimientos de igualdad\[\begin{array}{rcr} 2C&=1\phantom{.}\\ 2B+6C&=2\phantom{.}\\ 2A+3B+2C&= -1. \end{array}\nonumber \]
Resolver estas ecuaciones para\(C\)\(B\),, y\(A\) (en ese orden) rendimientos\(C=1/2,B=-1/2,A=-1/4\). Por lo tanto\[u_p=-{1\over4}(1+2x-2x^2) \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.11}, y\[y_p=u_pe^{3x}=-{e^{3x}\over4}(1+2x-2x^2) \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.10}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.12} y''-4y'+3y=e^{3x}(6+8x+12x^2).\]
Solución
Sustituyendo
\[y=ue^{3x},\quad y'=u'e^{3x}+3ue^{3x},\quad \text{and } y''=u''e^{3x}+6u'e^{3x}+9ue^{3x} \nonumber\]
en Ecuación\ ref {eq:5.4.12}) y cancelar\(e^{3x}\) rendimientos\[(u''+6u'+9u)-4(u'+3u)+3u=6+8x+12x^2, \nonumber\]
o\[\label{eq:5.4.13} u''+2u'=6+8x+12x^2.\]
No hay\(u\) término en esta ecuación, ya que\(e^{3x}\) es una solución de la ecuación complementaria para la Ecuación\ ref {eq:5.4.12}). (Ver Ejercicio 5.4.30.) Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}) no tiene una solución particular de la forma\(u_p=A+Bx+Cx^2\) que usamos con éxito en el Ejemplo 5.4.4 , ya que con esta elección de\(u_p\),\[u_p''+2u_p'=2C+(B+2Cx) \nonumber\]
no puede contener el último término (\(12x^2\)) en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}). En cambio, probemos con\(u_p=Ax+Bx^2+Cx^3\) el argumento de que\[u_p'=A+2Bx+3Cx^2\quad \text{and} \quad u_p''=2B+6Cx\nonumber \]
juntos contienen todos los poderes de los\(x\) que aparecen en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}).Sustituyendo estas expresiones en lugar de\(u'\) y\(u''\) en la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}) produce
\[(2B+6Cx)+2(A+2Bx+3Cx^2)=(2B+2A)+(6C+4B)x+6Cx^2=6+8x+12x^2. \nonumber\]
Comparar coeficientes de potencias similares de\(x\) en los dos lados de la última igualdad muestra que\(u_p\) satisface la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}) si\[\begin{array}{rcr} 6C&=12\phantom{.}\\ 4B+6C&=8\phantom{.}\\ 2A+2B\phantom{+6u_2}&=6. \end{array}\nonumber \]
Resolver estas ecuaciones sucesivamente rinde\(C=2\),\(B=-1\), y\(A=4\). Por lo tanto\[u_p=x(4-x+2x^2) \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.13}), y\[y_p=u_pe^{3x}=xe^{3x}(4-x+2x^2) \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.12}).
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.14} 4y''+4y'+y=e^{-x/2}(-8+48x+144x^2).\]
Solución
Sustituyendo
\[y=ue^{-x/2},\quad y'=u'e^{-x/2}-{1\over2}ue^{-x/2},\quad \text{and} \quad y''=u''e^{-x/2}-u'e^{-x/2}+{1\over4}ue^{-x/2} \nonumber\]
en Ecuación\ ref {eq:5.4.14}) y cancelar\(e^{-x/2}\) rendimientos\[4\left(u''-u'+{u\over4}\right)+4\left(u'-{u\over2}\right)+u=4u''=-8+48x+144x^2, \nonumber\]
o\[\label{eq:5.4.15} u''=-2+12x+36x^2,\]
que no contiene\(u\) o\(u'\) porque\(e^{-x/2}\) y\(xe^{-x/2}\) son ambas soluciones de la ecuación complementaria. (Ver Ejercicio 5.4.30.) Para obtener una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.15}) integramos dos veces, tomando las constantes de integración a cero; así,\[u_p'=-2x+6x^2+12x^3\quad \text{and} \quad u_p=-x^2+2x^3+3x^4=x^2(-1+2x+3x^2).\nonumber\]
Por lo tanto\[y_p=u_pe^{-x/2}=x^2e^{-x/2}(-1+2x+3x^2)\nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.14}).
Resumen
Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relativos a soluciones particulares de una ecuación coeficiente constante de la forma
\[ay''+by'+cy=e^{\alpha x}G(x),\nonumber\]
donde\(G\) es un polinomio (ver Ejercicio 5.4.30):
- Si\(e^{\alpha x}\) no es una solución de la ecuación complementaria\[\label{eq:5.4.16} ay''+by'+cy=0,\] entonces\(y_p=e^{\alpha x}Q(x)\), donde\(Q\) es un polinomio del mismo grado que\(G\). (Ver Ejemplo 5.4.4 ).
- Si\(e^{\alpha x}\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.4.16} pero no lo\(xe^{\alpha x}\) es\(y_p=xe^{\alpha x}Q(x)\), entonces, donde\(Q\) es un polinomio del mismo grado que\(G\). (Ver Ejemplo 5.4.5 .)
- Si ambos\(e^{\alpha x}\) y\(xe^{\alpha x}\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.4.16}\(y_p=x^2e^{\alpha x}Q(x)\), entonces, donde\(Q\) es un polinomio del mismo grado que\(G\). (Ver Ejemplo 5.4.6 .)
En los tres casos, solo puede sustituir la forma apropiada\(y_p\) y sus derivados directamente en
\[ay_p''+by_p'+cy_p=e^{\alpha x}G(x), \nonumber\]
y resolver para los coeficientes del polinomio\(Q\). No obstante, si intentas esto verás que los cálculos son más tediosos que los que te encuentras haciendo la sustitución\(y=ue^{\alpha x}\) y encontrando una solución particular de la ecuación resultante para\(u\). (Ver Ejercicios 5.4.34-5.4.36.) En el Caso (a) la ecuación para\(u\) will be of the form
\[au''+p'(\alpha)u'+p(\alpha)u=G(x), \nonumber\]
con una solución particular de la forma\(u_p=Q(x)\), un polinomio del mismo grado que\(G\), cuyos coeficientes se pueden encontrar por el método utilizado en Ejemplo 5.4.4 . En el caso (b) la ecuación para\(u\) will be of the form
\[au''+p'(\alpha)u'=G(x) \nonumber\]
(sin\(u\) término a la izquierda), con una solución particular de la forma\(u_p=xQ(x)\), donde\(Q\) es un polinomio del mismo grado que\(G\) cuyos coeficentes se pueden encontrar por el método utilizado en Ejemplo 5.4.5 . En el Caso (c), la ecuación para\(u\) will be of the form
\[au''=G(x) \nonumber\]
con una solución particular de la forma\(u_p=x^2Q(x)\) que se puede obtener integrando\(G(x)/a\) dos veces y tomando las constantes de integración a cero, como en Ejemplo 5.4.6 .
Uso del principio de superposición
El siguiente ejemplo muestra cómo combinar el método de coeficientes indeterminados y el Teorema 5.3.3, el principio de superposición.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.4.17} y''-7y'+12y=4e^{2x}+5e^{4x}.\]
Solución
En Ejemplo 5.4.1 encontramos que\(y_{p_1}=2e^{2x}\) es una solución particular de
\[y''-7y'+12y=4e^{2x}, \nonumber\]
y en Example 5.4.2 encontramos que\(y_{p_2}=5xe^{4x}\) es una solución particular de\[y''-7y'+12y=5e^{4x}. \nonumber\]
Por lo tanto el principio de superposición implica que\(y_p=2e^{2x}+5xe^{4x}\) es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.4.17}).