7.7E: El Método de Frobenius II (Ejercicios)

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Q7.6.1

En Ejercicios 7.6.1-7.6.11 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Computar los términos que implican\(x^{n+r_1}\), donde\(0\le n\le N\) (al\(N\) menos\(7\)) y\(r_1\) es la raíz de la ecuación indicial. Opcionalmente, escribir un programa de computadora para implementar las fórmulas de recurrencia aplicables y tomar\(N>7\).

1. \(x^2y''-x(1-x)y'+(1-x^2)y=0\)

2. \(x^2(1+x+2x^2)y'+x(3+6x+7x^2)y'+(1+6x-3x^2)y=0\)

3. \(x^2(1+2x+x^2)y''+x(1+3x+4x^2)y'-x(1-2x)y=0\)

4. \(4x^2(1+x+x^2)y''+12x^2(1+x)y'+(1+3x+3x^2)y=0\)

5. \(x^2(1+x+x^2)y''-x(1-4x-2x^2)y'+y=0\)

6. \(9x^2y''+3x(5+3x-2x^2)y'+(1+12x-14x^2)y=0\)

7. \(x^2y''+x(1+x+x^2)y'+x(2-x)y=0\)

8. \(x^2(1+2x)y''+x(5+14x+3x^2)y'+(4+18x+12x^2)y=0\)

9. \(4x^2y''+2x(4+x+x^2)y'+(1+5x+3x^2)y=0\)

10. \(16x^2y''+4x(6+x+2x^2)y'+(1+5x+18x^2)y=0\)

11. \(9x^2(1+x)y''+3x(5+11x-x^2)y'+(1+16x-7x^2)y=0\)

Q7.6.2

En Ejercicios 7.6.12-7.6.22 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes.

12. \(4x^2y''+(1+4x)y=0\)

13. \(36x^2(1-2x)y''+24x(1-9x)y'+(1-70x)y=0\)

14. \(x^2(1+x)y''-x(3-x)y'+4y=0\)

15. \(x^2(1-2x)y''-x(5-4x)y'+(9-4x)y=0\)

16. \(25x^2y''+x(15+x)y'+(1+x)y=0\)

17. \(2x^2(2+x)y''+x^2y'+(1-x)y=0\)

18. \(x^2(9+4x)y''+3xy'+(1+x)y=0\)

19. \(x^2y''-x(3-2x)y'+(4+3x)y=0\)

20. \(x^2(1-4x)y''+3x(1-6x)y'+(1-12x)y=0\)

21. \(x^2(1+2x)y''+x(3+5x)y'+(1-2x)y=0\)

22. \(2x^2(1+x)y''-x(6-x)y'+(8-x)y=0\)

Q7.6.3

En Ejercicios 7.6.23-7.6.27 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Comparar los términos que implican\(x^{n+r_{1}}\), donde\(0\leq n\leq N\) (al\(N\) menos\(7\)) y\(r_{1}\) es la raíz de la ecuación indicial. Opcionalmente, escribir un programa de computadora para implementar las fórmulas de recurrencia aplicables y tomar\(N>7\).

23. \(x^2(1+2x)y''+x(5+9x)y'+(4+3x)y=0\)

24. \(x^2(1-2x)y''-x(5+4x)y'+(9+4x)y=0\)

25. \(x^2(1+4x)y''-x(1-4x)y'+(1+x)y=0\)

26. \(x^2(1+x)y''+x(1+2x)y'+xy=0\)

27. \(x^2(1-x)y''+x(7+x)y'+(9-x)y=0\)

Q7.6.4

En Ejercicios 7.6.28-7.6.38 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes.

28. \(x^2y''-x(1-x^2)y'+(1+x^2)y=0\)

29. \(x^2(1+x^2)y''-3x(1-x^2)y'+4y=0\)

30. \(4x^2y''+2x^3y'+(1+3x^2)y=0\)

31. \(x^2(1+x^2)y''-x(1-2x^2)y'+y=0\)

32. \(2x^2(2+x^2)y''+7x^3y'+(1+3x^2)y=0\)

33. \(x^2(1+x^2)y''-x(1-4x^2)y'+(1+2x^2)y=0\)

34. \(4x^2(4+x^2)y''+3x(8+3x^2)y'+(1-9x^2)y=0\)

35. \(3x^2(3+x^2)y''+x(3+11x^2)y'+(1+5x^2)y=0\)

36. \(4x^2(1+4x^2)y''+32x^3y'+y=0\)

37. \(9x^2y''-3x(7-2x^2)y'+(25+2x^2)y=0\)

38. \(x^2(1+2x^2)y''+x(3+7x^2)y'+(1-3x^2)y=0\)

Q7.6.5

En Ejercicios 7.6.39-7.6.43 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Computar los términos que implican\(x^{2m+r_{1}}\), donde\(0 ≤ m ≤ M\) (al\(M\) menos\(3\)) y\(r_{1}\) es la raíz de la ecuación indicial. Opcionalmente, escribir un programa de computadora para implementar las fórmulas de recurrencia aplicables y tomar\(M > 3\).

39. \(x^2(1+x^2)y''+x(3+8x^2)y'+(1+12x^2)y\)

40. \(x^2y''-x(1-x^2)y'+(1+x^2)y=0\)

41. \(x^2(1-2x^2)y''+x(5-9x^2)y'+(4-3x^2)y=0\)

42. \(x^2(2+x^2)y''+x(14-x^2)y'+2(9+x^2)y=0\)

43. \(x^2(1+x^2)y''+x(3+7x^2)y'+(1+8x^2)y=0\)

Q7.6.6

En Ejercicios 7.6.44-7.6.52 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes.

44. \(x^2(1-2x)y''+3xy'+(1+4x)y=0\)

45. \(x(1+x)y''+(1-x)y'+y=0\)

46. \(x^2(1-x)y''+x(3-2x)y'+(1+2x)y=0\)

47. \(4x^2(1+x)y''-4x^2y'+(1-5x)y=0\)

48. \(x^2(1-x)y''-x(3-5x)y'+(4-5x)y=0\)

49. \(x^2(1+x^2)y''-x(1+9x^2)y'+(1+25x^2)y=0\)

50. \(9x^2y''+3x(1-x^2)y'+(1+7x^2)y=0\)

51. \(x(1+x^2)y''+(1-x^2)y'-8xy=0\)

52. \(4x^2y''+2x(4-x^2)y'+(1+7x^2)y=0\)

Q7.6.7

53. Bajo los supuestos del Teorema 7.6.2, supongamos que la serie de potencia

\[\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n \quad\mbox{ and }\quad \sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\nonumber \]

convergen encendido\((-\rho,\rho)\).

Demostrar que\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\nonumber\] son linealmente independientes en\((0,\rho)\). INICIACIÓN: Demostrar que si\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes tales que\(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}≡0\) en\((0, \rho )\),\[(c_{1}+c_{2}\ln x)\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(r_{1})x^{n}+c_{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}'(r_{1})x^{n}=0,\quad 0<x<\rho \nonumber\] entonces Entonces vamos\(x\to 0+\) a concluir eso\(c_{2}=0\).
Utilizar el resultado de (a) para completar la prueba del Teorema 7.6.2.

54. Let

\[Ly=x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y'+(\gamma_0+\gamma_1x)y\nonumber\]

y definir

\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0\quad\mbox{ and }\quad p_1(r)=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1.\nonumber\]

Teorema 7.6.1 y Ejercicio 7.5.55a

implica que si

\[y(x,r)=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n\nonumber\]

donde

\[a_n(r)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{p_1(j+r-1)\over p_0(j+r)},\nonumber\]

entonces

\[Ly(x,r)=p_0(r)x^r.\nonumber\]

Ahora supongamos\(p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)^2\) y\(p_1(k+r_1)\ne0\) si\(k\) es un entero no negativo.

Demostrar que\(Ly=0\) tiene la solución\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n,\nonumber\] donde\[a_n(r_1)={(-1)^n\over\alpha_0^n(n!)^2}\prod_{j=1}^np_1(j+r_1-1).\nonumber\]
Demostrar que\(Ly=0\) tiene la segunda solución\[y_2=y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n(r_1)J_nx^n,\nonumber\] donde\[J_n=\sum_{j=1}^n{p_1'(j+r_1-1)\over p_1(j+r_1-1)}-2\sum_{j=1}^n{1\over j}.\nonumber\]
Concluir de (a) y (b) que si\(\gamma_1\ne0\) entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over(n!)^2}\left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^nx^n\nonumber\] y\[y_2=y_1\ln x-2x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over(n!)^2}\left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^n \left(\sum_{j=1}^n{1\over j}\right)x^n\nonumber\] son soluciones de\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_1x)y=0.\nonumber\] (La conclusión también es válida si\(\gamma_1=0\). ¿Por qué?)

55. Let

\[Ly=x^2(\alpha_0+\alpha_qx^q)y''+x(\beta_0+\beta_qx^q)y'+(\gamma_0+\gamma_qx^q)y\nonumber\]

donde\(q\) es un entero positivo, y definir

\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0\quad\mbox{ and }\quad p_q(r)=\alpha_qr(r-1)+\beta_qr+\gamma_q.\nonumber\]

Supongamos

\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)^2 \quad\mbox{ and }\quad p_q(r)\not\equiv0.\nonumber\]

Recordemos del Ejercicio 7.5.59 que\(Ly~=0\) tiene la solución\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty a_{qm}(r_1)x^{qm},\nonumber\] donde\[a_{qm}(r_1)={(-1)^m\over (q^2\alpha_0)^m(m!)^2}\prod_{j=1}^mp_q\left(q(j-1)+r_1\right).\nonumber\]
Demostrar que\(Ly=0\) tiene la segunda solución\[y_2=y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{m=1}^\infty a_{qm}'(r_1)J_mx^{qm},\nonumber\] donde\[J_m=\sum_{j=1}^m{p_q'\left(q(j-1)+r_1\right)\over p_q\left(q(j-1)+r_1\right)}-{2\over q}\sum_{j=1}^m{1\over j}.\nonumber\]
Concluir de (a) y (b) que si\(\gamma_q\ne0\) entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over(m!)^2}\left(\gamma_q\over q^2\alpha_0\right)^mx^{qm}\nonumber\] y\[y_2=y_1\ln x-{2\over q}x^{r_1}\sum_{m=1}^\infty {(-1)^m\over(m!)^2}\left(\gamma_q\over q^2\alpha_0\right)^m\left(\sum_{j=1}^m{1\over j}\right)x^{qm}\nonumber\] son soluciones de\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_qx^q)y=0.\nonumber\]

56. La ecuación

\[xy''+y'+xy=0\nonumber\]

es la ecuación de Bessel de orden cero. (Ver Ejercicio 7.5.53.) Encuentra dos soluciones de Frobenius linealmente independientes de esta ecuación.

57. Supongamos que se mantienen los supuestos del Ejercicio 7.5.53, salvo que

\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)^2.\nonumber\]

Demostrar que

\[y_1={x^{r_1}\over\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2}\quad\mbox{ and }\quad y_2={x^{r_1}\ln x\over\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2}\nonumber\]

son soluciones de Frobenius linealmente independientes de

\[x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2 x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y'+ (\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0\nonumber\]

en cualquier intervalo\((0,\rho)\) en el que no\(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2\) tenga ceros.

Q7.6.8

58. \(4x^2(1+x)y''+8x^2y'+(1+x)y=0\)

59. \(9x^2(3+x)y''+3x(3+7x)y'+(3+4x)y=0\)

60. \(x^2(2-x^2)y''-x(2+3x^2)y'+(2-x^2)y=0\)

61. \(16x^2(1+x^2)y''+8x(1+9x^2)y'+(1+49x^2)y=0\)

62. \(x^2(4+3x)y''-x(4-3x)y'+4y=0\)

63. \(4x^2(1+3x+x^2)y''+8x^2(3+2x)y'+(1+3x+9x^2)y=0\)

64. \(x^2(1-x)^2y''-x(1+2x-3x^2)y'+(1+x^2)y=0\)

65. \(9x^2(1+x+x^2)y''+3x(1+7x+13x^2)y'+(1+4x+25x^2)y=0\)

Q7.6.9

66.

Dejar\(L\) y\(y(x,r)\) ser como en los Ejercicios 7.5.57 y 7.5.58. Extender el Teorema 7.6.1 mostrando que\[L\left({\partial y\over \partial r}(x,r)\right)=p'_0(r)x^r+x^rp_0(r)\ln x.\nonumber\]
Demostrar que si\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)^2\nonumber\] entonces\[y_1=y(x,r_1) \quad \text{and} \quad y_2={\partial y\over\partial r}(x,r_1)\nonumber\] son soluciones de\(Ly=0\).