7.1: Preludio a soluciones en serie de ecuaciones lineales de segundo orden

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114713

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

En este Capítulo, estudiamos una clase de ecuaciones diferenciales de segundo orden que ocurren en muchas aplicaciones, pero que no pueden resolverse en forma cerrada en términos de funciones elementales. Aquí hay algunos ejemplos:

Ecuación de Bessel que ocurre en problemas de visualización de simetría cilíndrica, como difracción de luz a través de una abertura circular, propagación de radiación electromagnética a través de un cable coaxial y vibraciones de una cabeza de tambor circular. \[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, \nonumber\]
Ecuación de Airy que ocurre en astronomía y física cuántica. \[y''-xy=0, \nonumber\]
Ecuación de Legendre que ocurre en problemas que muestran simetría esférica, particularmente en electromagnetismo. \[(1-x^2)y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0, \nonumber\]

Estas ecuaciones y otras consideradas en este capítulo se pueden escribir en la forma

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0, \label{A}\]

donde\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) son polinomios sin factor común. Para la mayoría de las ecuaciones que ocurren en aplicaciones, estos polinomios son de grado dos o menos. Impondremos esta restricción, aunque los métodos que desarrollaremos pueden extenderse al caso en que las funciones de coeficiente sean polinomios de grado arbitrario, o incluso series de potencia que convergen en algún círculo alrededor del origen en el plano complejo.

Dado que la Ecuación\ ref {A} no tiene en general soluciones de forma cerrada, buscamos representaciones en serie para soluciones. Veremos que si\(P_0(0)\ne0\) entonces las soluciones de (A) se pueden escribir como series de potencia\[y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \nonumber\] que convergen en un intervalo abierto centrado en\(x=0\).