7.8: El método de Frobenius III
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En las Secciones 7.5 y 7.6, discutimos métodos para encontrar soluciones de Frobenius de una ecuación lineal homogénea de segundo orden cerca de un punto singular regular en el caso en que la ecuación indicial tenga una raíz repetida o raíces reales distintas que no difieran por un entero. En esta sección consideramos el caso donde la ecuación indicial tiene distintas raíces reales que difieren en un entero. Limitaremos nuestra discusión a ecuaciones que se pueden escribir como
\[\label{eq:7.7.1} x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y' +(\gamma_0+\gamma_1x)y=0\]
o
\[x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0, \nonumber \]
donde las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero positivo.
Comenzamos con un teorema que proporciona un conjunto fundamental de soluciones de ecuaciones de la forma Ecuación\ ref {eq:7.7.1}.
Let
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y' +(\gamma_0+\gamma_1x)y, \nonumber \]
dónde\(\alpha_0\ne0,\) y definir
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1.\end{aligned} \nonumber \]
Supongamos que\(r\) es un número real tal que\(p_0(n+r)\) es distinto de cero para todos los enteros positivos\(n,\) y definir
\[\label{eq:7.7.2} \begin{array}{lll} a_{0}(r)&=1 \\ a_{n}(r)&= \frac{p_{1}(n+r-1)}{p_{0}(n+r)}\quad n\geq 1\end{array}\]
Dejar\(r_1\) y\(r_2\) ser las raíces de la ecuación indicial\(p_0(r)=0,\) y supongamos\(r_1=r_2+k,\) dónde\(k\) está un entero positivo\(.\) Entonces
\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n \nonumber \]
es una solución Frobenius de\(Ly=0\). Además\(,\) si definimos
\[\label{eq:7.7.3} \begin{array}{lll} a_0(r_2)&=1,\\ a_n(r_2)&=-{p_1(n+r_2-1)\over p_0(n+r_2)}a_{n-1}(r_2),\quad 1\le n\le k-1, \end{array}\]
y
\[\label{eq:7.7.4} C=-{p_1(r_1-1)\over k\alpha_0}a_{k-1}(r_2),\]
entonces
\[\label{eq:7.7.5} y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1}a_n(r_2)x^n+C\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)\]
es también una solución\(Ly=0,\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones.
- Prueba
-
Teorema 7.5.3 implica eso\(Ly_1=0\). Ahora vamos a mostrar eso\(Ly_2=0\). Dado que\(L\) es un operador lineal, esto equivale a mostrar que
\[\label{eq:7.7.6} L\left( x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1}a_n(r_2)x^n\right)+CL\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)=0.\]
Para verificar esto, mostraremos que
\[\label{eq:7.7.7} L\left(x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1} a_n(r_2)x^n\right)=p_1(r_1-1)a_{k-1}(r_2)x^{r_1}\]
y
\[\label{eq:7.7.8} L\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)=k\alpha_0x^{r_1}.\]
Esto implicará que\(Ly_2=0\), ya que sustituir la Ecuación\ ref {eq:7.7.7} y la Ecuación\ ref {eq:7.7.8} en la Ecuación\ ref {eq:7.7.6} y usando la Ecuación\ ref {eq:7.7.4} rinde
\[\begin{aligned} Ly_2&=\left[p_1(r_1-1)a_{k-1}(r_2)+Ck\alpha_0\right]x^{r_1}\\ &=\left[p_1(r_1-1)a_{k-1}(r_2)-p_1(r_1-1)a_{k-1}(r_2)\right]x^{r_1}=0.\end{aligned} \nonumber \]
Primero probaremos la Ecuación\ ref {eq:7.7.8}. Del Teorema 7.6.1,
\[L\left(y(x,r)\ln x+x^r\sum_{n=1}^\infty a_n'(r)x^n\right)=p_0'(r)x^r+x^rp_0(r)\ln x. \nonumber \]
Fijando\(r=r_1\) y recordando eso\(p_0(r_1)=0\) y\(y_1=y(x,r_1)\) rinde
\[\label{eq:7.7.9} L\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)=p_0'(r_1)x^{r_1}.\]
Dado que\(r_1\) y\(r_2\) son las raíces de la ecuación indicial, el polinomio indicial puede escribirse como
\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)=\alpha_0\left[r^2-(r_1+r_2)r+r_1r_2\right]. \nonumber \]
Diferenciando estos rendimientos
\[p_0'(r)=\alpha_0(2r-r_1-r_2). \nonumber \]
Por lo tanto\(p_0'(r_1)=\alpha_0(r_1-r_2)=k\alpha_0\), entonces la Ecuación\ ref {eq:7.7.9} implica Ecuación\ ref {eq:7.7.8}.
Antes de probar la Ecuación\ ref {eq:7.7.7}, primero señalamos que\(a_n(r_2)\) está bien definida por la Ecuación\ ref {eq:7.7.3} para\(1\le n\le k-1\), ya que\(p_0(n+r_2)\ne0\) para estos valores de\(n\). Sin embargo, no podemos definir\(a_n(r_2)\) para\(n\ge k\) con la Ecuación\ ref {eq:7.7.3}, ya que\(p_0(k+r_2)=p_0(r_1)=0\). Para mayor comodidad, definimos\(a_n(r_2)=0\) para\(n\ge k\). Luego, a partir del Teorema 7.5.1,
\[\label{eq:7.7.10} L\left(x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1} a_n(r_2)x^n\right)= L\left(x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n\right)= x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n,\]
dónde\(b_0=p_0(r_2)=0\) y
\[b_n=p_0(n+r_2)a_n(r_2)+p_1(n+r_2-1)a_{n-1}(r_2),\quad n\ge1. \nonumber \]
Si\(1\le n\le k-1\), entonces la Ecuación\ ref {eq:7.7.3} implica eso\(b_n=0\). Si\(n\ge k+1\), entonces\(b_n=0\) porque\(a_{n-1}(r_2)=a_n(r_2)=0\). Por lo tanto, la ecuación\ ref {eq:7.7.10} se reduce a
\[L\left(x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1} a_n(r_2)x^n\right)= \left[p_0(k+r_2)a_k(r_2)+p_1(k+r_2-1)a_{k-1}(r_2) \right]x^{k+r_2}. \nonumber \]
Ya que\(a_k(r_2)=0\) y\(k+r_2=r_1\), esto implica Ecuación\ ref {eq:7.7.7}.
Dejamos la prueba de que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental como Ejercicio 7.7.41.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[2x^2(2+x)y''-x(4-7x)y'-(5-3x)y=0. \nonumber\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.8.1 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=4r(r-1)-4r-5&=(2r+1)(2r-5),\\[4pt] p_1(r)&=2r(r-1)+7r+3&=(r+1)(2r+3). \end{array} \nonumber \]
Las raíces de la ecuación indicial son\(r_1=5/2\) y\(r_2=-1/2\), así\(k=r_1-r_2=3\). Por lo tanto, el teorema 7.8.1 implica que
\[\label{eq:7.7.11} y_1=x^{5/2}\sum_{n=0}^\infty a_n(5/2)x^n\]
y
\[\label{eq:7.7.12} y_2=x^{-1/2}\sum_{n=0}^2a_n(-1/2)+C\left(y_1\ln x+x^{5/2}\sum_{n=1}^\infty a_n'(5/2)x^n\right)\]
(con\(C\) como en la Ecuación\ ref {eq:7.7.4}) forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). La fórmula de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.7.2} es
\[\label{eq:7.7.13} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r)\\[10pt] &=-{(n+r)(2n+2r+1)\over(2n+2r+1)(2n+2r-5)}a_{n-1}(r),\\[10pt] &=-{n+r\over2n+2r-5}a_{n-1}(r),\,n\ge1, \end{array}\]
lo que implica que
\[\label{eq:7.7.14} a_n(r)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{j+r\over2j+2r-5},\,n\ge0.\]
Por lo tanto
\[\label{eq:7.7.15} a_n(5/2)={(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+5)\over4^nn!}.\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.7.11} rendimientos
\[y_1=x^{5/2}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+5)\over4^nn!}x^n. \nonumber \]
Para calcular los coeficientes\(a_0(-1/2),a_1(-1/2)\) e\(a_2(-1/2)\) in\(y_2\), establecemos\(r=-1/2\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.13} y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para\(n=1\),\(2\); así,
\[\begin{aligned} a_0(-1/2)&=1,\\ a_n(-1/2)&=-{2n-1\over4(n-3)}a_{n-1}(-1/2),\,n=1,2.\end{aligned} \nonumber \]
La última fórmula rinde
\[a_1(-1/2)=1/8 \quad \text{and} \quad a_2(-1/2)=3/32. \nonumber \]
Sustituyendo\(r_1=5/2,r_2=-1/2,k=3\), y\(\alpha_0=4\) en Ecuación\ ref {eq:7.7.4} rendimientos\(C=-15/128\). Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:7.7.12},
\[\label{eq:7.7.16} y_2=x^{-1/2}\left(1+{1\over8}x+{3\over32}x^2\right) -{15\over128} \left(y_1\ln x+x^{5/2}\sum_{n=1}^\infty a_n'(5/2)x^n\right).\]
Utilizamos diferenciación logarítmica para obtener\(a'_n(r)\). De la ecuación\ ref {eq:7.7.14},
\[|a_n(r)|=\prod_{j=1}^n{|j+r|\over|2j+2r-5|},\,n\ge1. \nonumber \]
Por lo tanto
\[\ln |a_n(r)|=\sum^n_{j=1} \left(\ln |j+r|-\ln|2j+2r-5|\right). \nonumber \]
Diferenciar con respecto a\(r\) los rendimientos
\[{a'_n(r)\over a_n(r)}=\sum^n_{j=1} \left({1\over j+r}-{2\over2j+2r-5}\right). \nonumber \]
Por lo tanto
\[a'_n(r)=a_n(r) \sum^n_{j=1} \left({1\over j+r}-{2\over2j+2r-5}\right). \nonumber \]
Estableciendo\(r=5/2\) aquí y recordando la ecuación\ ref {eq:7.7.15} rendimientos
\[\label{eq:7.7.17} a_n'(5/2)={(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+5)\over4^nn!}\sum_{j=1}^n \left({1\over j+5/2}-{1\over j}\right).\]
Desde
\[{1\over j+5/2}-{1\over j}=-{5\over j(2j+5)}, \nonumber\]
podemos reescribir la ecuación\ ref {eq:7.7.17} como
\[a_n'(5/2)=-5{(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+5)\over4^nn!} \left(\sum_{j=1}^n{1\over j(2j+5)}\right). \nonumber\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.7.16} rendimientos
\[\begin{aligned} y_2&=x^{-1/2}\left(1+{1\over8}x+{3\over32}x^2\right)-{15\over128} y_1\ln x\\&\,+{75\over128} x^{5/2}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+5)\over4^nn!} \left(\sum_{j=1}^n{1\over j(2j+5)}\right)x^n. \end{aligned} \nonumber \]
Si\(C=0\) en Ecuación\ ref {eq:7.7.4}, no hay necesidad de calcular
\[y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n \nonumber\]
en la fórmula Ecuación\ ref {eq:7.7.5} para\(y_2\). Por lo tanto, lo mejor es computar\(C\) antes de computar\(\{a_n'(r_1)\}_{n=1}^\infty\). Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. (Ver también Ejercicios 7.7.44 y 7.7.45.)
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[x^2(1-2x)y''+x(8-9x)y'+(6-3x)y=0. \nonumber\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.8.1 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=&r(r-1)+8r+6&=&(r+1)(r+6)\\ p_1(r)&=&-2r(r-1)-9r-3&=&-(r+3)(2r+1). \end{array} \nonumber \]
Las raíces de la ecuación indicial son\(r_1=-1\) y\(r_2=-6\), así\(k=r_1-r_2=5\). Por lo tanto, el teorema 7.8.1 implica que
\[\label{eq:7.7.18} y_1=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)x^n\]
y
\[\label{eq:7.7.19} y_2=x^{-6}\sum_{n=0}^4a_n(-6)+C\left(y_1\ln x+x^{-1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(-1)x^n\right)\]
(con\(C\) como en la Ecuación\ ref {eq:7.7.4}) forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). La fórmula de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.7.2} es
\[\label{eq:7.7.20} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r)\\[10pt] &={(n+r+2)(2n+2r-1)\over(n+r+1)(n+r+6)}a_{n-1}(r),\,n\ge1, \end{array}\]
lo que implica que
\[\label{eq:7.7.21} \begin{array}{lll} a_n(r)&={\prod_{j=1}^n{(j+r+2)(2j+2r-1)\over(j+r+1)(j+r+6)}}\\[10pt] &={\left(\prod_{j=1}^n{j+r+2\over j+r+1}\right) \left(\prod_{j=1}^n{2j+2r-1\over j+r+6}\right)}. \end{array}\]
Desde
\[\prod_{j=1}^n{j+r+2\over j+r+1}={(r+3)(r+4)\cdots(n+r+2)\over (r+2)(r+3)\cdots(n+r+1)}={n+r+2\over r+2} \nonumber\]
debido a cancelaciones, la ecuación\ ref {eq:7.7.21} simplifica a
\[a_n(r)={n+r+2\over r+2}\prod_{j=1}^n{2j+2r-1\over j+r+6}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[a_n(-1)=(n+1)\prod_{j=1}^n{2j-3\over j+5}. \nonumber\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.7.18} rendimientos
\[y_1=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\prod_{j=1}^n{2j-3\over j+5}\right) x^n. \nonumber\]
Para calcular los coeficientes\(a_0(-6),\dots,a_4(-6)\) en\(y_2\), establecemos\(r=-6\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.20} y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para\(n=1\)\(2\),\(3\),,\(4\); así,
\[\begin{aligned} a_0(-6)&=1,\\ a_n(-6)&={(n-4)(2n-13)\over n(n-5)}a_{n-1}(-6),\,n=1,2,3,4.\end{aligned} \nonumber \]
La última fórmula rinde
\[a_1(-6)=-{33\over 4},\,a_2(-6)={99\over4},\,a_3(-6)=-{231\over8},\,a_4(-6)=0. \nonumber\]
Ya que\(a_4(-6)=0\), la Ecuación\ ref {eq:7.7.4} implica que la constante\(C\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.19} es cero. Por lo tanto, la ecuación\ ref {eq:7.7.19} se reduce a
\[y_2=x^{-6}\left(1-{33\over4}x+{99\over4}x^2-{231\over8}x^3\right). \nonumber\]
Ahora consideramos ecuaciones de la forma
\[x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0, \nonumber \]
donde las raíces de la ecuación indicial son reales y difieren en un entero par. El caso en el que las raíces son reales y difieren por un entero impar puede ser manejado por el método discutido en el Ejercicio 7.5.56.
La prueba del siguiente teorema es similar a la prueba del teorema 7.8.1 (Ejercicio 7.7.43).
Let
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_2x^2)y, \nonumber\]
dónde\(\alpha_0\ne0,\) y definir
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\ p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\end{aligned} \nonumber \]
Supongamos que\(r\) es un número real tal que\(p_0(2m+r)\) es distinto de cero para todos los enteros positivos\(m,\) y definir
\[\label{eq:7.7.22} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{array}\]
Dejar\(r_1\) y\(r_2\) ser las raíces de la ecuación indicial\(p_0(r)=0,\) y supongamos\(r_1=r_2+2k,\) dónde\(k\) está un entero positivo\(.\) Entonces
\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(r_1)x^{2m} \nonumber\]
es una solución Frobenius de\(Ly=0\). Además\(,\) si definimos
\[\begin{aligned} a_0(r_2)&=1,\\ a_{2m}(r_2)&=-{p_2(2m+r_2-2)\over p_0(2m+r_2)}a_{2m-2}(r_2),\quad 1\le m\le k-1\end{aligned} \nonumber \]
y
\[\label{eq:7.7.23} C=-{p_2(r_1-2)\over2k\alpha_0}a_{2k-2}(r_2),\]
entonces
\[\label{eq:7.7.24} y_2=x^{r_2}\sum_{m=0}^{k-1}a_{2m}(r_2)x^{2m}+C\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{m=1}^\infty a_{2m}'(r_1)x^{2m}\right)\]
es también una solución\(Ly=0,\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[x^2(1+x^2)y''+x(3+10x^2)y'-(15-14x^2)y=0. \nonumber\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.8.2 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=r(r-1)+3r-15&=(r-3)(r+5)\\[4pt] p_2(r)&=r(r-1)+10r+14&=(r+2)(r+7). \end{array} \nonumber \]
Las raíces de la ecuación indicial son\(r_1=3\) y\(r_2=-5\), así\(k=(r_1-r_2)/2=4\). Por lo tanto, el teorema 7.8.2 implica que
\[\label{eq:7.7.25} y_1=x^3\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(3)x^{2m}\]
y
\[y_2=x^{-5}\sum_{m=0}^3 a_{2m}(-5)x^{2m}+C \left(y_1\ln x+x^3\sum_{m=1}^\infty a_{2m}'(3)x^{2m}\right) \nonumber\]
(con\(C\) como en la Ecuación\ ref {eq:7.7.23}) forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). La fórmula de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.7.22} es
\[\label{eq:7.7.26} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &=-{(2m+r)(2m+r+5)\over(2m+r-3)(2m+r+5)}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &=-{2m+r\over2m+r-3}a_{2m-2}(r),\,m\ge1, \end{array}\]
lo que implica que
\[\label{eq:7.7.27} a_{2m}(r)=(-1)^m\prod_{j=1}^m{2j+r\over2j+r-3},\,m\ge0.\]
Por lo tanto
\[\label{eq:7.7.28} a_{2m}(3)={(-1)^m\prod_{j=1}^m(2j+3)\over2^mm!}.\]
Sustituyendo esto en Ecuación\ ref {eq:7.7.25} rendimientos
\[y_1=x^3\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\prod_{j=1}^m(2j+3)\over2^mm!}x^{2m}. \nonumber\]
Para calcular los coeficientes\(a_2(-5)\),\(a_4(-5)\), y\(a_6(-5)\) en\(y_2\), establecemos\(r=-5\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.26} y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para\(m=1\),\(2\),\(3\); así,
\[a_{2m}(-5)=-{2m-5\over2(m-4)}a_{2m-2}(-5),\,m=1,2,3. \nonumber\]
Esto rinde
\[a_2(-5)=-{1\over2},\,a_4(-5)={1\over8},\,a_6(-5)={1\over16}. \nonumber\]
Sustituyendo\(r_1=3\),\(r_2=-5\),\(k=4\), y\(\alpha_0=1\) en Ecuación\ ref {eq:7.7.23} rendimientos\(C=-3/16\). Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:7.7.24},
\[\label{eq:7.7.29} y_2=x^{-5} \left(1-{1\over2}x^2+{1\over8}x^4+{1\over16}x^6\right) -{3\over16} \left(y_1\ln x+x^3\sum_{m=1}^\infty a_{2m}'(3)x^{2m}\right).\]
Para obtener\(a_{2m}'(r)\) utilizamos diferenciación logarítmica. De la ecuación\ ref {eq:7.7.27},
\[|a_{2m}(r)|=\prod_{j=1}^m{|2j+r|\over|2j+r-3|},\,m\ge1. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\ln |a_{2m}(r)|=\sum^n_{j=1} \left(\ln |2j+r|-\ln|2j+r-3|\right). \nonumber\]
Diferenciar con respecto a\(r\) los rendimientos
\[{a'_{2m}(r)\over a_{2m}(r)}=\sum^m_{j=1} \left({1\over 2j+r}-{1\over2j+r-3}\right). \nonumber\]
Por lo tanto
\[a'_{2m}(r)=a_{2m}(r) \sum^n_{j=1} \left({1\over 2j+r}-{1\over2j+r-3}\right). \nonumber\]
Estableciendo\(r=3\) aquí y recordando la ecuación\ ref {eq:7.7.28} rendimientos
\[\label{eq:7.7.30} a_{2m}'(3)={(-1)^m\prod_{j=1}^m(2j+3)\over2^mm!}\sum_{j=1}^m \left({1\over2j+3}-{1\over2j}\right).\]
Desde
\[{1\over2j+3}-{1\over2j}=-{3\over2j(2j+3)}, \nonumber\]
podemos reescribir la ecuación\ ref {eq:7.7.30} como
\[a_{2m}'(3)=-{3\over2}{(-1)^n\prod_{j=1}^m(2j+3)\over2^mm!} \left(\sum_{j=1}^n{1\over j(2j+3)}\right). \nonumber\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.7.29} rendimientos
\[\begin{aligned} y_2&=x^{-5} \left(1-{1\over2}x^2+{1\over8}x^4+{1\over16}x^6\right) -{3\over16}y_1\ln x \\[10pt] &\, +{9\over32} x^3\sum_{m=1}^\infty {(-1)^m\prod_{j=1}^m(2j+3)\over2^mm!}\left(\sum_{j=1}^m{1\over j(2j+3)}\right) x^{2m}.\end{aligned} \nonumber \]
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[x^2(1-2x^2)y''+x(7-13x^2)y'-14x^2y=0. \nonumber\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.8.2 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=&r(r-1)+7r&=r(r+6),\\ p_2(r)&=&-2r(r-1)-13r-14&=&-(r+2)(2r+7). \end{array} \nonumber \]
Las raíces de la ecuación indicial son\(r_1=0\) y\(r_2=-6\), así\(k=(r_1-r_2)/2=3\). Por lo tanto, el teorema 7.8.2 implica que
\[\label{eq:7.7.31} y_1=\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(0)x^{2m},\]
y
\[\label{eq:7.7.32} y_2=x^{-6}\sum_{m=0}^2a_{2m}(-6)x^{2m}+C\left(y_1\ln x+\sum_{m=1}^\infty a_{2m}'(0)x^{2m}\right)\]
(con\(C\) como en la Ecuación\ ref {eq:7.7.23}) forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). Las fórmulas de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.7.22} son
\[\label{eq:7.7.33} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &={(2m+r)(4m+2r+3)\over(2m+r)(2m+r+6)}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &={4m+2r+3\over2m+r+6}a_{2m-2}(r),\,m\ge1, \end{array}\]
lo que implica que
\[a_{2m}(r)=\prod_{j=1}^m{4j+2r+3\over2j+r+6}. \nonumber\]
Ajuste de\(r=0\) rendimientos
\[a_{2m}(0)=6{\prod_{j=1}^m(4j+3)\over2^m(m+3)!}. \nonumber\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.7.31} rendimientos
\[y_1=6\sum_{m=0}^\infty {\prod_{j=1}^m(4j+3)\over2^m(m+3)!}x^{2m}. \nonumber\]
Para calcular los coeficientes\(a_0(-6)\),\(a_2(-6)\), y\(a_4(-6)\) en\(y_2\), establecemos\(r=-6\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.33} y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para\(m=1\),\(2\); así,
\[\begin{aligned} a_0(-6)&=1,\\ a_{2m}(-6)&={4m-9\over2m}a_{2m-2}(-6),\,m=1,2.\end{aligned} \nonumber \]
La última fórmula rinde
\[a_2(-6)=-{5\over2}\quad \text{and} \quad a_4(-6)={5\over8}. \nonumber\]
Ya que\(p_2(-2)=0\), la constante\(C\) en la Ecuación\ ref {eq:7.7.23} es cero. Por lo tanto, la ecuación\ ref {eq:7.7.32} se reduce a
\[y_2=x^{-6}\left(1-{5\over2}x^2+{5\over8}x^4\right). \nonumber\]