7.2: Revisión de la serie Power
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Muchas aplicaciones dan lugar a ecuaciones diferenciales con soluciones que no se pueden expresar en términos de funciones elementales como polinomios, funciones racionales, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas. Las soluciones de algunas de las ecuaciones más importantes se pueden expresar en términos de series de potencia. Estudiaremos este tipo de ecuaciones en este capítulo. En esta sección revisamos las propiedades relevantes de las series de potencia. Omitiremos las pruebas, que se pueden encontrar en cualquier texto de cálculo estándar.
Una serie infinita de la forma
\[\label{eq:7.1.1} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\]
donde\(x_0\) y\(a_0\),\(a_1,\)...,\(a_n,\)... son constantes, se llama una serie de potencias en\(x-x_0.\) Decimos que la serie de potencia Ecuación\ ref {eq:7.1.1} converge para un dado\(x\) si el límite
\[\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n \nonumber\]
existe de\(;\) otra manera, decimos que la serie de potencia diverge para el dado\(x.\)
Una serie de potencias en\(x-x_0\) debe converger si\(x=x_0\), ya que las potencias positivas de\(x-x_0\) son todas cero en este caso. Este puede ser el único valor\(x\) para el cual converge la serie de potencia. Sin embargo, el siguiente teorema muestra que si la serie de potencias converge para algunos\(x\ne x_0\) entonces el conjunto de todos los valores de\(x\) para los que converge forma un intervalo.
Para cualquier serie de potencia
\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
exactamente una de estas afirmaciones es cierta:
- La serie de potencia converge solo para\(x=x_0.\)
- La serie de potencia converge para todos los valores de\(x.\)
- Hay un número positivo\(R\) tal que la serie de potencia converge si\(|x-x_0|<R\) y diverge si\(|x-x_{0}|>R\).
En el caso (iii) decimos que\(R\) es el radio de convergencia de la serie de potencias. Por conveniencia, incluimos los otros dos casos en esta definición definiendo\(R=0\) en el caso (i) y\(R=\infty\) en el caso (ii). Definimos el intervalo abierto de convergencia\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) de ser
\[(x_{0}-R, x_{0}+R)\quad\text{if}\quad 0<R<\infty ,\quad\text{or}\quad (-\infty, \infty )\quad\text{if}\quad R=\infty \nonumber.\]
Si\(R\) es finito, no se puede hacer ninguna declaración general sobre la convergencia en los puntos finales\(x=x_0\pm R\) del intervalo abierto de convergencia; la serie puede converger en uno o ambos puntos, o divergir en ambos.
Recordemos del cálculo que\(\sum_{n=0}^\infty\alpha_n\) se dice que una serie de constantes convergen absolutamente si converge la serie de valores\(\sum_{n=0}^\infty|\alpha_n|\) absolutos. Se puede demostrar que una serie de potencias\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) con un radio de convergencia positivo\(R\) converge absolutamente en su intervalo abierto de convergencia; es decir, la serie
\[\sum_{n=0}^\infty |a_n||x-x_0|^n \nonumber\]
de valores absolutos converge si\(|x-x_0| <R\). Sin embargo\(R<\infty\), si, la serie puede no converger absolutamente en un punto final\(x_{0}\pm R\), incluso si converge aquí.
El siguiente teorema proporciona un método útil para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias. Se deriva en cálculo aplicando la prueba de ratio a la serie correspondiente de valores absolutos. Para teoremas relacionados ver Ejercicios 7.2.2 y 7.2.4.
Supongamos que hay un entero\(N\) tal que\(a_n\ne0\) si\(n\ge N\) y
\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=L, \nonumber\]
donde\(0\le L\le\infty.\) Entonces el radio de convergencia de\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) es el\(R=1/ L,\) que debe interpretarse en el sentido de que\(R=0\) si\(L=\infty,\) o\(R=\infty\) si\(L=0\).
Encuentra el radio de convergencia de la serie:
- \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n!x^n \nonumber\)
- \(\displaystyle \sum_{n=10}^\infty (-1)^n {x^n\over n!} \nonumber\)
- \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nn^2 (x-1)^n.\nonumber\)
Solución a
Aquí\(a_n=n!\), entonces
\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {(n+1)!\over n!}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty. \nonumber\]
De ahí,\(R=0\).
Solución b
Aquí\(a_n=(1)^n/n!\) para\(n\ge N=10\), entonces
\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {n!\over (n+1)!}=\lim_{n\to\infty}{1\over n+1}=0. \nonumber\]
De ahí,\(R=\infty\).
Solución c
Aquí\(a_n=2^nn^2\), entonces
\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {2^{n+1}(n+1)^2\over2^nn^2}=2\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^2=2. \nonumber\]
De ahí,\(R=1/2\).
Serie Taylor
Si una función\(f\) tiene derivados de todos los órdenes en un punto\(x=x_0\), entonces la serie Taylor de\(f\) aproximadamente\(x_0\) se define por
\[\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n. \nonumber \]
En el caso especial donde\(x_0=0\), esta serie también se llama la serie Maclaurin de\(f\).
Las series Taylor para la mayoría de las funciones elementales comunes convergen a las funciones en sus intervalos abiertos de convergencia. Por ejemplo, probablemente estés familiarizado con la siguiente serie de Maclaurin:
\[\begin{align} \label{eq:7.1.2} e^{x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.3} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.4} \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.5} \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad -1<x<1 \end{align}\]
Diferenciación de la serie Power
Una serie de potencia con un radio de convergencia positivo define una función
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]
en su intervalo abierto de convergencia. Decimos que la serie representa\(f\) en el intervalo abierto de convergencia. Una función\(f\) representada por una serie de potencias puede ser una función elemental familiar como en Ecuaciones\ ref {eq:7.1.2} -\ ref {eq:7.1.5}; sin embargo, a menudo sucede que\(f\) no es una función familiar, por lo que la serie realmente define\(f\).
El siguiente teorema muestra que una función representada por una serie de potencias tiene derivadas de todos los órdenes en el intervalo abierto de convergencia de la serie de potencia, y proporciona representaciones de series de potencia de las derivadas.
Serie de potencia A
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]
con radio positivo de convergencia\(R\) tiene derivadas de todos los órdenes en su intervalo abierto de convergencia, y las derivadas sucesivas pueden obtenerse diferenciando repetidamente término por término es\(;\) decir,
\[\begin{align} f'(x)&={\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}}\label{eq:7.1.6},\\[4pt] f''(x)&={\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}},\label{eq:7.1.7}\\[4pt] &\vdots&\nonumber\\ f^{(k)}(x)&={\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}}\label{eq:7.1.8}.\end{align}\nonumber \]
Además, todas estas series tienen el mismo radio de convergencia\(R.\)
Vamos\(f(x)=\sin x\). De la ecuación\ ref {eq:7.1.3},
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n {x^{2n+1}\over(2n+1)!}. \nonumber\]
De la ecuación\ ref {eq:7.1.6},
\[f'(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{d\over dx}\left[x^{2n+1}\over(2n+1)!\right]= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n {x^{2n}\over(2n)!}, \nonumber\]
que es la serie Ecuación\ ref {eq:7.1.4} para\(\cos x\).
Unicidad de la serie Power
El siguiente teorema muestra que si\(f\) se define por una serie de potencias en\(x-x_0\) con un radio positivo de convergencia, entonces la serie de potencia es la serie Taylor de\(f\) aproximadamente\(x_0\).
Si la serie de potencia
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]
tiene un radio positivo de convergencia, entonces
\[\label{eq:7.1.9} a_n={f^{(n)}(x_0)\over n!};\]
es decir,\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) es la serie Taylor de\(f\) aproximadamente\(x_0\).
Este resultado se puede obtener estableciendo\(x=x_0\) en la Ecuación\ ref {eq:7.1.8}, que rinde
\[f^{(k)}(x_0)=k(k-1)\cdots1\cdot a_k=k!a_k. \nonumber\]
Esto implica que
\[a_k={f^{(k)}(x_0)\over k!}.\nonumber\]
Excepto por notación, esto es lo mismo que Ecuación\ ref {eq:7.1.9}.
El siguiente teorema enumera dos propiedades importantes de las series de poder que siguen del Teorema 7.2.4 .
- Si\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\nonumber \] para todos\(x\) en un intervalo abierto que contiene\(x_0,\) entonces\(a_n=b_n\) para\(n=0\),\(1\),\(2\),...
- Si\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=0\nonumber \] para todos\(x\) en un intervalo abierto que contiene\(x_0,\) entonces\(a_n=0\) para\(n=0\),\(1\),\(2\),...
Para obtener (a) observamos que las dos series representan la misma función\(f\) en el intervalo abierto; de ahí que el Teorema 7.2.4 implica que
\[a_n=b_n={f^{(n)}(x_0)\over n!},\quad n=0,1,2, \dots. \nonumber\]
b) se puede obtener de (a) tomando\(b_n=0\) para\(n=0\),\(1\),\(2\),...
Polinomios de Taylor
Si\(f\) tiene\(N\) derivados en algún momento\(x_0\), decimos que
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n \nonumber\]
es el \(N\)-ésimo polinomio de Taylor de\(f\) aproximadamente\(x_0\). Esta definición y teorema 7.2.4 implican que si
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
donde la serie de potencias tiene un radio positivo de convergencia, entonces los polinomios Taylor de\(f\) aproximadamente\(x_0\) están dados por
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]
En aplicaciones numéricas, utilizamos los polinomios de Taylor para aproximar\(f\) en subintervalos del intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias. Por ejemplo, la Ecuación\ ref {eq:7.1.2} implica que el polinomio Taylor\(T_N\) de\(f(x)=e^x\) es
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N{x^n\over n!}. \nonumber\]
La curva sólida en la Figura 7.2.1 es la gráfica de\(y=e^x\) en el intervalo\([0,5]\). Las curvas punteadas en la Figura 7.2.1 son las gráficas de los polinomios de Taylor\(T_1\),...,\(T_6\) de\(y=e^x\) aproximadamente\(x_0=0\). A partir de esta cifra, se concluye que la precisión de la aproximación de\(y=e^x\) por su polinomio Taylor\(T_N\) mejora a medida que\(N\) aumenta.
Desviando el índice de suma
En Definición 7.2.1 de una serie de potencia en\(x-x_0\), el\(n\) -ésimo término es un múltiplo constante de\((x-x_0)^n\). Esto no es cierto en la Ecuación\ ref {eq:7.1.6}, Ecuación\ ref {eq:7.1.7} y Ecuación\ ref {eq:7.1.8}, donde los términos generales son múltiplos constantes de\((x-x_0)^{n-1}\),\((x-x_0)^{n-2}\), y\((x-x_0)^{n-k}\), respectivamente. Sin embargo, todas estas series pueden ser reescritas para que sus\(n\) -ésimo términos sean múltiplos constantes de\((x-x_0)^n\). Por ejemplo, dejar entrar\(n=k+1\) la serie en Ecuación\ ref {eq:7.1.6} rendimientos
\[\label{eq:7.1.10} f'(x)=\sum_{k=0}^\infty (k+1)a_{k+1}(x-x_0)^k,\]
donde iniciamos el nuevo índice de suma\(k\) desde cero para que el primer término en la Ecuación\ ref {eq:7.1.10} (obtenido por ajuste\(k=0\)) sea el mismo que el primer término en la Ecuación\ ref {eq:7.1.6} (obtenido por ajuste\(n=1\)). Sin embargo, la suma de una serie es independiente del símbolo utilizado para denotar el índice de suma, así como el valor de una integral definida es independiente del símbolo utilizado para denotar la variable de integración. Por lo tanto podemos sustituir\(k\) por\(n\) en la Ecuación\ ref {eq:7.1.10} para obtener
\[\label{eq:7.1.11} f'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n,\]
donde el término general es un múltiplo constante de\((x-x_0)^n\).
No es realmente necesario introducir el índice de suma intermedia\(k\). Podemos obtener la Ecuación\ ref {eq:7.1.11} directamente de la Ecuación\ ref {eq:7.1.6} reemplazando\(n\) por\(n+1\) en el término general de la Ecuación\ ref {eq:7.1.6} y restando 1 del límite inferior de la Ecuación\ ref {eq:7.1.6}. De manera más general, utilizamos el siguiente procedimiento para cambiar los índices.
Para cualquier entero\(k\), la serie power
\[\sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } b _ { n } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n - k } \nonumber \]
se puede reescribir como
\[\sum _ { n = n _ { 0 } - k } ^ { \infty } b _ { n + k } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } \nonumber \]
es decir, sustituir\(n\) por\(n + k\) en el término general y restar k del límite inferior de suma deja inalterada la serie.
Reescribe la siguiente serie de potencias de la Ecuación\ ref {eq:7.1.7} y la Ecuación\ ref {eq:7.1.8} para que el término general en cada una sea un múltiplo constante de\((x-x_0)^n\):
\[(a) \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}\quad (b) \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}. \nonumber \]
Solución a
Sustituir\(n\) por\(n+2\) en el término general y restar\(2\) del límite inferior de rendimientos sumatorios
\[\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}(x-x_0)^n. \nonumber \]
Solución b
Sustituir\(n\) por\(n+k\) en el término general y restar\(k\) del límite inferior de rendimientos sumatorios
\[\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}= \sum_{n=0}^\infty (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}(x-x_0)^n. \nonumber \]
Teniendo en cuenta que
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, \nonumber\]
escribir la función\(xf''\) como una serie de potencia en la que el término general es un múltiplo constante de\(x^n\).
Solución
Del Teorema 7.2.4 con\(x_0=0\),
\[f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}.\nonumber\]
Por lo tanto
\[xf''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1}.\nonumber\]
Sustituir\(n\) por\(n+1\) en el término general y restar\(1\) del límite inferior de rendimientos sumatorios
\[xf''(x)=\sum_{n=1}^\infty (n+1)na_{n+1}x^n.\nonumber\]
También podemos escribir esto como
\[xf''(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)na_{n+1}x^n,\nonumber\]
ya que el primer término en esta última serie es cero. (Veremos más adelante que a veces es útil incluir cero términos al inicio de una serie).
Combinaciones lineales de la serie de potencia
Si una serie de potencias se multiplica por una constante, entonces la constante se puede colocar dentro de la suma; es decir,
\[c\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty ca_n(x-x_0)^n.\nonumber\]
Dos series de potencia
\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \quad\mbox{ and }\quad g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\nonumber\]
con radios positivos de convergencia pueden agregarse término por término en puntos comunes a sus intervalos abiertos de convergencia; así, si la primera serie converge para\(|x-x_0|<R_{1}\) y la segunda converge para\(|x-x_{0}|<R_{2}\), entonces
\[f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n\nonumber\]
para\(|x-x_0|<R\), donde\(R\) es el menor de\(R_{1}\) y\(R_{2}\). Más generalmente, las combinaciones lineales de series de potencia se pueden formar término por término; por ejemplo,
\[c_1f(x)+c_2f(x)=\sum_{n=0}^\infty(c_1a_n+c_2b_n)(x-x_0)^n.\nonumber\]
Encuentre la serie Maclaurin para\(\cosh x\) como una combinación lineal de la serie Maclaurin para\(e^x\) y\(e^{-x}\).
Solución
Por definición,
\[\cosh x={1\over2}e^x+{1\over2}e^{-x}. \nonumber\]
Desde
\[e^x=\sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!}\quad\mbox{ and }\quad e^{-x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {x^n\over n!}, \nonumber\]
se deduce que
\[\label{eq:7.1.12} \cosh x=\sum_{n=0}^\infty {1\over2}[1+(-1)^n]{x^n\over n!}.\]
Desde
\[{1\over2}[1+(-1)^n]=\left\{\begin{array}{cl}1&\mbox{ if } n=2m,\mbox{ an even integer},\\ 0&\mbox{ if }n=2m+1,\mbox{ an odd integer}, \end{array}\right. \nonumber\]
podemos reescribir la ecuación\ ref {eq:7.1.12} más simplemente como
\[\cosh x=\sum_{m=0}^\infty{x^{2m}\over(2m)!}. \nonumber\]
Este resultado es válido en\((-\infty,\infty)\), ya que este es el intervalo abierto de convergencia de la serie Maclaurin para\(e^x\) y\(e^{-x}\).
Supongamos
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \nonumber\]
en un intervalo abierto\(I\) que contiene el origen.
- Express\[(2-x)y''+2y \nonumber\] como una serie de potencia en\(x\) encendido\(I\).
- Utilizar el resultado de (a) para encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre los coeficientes\(\{a_n\}\)\(y\) para ser una solución de la ecuación homogénea
\[\label{eq:7.1.13} (2-x)y''+2y=0\]
encendido\(I\).
Solución a
De la ecuación\ ref {eq:7.1.7} con\(x_0=0\),
\[y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\label{eq:7.1.14} \begin{array}{rcl} (2-x)y''+2y &= 2y''-xy'+2y\\ &= {\sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_nx^{n-2} -\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} +\sum_{n=0}^\infty 2a_n x^n}. \end{array}\]
Para combinar las tres series desplazamos índices en las dos primeras para que sus términos generales sean múltiplos constantes de\(x^n\); así,
\[\label{eq:7.1.15} \sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty2(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]
y
\[\label{eq:7.1.16} \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty(n+1)na_{n+1}x^n =\sum_{n=0}^\infty(n+1)na_{n+1}x^n,\]
donde agregamos un término cero en la última serie para que cuando sustituyamos de la Ecuación\ ref {eq:7.1.15} y la Ecuación\ ref {eq:7.1.16} en la Ecuación\ ref {eq:7.1.14} las tres series comenzarán con\(n=0\); así,
\[\label{eq:7.1.17} (2-x)y''+2y=\sum_{n=0}^\infty [2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n]x^n.\]
Solución b
De la Ecuación\ ref {eq:7.1.17} vemos que\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:7.1.13} en\(I\) si
\[\label{eq:7.1.18} 2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n=0,\quad n=0,1,2, \dots.\]
Por el contrario, el Teorema 7.2.5 b implica que si\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) satisface la Ecuación\ ref {eq:7.1.13} on\(I\), entonces la Ecuación\ ref {eq:7.1.18} se mantiene.
Supongamos
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-1)^n \nonumber\]
en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(x_0=1\). Expresar la función
\[\label{eq:7.1.19} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y\]
como una serie de potencia\(x-1\) en\(I\).
Solución
Como queremos una serie de potencias en\(x-1\), reescribimos el coeficiente de\(y''\) en Ecuación\ ref {eq:7.1.19} como\(1+x=2+(x-1)\), así Ecuación\ ref {eq:7.1.19} se convierte
\[2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y. \nonumber\]
De la ecuación\ ref {eq:7.1.6} y la ecuación\ ref {eq:7.1.7} con\(x_0=1\),
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^{n-1}\quad\mbox{ and }\quad y ''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} 2y '' &= \sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_n(x-1)^{n-2},\\ (x-1)y '' &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-1},\\ 2(x-1)^2y' &= \sum_{n=1}^\infty2na_n(x-1)^{n+1},\\ 3y &= \sum_{n=0}^\infty 3a_n (x-1)^n.\end{aligned} \nonumber \]
Antes de sumar estas cuatro series desplazamos los índices en las tres primeras para que sus términos generales se conviertan en múltiplos constantes de\((x-1)^n\). Esto rinde
\[\begin{align} 2y'' &= \sum_{n=0}^\infty 2(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-1)^n,\label{eq:7.1.20}\\ (x-1)y'' &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)na_{n+1}(x-1)^n, \label{eq:7.1.21}\\ 2(x-1)^2y' &= \sum_{n=1}^\infty 2(n-1)a_{n-1}(x-1)^n,\label{eq:7.1.22}\\ 3y &= \sum_{n=0}^\infty 3a_n (x-1)^n, \label{eq:7.1.23}\end{align}\]
donde agregamos términos cero iniciales a la serie en Ecuación\ ref {eq:7.1.21} y Ecuación\ ref {eq:7.1.22}. Sumando ecuaciones\ ref {eq:7.1.20} —\ ref {eq:7.1.23} rendimientos
\[\begin{aligned} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y &= 2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y\\ &= \sum_{n=0}^\infty b_n (x-1)^n,\end{aligned} \nonumber \]
donde
\[\begin{align} b_0 &= 4a_2+3a_0, \label{eq:7.1.24}\\[4pt] b_n &= 2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)na_{n+1}+2(n-1)a_{n-1}+3a_n,\, n\ge1\label{eq:7.1.25}.\end{align}\]
La fórmula Ecuación\ ref {eq:7.1.24} para no se\(b_0\) puede obtener estableciendo\(n=0\) en la Ecuación\ ref {eq:7.1.25}, ya que la suma en la Ecuación\ ref {eq:7.1.22} comienza con\(n=1\), mientras que las de la Ecuación\ ref {eq:7.1.20}, Ecuación\ ref {eq:7.1.21}, y Ecuación\ ref {eq:7.1.23} comienzan con\(n=0\) .