8.2: La Transformación Inversa de Laplace
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Definición de la Transformada Inversa de Laplace
En la Sección 8.1 definimos la transformación de Laplace de\(f\) by
\[F(s)={\cal L}(f)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt. \nonumber\]
También diremos que\(f\) es una transformación inversa de Laplace de\(F\), y escribir
\[f={\cal L}^{-1}(F). \nonumber\]
Para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace, debemos ser capaces\(f\) de obtener de su transformación\(F\). Hay una fórmula para hacer esto, pero no podemos usarla porque requiere la teoría de funciones de una variable compleja. Afortunadamente, podemos usar la tabla de transformaciones de Laplace para encontrar transformaciones inversas que necesitaremos.
Usa la tabla de transformaciones de Laplace para encontrar
- \[{\cal L}^{-1}\left({1\over s^2-1}\right) \nonumber\]
- \[{\cal L}^{-1}\left({s\over s^2+9}\right).\nonumber\]
Solución a
Ajuste\(b=1\) en el par de transformación
\[\sinh bt\leftrightarrow {b\over s^2-b^2} \nonumber\]
muestra que
\[{\cal L}^{-1}\left({1\over s^2-1}\right)=\sinh t.\nonumber\]
Solución b
Ajuste\(\omega=3\) en el par de transformación
\[\cos\omega t\leftrightarrow{s\over s^2+\omega^2}\nonumber\]
muestra que
\[{\cal L}^{-1}\left({s\over s^2+9}\right)=\cos3t. \nonumber\]
El siguiente teorema nos permite encontrar transformaciones inversas de combinaciones lineales de transformaciones en la tabla. Omitimos la prueba.
Si\(F_1,\)\(F_2,\)...\(,\)\(F_n\) son transformaciones de Laplace y\(c_1,\)\(c_2,\)...,\(c_n\) son constantes\(,\) entonces
\[{\cal L}^{-1}(c_1F_1+c_2F_2+\cdots+c_nF_n)=c_1{\cal L}^{-1}(F_1)+c_2{\cal L}^{-1}(F_2)+\cdots+c_n{\cal L}^{-1}F_n.\nonumber\]
Encuentra
\[{\cal L}^{-1}\left({8\over s+5}+{7\over s^2+3}\right).\nonumber\]
Solución
De la mesa de Laplace se transforma en la Sección 8.8,,
\[e^{at}\leftrightarrow {1\over s-a}\quad\mbox{ and }\quad \sin\omega t\leftrightarrow {\omega\over s^2+\omega^2}. \nonumber\]
Teorema 8.2.1 con\(a=-5\) y\(\omega=\sqrt3\) rendimientos
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}\left({8\over s+5}+{7\over s^2+3}\right)&= 8{\cal L}^{-1}\left({1\over s+5}\right)+7{\cal L}^{-1}\left({1\over s^2+3}\right)\\ &= 8{\cal L}^{-1}\left({1\over s+5}\right)+{7\over\sqrt3}{\cal L}^{-1}\left({\sqrt3\over s^2+3}\right)\\&= 8e^{-5t}+{7\over\sqrt3}\sin\sqrt3t.\end{aligned}\nonumber\]
Encuentra
\[{\cal L}^{-1}\left({3s+8\over s^2+2s+5}\right).\nonumber\]
Solución
Completar el cuadrado en el denominador rinde
\[{3s+8\over s^2+2s+5}={3s+8\over(s+1)^2+4}.\nonumber\]
Por la forma del denominador, consideramos los pares de transformación
\[e^{-t}\cos 2t\leftrightarrow{s+1\over(s+1)^2+4} \quad \text{and} \quad e^{-t}\sin 2t\leftrightarrow{2\over(s+1)^2+4}, \nonumber\]
y escribir
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}\left({3s+8\over(s+1)^2+4}\right)&= {\cal L}^{-1}\left({3s+3\over(s+1)^2+4}\right)+ {\cal L}^{-1}\left({5\over(s+1)^2+4}\right)\\&= 3{\cal L}^{-1}\left({s+1\over(s+1)^2+4}\right)+ {5\over2}{\cal L}^{-1}\left({2\over(s+1)^2+4}\right)\\&= e^{-t}(3\cos 2t+{5\over2}\sin 2t).\end{aligned}\nonumber\]
A menudo escribiremos transformaciones inversas de Laplace de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos deberá remitirse a la tabla de transformaciones de Laplace en la Sección 8.8.
Transformaciones inversas de Laplace de funciones racionales
El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales a menudo requiere encontrar la transformación inversa de una función racional
\[F(s)={P(s)\over Q(s)}, \nonumber\]
donde\(P\) y\(Q\) son polinomios en\(s\) sin factores comunes. Ya que se puede demostrar que\(\lim_{s\to\infty}F(s)=0\) si\(F\) es una transformación de Laplace, solo necesitamos considerar el caso donde\(\mbox{degree}(P)<\mbox{degree}(Q)\). Para obtener\({\cal L}^{-1}(F)\), encontramos la expansión parcial de la fracción de\(F\), obtenemos transformaciones inversas de los términos individuales en la expansión a partir de la tabla de transformaciones de Laplace, y utilizamos la propiedad de linealidad de la transformada inversa. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[\label{eq:8.2.1} F(s)={3s+2\over s^2-3s+2}.\]
Solución
(Método 1)
Factorizar el denominador en la ecuación\ ref {eq:8.2.1} rendimientos
\[\label{eq:8.2.2} F(s)={3s+2\over(s-1)(s-2)}.\]
La forma para la expansión parcial de la fracción es
\[\label{eq:8.2.3} {3s+2\over(s-1)(s-2)}={A\over s-1}+{B\over s-2}.\]
Multiplicando esto por\((s-1)(s-2)\) rendimientos
\[3s+2=(s-2)A+(s-1)B. \nonumber\]
Ajuste de\(s=2\) rendimientos\(B=8\) y ajuste de\(s=1\) rendimientos\(A=-5\). Por lo tanto
\[F(s)=-{5\over s-1}+{8\over s-2} \nonumber\]
y
\[{\cal L}^{-1}(F)=-5{\cal L}^{-1}\left({1\over s-1}\right) +8{\cal L}^{-1}\left({1\over s-2}\right)=-5e^t+8e^{2t}. \nonumber\]
(Método 2) Realmente no tenemos que multiplicar la ecuación\ ref {eq:8.2.3} por\((s-1)(s-2)\) para calcular\(A\) y\(B\). Podemos obtener\(A\) simplemente ignorando el factor\(s-1\) en el denominador de la Ecuación\ ref {eq:8.2.2} y estableciendo\(s=1\) en otra parte; así,
\[\label{eq:8.2.4} A=\left.{3s+2\over s-2}\right|_{s=1}={3\cdot1+2\over 1-2}=-5.\]
Del mismo modo, podemos obtener\(B\) ignorando el factor\(s-2\) en el denominador de la Ecuación\ ref {eq:8.2.2} y estableciendo\(s=2\) en otra parte; así,
\[\label{eq:8.2.5} B=\left.{3s+2\over s-1}\right|_{s=2}={3\cdot2+2\over2-1}=8.\]
Para justificar esto, observamos que multiplicando la Ecuación\ ref {eq:8.2.3} por\(s-1\) rendimientos
\[{3s+2\over s-2}=A+(s-1){B\over s-2}, \nonumber\]
y el ajuste\(s=1\) conduce a la Ecuación\ ref {eq:8.2.4}. Del mismo modo, multiplicando la ecuación\ ref {eq:8.2.3} por\(s-2\) rendimientos
\[{3s+2\over s-1}=(s-2){A\over s-2}+B \nonumber\]
y el ajuste\(s=2\) conduce a la Ecuación\ ref {eq:8.2.5}. (No es necesario escribir las dos últimas ecuaciones. Los escribimos sólo para justificar el procedimiento de atajo indicado en la Ecuación\ ref {eq:8.2.4} y Ecuación\ ref {eq:8.2.5}.)
El atajo empleado en la segunda solución de Example 8.2.4 es el método de Heaviside. El siguiente teorema establece este método formalmente. Para una prueba y una extensión de este teorema, véase Ejercicio 8.2.10.
Supongamos
\[\label{eq:8.2.6} F(s)={P(s)\over(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)},\]
donde\(s_1\),\(s_2,\)...\(,\)\(s_n\) son distintos y\(P\) es un polinomio de grado menor que\(n.\) Entonces
\[F(s)={A_1\over s-s_1}+{A_2\over s-s_2}+\cdots+{A_n\over s-s_n},\nonumber\]
donde se\(A_i\) puede calcular a partir de la Ecuación\ ref {eq:8.2.6} ignorando el factor\(s-s_i\) y configurando\(s=s_i\) en otra parte.
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[\label{eq:8.2.7} F(s)={6+(s+1)(s^2-5s+11)\over s(s-1)(s-2)(s+1)}.\]
Solución
La expansión parcial de la fracción de la ecuación\ ref {eq:8.2.7} es de la forma
\[\label{eq:8.2.8} F(s)={A\over s}+{B\over s-1}+{C\over s-2}+{D\over s+1}.\]
Para encontrar\(A\), ignoramos el factor\(s\) en el denominador de la Ecuación\ ref {eq:8.2.7} y establecemos\(s=0\) en otra parte. Esto rinde
\[A={6+(1)(11)\over(-1)(-2)(1)}={17\over2}.\nonumber\]
Del mismo modo, los demás coeficientes vienen dados por
\[B={6+(2)(7)\over(1)(-1)(2)}=-10, \nonumber\]
\[C={6+3(5)\over2(1)(3)}={7\over2}, \nonumber\]
y
\[D={6\over(-1)(-2)(-3)}=-1. \nonumber\]
Por lo tanto
\[F(s)={17\over2}\,{1\over s}-{10\over s-1}+{7\over2}\,{1\over s-2}-{1\over s+1} \nonumber\]
y
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}(F)&= {17\over2}{\cal L}^{-1}\left(1\over s\right)-10{\cal L}^{-1}\left(1 \over s-1\right)+{7\over 2}{\cal L}^{-1}\left(1\over s-2\right)-{\cal L}^{-1}\left(1\over s+1\right)\\&= {17\over2}-10e^t+{7\over2}e^{2t}-e^{-t}.\end{aligned}\nonumber\]
No “multiplicamos” el numerador en la Ecuación 8.2.7 antes de calcular los coeficientes en la Ecuación 8.2.8 , ya que no simplificaría los cálculos.
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[\label{eq:8.2.9} F(s)={8-(s+2)(4s+10)\over(s+1)(s+2)^2}.\]
Solución
La forma para la expansión parcial de la fracción es
\[\label{eq:8.2.10} F(s)={A\over s+1}+{B\over s+2}+{C\over(s+2)^2}.\]
Debido al factor repetido\((s+2)^2\) en la Ecuación\ ref {eq:8.2.9}, el método de Heaviside no funciona. En cambio, encontramos un denominador común en la Ecuación\ ref {eq:8.2.10}. Esto rinde
\[\label{eq:8.2.11} F(s)={A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)\over(s+1)(s+2)^2}.\]
Si la Ecuación\ ref {eq:8.2.9} y la Ecuación\ ref {eq:8.2.11} van a ser equivalentes, entonces
\[\label{eq:8.2.12} A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)=8-(s+2)(4s+10).\]
Los dos lados de esta ecuación son polinomios de grado dos. A partir de un teorema de álgebra, serán iguales para todos\(s\) si son iguales para cualquiera de tres valores distintos de\(s\). Podemos determinar\(A\),\(B\) y\(C\) eligiendo valores convenientes de\(s\).
El lado izquierdo de la Ecuación\ ref {eq:8.2.12} sugiere que tomamos\(s=-2\) para obtener\(C=-8\), y\(s=-1\) para obtener\(A=2\). Ahora podemos elegir cualquier tercer valor de\(s\) a determinar\(B\). Tomando\(s=0\) rendimientos\(4A+2B+C=-12\). Desde\(A=2\) y\(C=-8\) esto implica eso\(B=-6\). Por lo tanto
\[F(s)={2\over s+1}-{6\over s+2}-{8\over(s+2)^2} \nonumber\]
y
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}(F)&= 2{\cal L}^{-1}\left(1\over s+1\right)-6{\cal L}^{-1}\left(1\over s+2\right)-8{\cal L}^{-1}\left(1\over(s+2)^2\right)\\ &=2e^{-t}-6e^{-2t}-8te^{-2t}.\end{aligned}\nonumber\]
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[F(s)={s^2-5s+7\over(s+2)^3}. \nonumber\]
Solución
La forma para la expansión parcial de la fracción es
\[F(s)={A\over s+2}+{B\over(s+2)^2}+{C\over(s+2)^3}. \nonumber\]
La forma más fácil de obtener\(A\)\(B\),, y\(C\) es ampliar el numerador en poderes de\(s+2\). Esto rinde
\[s^2-5s+7=[(s+2)-2]^2-5[(s+2)-2]+7=(s+2)^2-9(s+2)+21. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} F(s)&={(s+2)^2-9(s+2)+21\over(s+2)^3}\\ &={1\over s+2}-{9\over(s+2)^2}+{21\over(s+2)^3}\end{aligned}\nonumber\]
y
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}(F)&= {\cal L}^{-1}\left({1\over s+2}\right)-9{\cal L}^{-1}\left({1\over(s+2)^2}\right)+{21\over2}{\cal L}^{-1}\left({2\over(s+2)^3}\right)\\&= e^{-2t}\left(1-9t+{21\over2}t^2\right).\end{aligned}\nonumber\]
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[\label{eq:8.2.13} F(s)={1-s(5+3s)\over s\left[(s+1)^2+1\right]}.\]
Solución
Una forma para la expansión parcial de la fracción de\(F\) es
\[\label{eq:8.2.14} F(s)={A\over s}+{Bs+C\over(s+1)^2+1}.\]
Sin embargo, vemos en la tabla de transformaciones de Laplace que la transformada inversa de la segunda fracción a la derecha de la Ecuación\ ref {eq:8.2.14} será una combinación lineal de las transformaciones inversas
\[e^{-t}\cos t\quad\mbox{ and }\quad e^{-t}\sin t \nonumber\]
de
\[{s+1\over(s+1)^2+1}\quad\mbox{ and }\quad {1\over(s+1)^2+1} \nonumber\]
respectivamente. Por lo tanto, en lugar de Ecuación\ ref {eq:8.2.14} escribimos
\[\label{eq:8.2.15} F(s)={A\over s}+{B(s+1)+C\over(s+1)^2+1}.\]
Encontrar un denominador común rinde
\[\label{eq:8.2.16} F(s)={A\left[(s+1)^2+1\right]+B(s+1)s+Cs\over s\left[(s+1)^2+1\right]}.\]
Si la Ecuación\ ref {eq:8.2.13} y la Ecuación\ ref {eq:8.2.16} van a ser equivalentes, entonces
\[A\left[(s+1)^2+1\right]+B(s+1)s+Cs=1-s(5+3s). \nonumber\]
Esto es cierto para todos\(s\) si es cierto para tres valores distintos de\(s\). Elegir\(s=0\),\(-1\), y\(1\) rinde el sistema
\[\begin{array}{rcr} 2A&=&1\phantom{.}\\ A-C&=&3\phantom{.}\\5A+2B+C&=&-7. \end{array}\nonumber\]
Resolver rendimientos de este sistema
\[A={1\over2},\quad B=-{7\over2},\quad C=-{5\over2}. \nonumber\]
Por lo tanto, a partir de la Ecuación\ ref {eq:8.2.15},
\[F(s)={1\over2s}-{7\over2}\,{s+1\over(s+1)^2+1}- {5\over2}\,{1\over(s+1)^2+1}. \nonumber\]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} {\cal L}^{-1}(F)&= {1\over2}{\cal L}^{-1}\left(1\over s\right)-{7\over2}{\cal L}^{-1}\left(s+1 \over(s+1)^2+1\right)-{5\over2} {\cal L}^{-1}\left(1\over (s+1)^2+1\right)\\ &= {1\over2}-{7\over2}e^{-t}\cos t-{5\over2}e^{-t}\sin t.\end{aligned}\nonumber\]
Encuentra la transformada inversa de Laplace
\[\label{eq:8.2.17} F(s)={8+3s\over(s^2+1)(s^2+4)}.\]
Solución
La forma para la expansión parcial de la fracción es
\[F(s)={A+Bs\over s^2+1}+{C+Ds\over s^2+4}. \nonumber\]
Los coeficientes\(A\),\(B\),\(C\) y se\(D\) pueden obtener encontrando un denominador común y equiparando el numerador resultante al numerador en la Ecuación\ ref {eq:8.2.17}. Sin embargo, como no hay primer poder de\(s\) en el denominador de la Ecuación\ ref {eq:8.2.17}, hay una manera más fácil: la expansión de
\[F_1(s)={1\over(s^2+1)(s^2+4)} \nonumber\]
se puede obtener rápidamente usando el método de Heaviside para expandir
\[{1\over(x+1)(x+4)}={1\over3}\left({1\over x+1}-{1\over x+4}\right) \nonumber\]
y luego establecer\(x=s^2\) para obtener
\[{1\over(s^2+1)(s^2+4)}={1\over3}\left({1\over s^2+1}-{1\over s^2+4}\right). \nonumber\]
Multiplicando esto por\(8+3s\) rendimientos
\[F(s)={8+3s\over(s^2+1)(s^2+4)}={1\over3}\left({8+3s\over s^2+1}-{8+3s\over s^2+4}\right). \nonumber\]
Por lo tanto
\[{\cal L}^{-1}(F)={8\over3}\sin t+\cos t-{4\over3}\sin 2t-\cos 2t. \nonumber\]
Uso de la tecnología
Algunos paquetes de software que hacen álgebra simbólica pueden encontrar expansiones de fracciones parciales muy fácilmente. Te recomendamos que uses dicho paquete si tienes uno disponible, pero solo después de haber hecho suficientes expansiones de fracciones parciales por tu cuenta para dominar la técnica.