8.1E: Introducción a la Transformación de Laplace (Ejercicios)

Q8.1.1

1. Encuentra las transformaciones de Laplace de las siguientes funciones evaluando la integral\(F(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt\).

1. \(t\)
2. \(te^{-t}\)
3. \(\sinh bt\)
4. \(e^{2t}-3e^t\)
5. \(t^2\)

2. Usa la tabla de transformaciones de Laplace para encontrar las transformaciones de Laplace de las siguientes funciones.

1. \(\cosh t\sin t\)
2. \(\sin^2t\)
3. \(\cos^2 2t\)
4. \(\cosh^2 t\)
5. \(t\sinh 2t\)
6. \(\sin t\cos t\)
7. \( {\sin\left(t+{\pi\over 4}\right)}\)
8. \(\cos 2t -\cos 3t\)
9. \(\sin 2t +\cos 4t\)

3. Demostrar que

\[\int_0^\infty e^{-st}e^{t^2} dt=\infty\nonumber \]

por cada número real\(s\).

4. Grafique las siguientes funciones continuas por partes y evalúe\(f(t+)\)\(f(t-)\), y\(f(t)\) en cada punto de discontinuidad.

1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} -t, & 0\le t<2,\\ t-4, & 2\le t<3,\\ 1, & t\ge 3.\end{array}\right.\)
2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t^2+2, & 0 \le t<1,\\4, & t=1,\\ t, & t> 1.\end{array}\right.\)
3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} \sin t, & 0\le t<\pi/ 2,\\ 2\sin t, &\pi/ 2 \le t<\pi,\\ \cos t, & t\ge\pi.\end{array}\right.\)
4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}t, & 0\le t<1,\\ 2, & t=1,\\ 2-t, & 1 \le t<2,\\ 3, & t=2,\\ 6, & t> 2.\end{array}\right.\)

5. Encuentra la transformación de Laplace:

1. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} e^{-t}, & 0\le t<1,\\ e^{-2t}, & t\ge 1.\end{array}\right.\)
2. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} 1, & 0\le t< 4,\\ t, & t\ge 4.\end{array}\right.\)
3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} t, & 0\le t<1,\\ 1, & t\ge 1.\end{array}\right.\)
4. \(f(t)=\left\{\begin{array}{rl} te^t, & 0\le t<1,\\\phantom{t} e^t, & t\ge 1.\end{array}\right.\)

6. Demuéstralo si\(f(t)\leftrightarrow F(s)\) entonces\(t^kf(t)\leftrightarrow (-1)^kF^{(k)}(s)\). SUMINISTRO: Supongamos que es permisible diferenciar la integral\(\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\) con respecto a\(s\) bajo el signo integral.

7. Utilice las transformaciones conocidas de Laplace

\[{\cal L}(e^{\lambda t}\sin\omega t)={\omega\over(s-\lambda)^2+\omega^2} \quad\mbox{and }\quad {\cal L}(e^{\lambda t}\cos\omega t)={s-\lambda\over(s-\lambda)^2+\omega^2}\nonumber \]

y el resultado del Ejercicio 8.1.6 para encontrar\({\cal L}(te^{\lambda t}\cos\omega t)\) y\({\cal L}(te^{\lambda t}\sin\omega t)\).

8. Utilizar la transformada conocida de Laplace\({\cal L}(1)=1/s\) y el resultado del Ejercicio 8.1.6 para demostrar que

\[{\cal L}(t^n)={n!\over s^{n+1}},\quad n=\mbox{ integer}.\nonumber \]

9.

1. Mostrar que si\(\lim_{t\to\infty} e^{-s_0t} f(t)\) existe y es finito entonces\(f\) es de orden exponencial\(s_0\).
2. Mostrar que si\(f\) es de orden exponencial\(s_0\) entonces\(\lim_{t \to\infty} e^{-st} f(t)=0\) para todos\(s>s_0\).
3. Mostrar que si\(f\) es de orden exponencial\(s_0\) y\(g(t)=f(t+\tau)\) dónde\(\tau>0\), entonces también\(g\) es de orden exponencial\(s_0\).

10. Recordemos el siguiente teorema del cálculo.

Teorema 8.1E.1

Dejar\(g\) ser integrable encendido\([0,T]\) para cada\(T>0.\) Supongamos que hay una función\(w\) definida en algún intervalo\([\tau,\infty)\) (con\(\tau\ge 0\)) tal que\(|g(t)|\le w(t)\) para\(t\ge\tau\) y\(\int^\infty_\tau w(t)\,dt\) converge. Entonces\(\int_0^\infty g(t)\,dt\) converge.

Use Teorema 8.1E.1 para mostrar que si\(f\) es continuo por partes en\([0,\infty)\) y de orden exponencial\(s_0\), entonces\(f\) tiene una transformada de Laplace\(F(s)\) definida para\(s>s_0\).

11. Demostrar: Si\(f\) es continuo por partes y de orden exponencial entonces\(\lim_{s\to\infty}F(s)~=~0\).

12. Demostrar: Si\(f\) es continuo sobre\([0,\infty)\) y de orden exponencial\(s_0>0\), entonces

\[{\cal L}\left(\int^t_0 f(\tau)\,d\tau\right)={1\over s} {\cal L} (f), \quad s>s_0.\nonumber \]SUMINISTRO: Utilice la integración por partes para evaluar la transformación de la izquierda.

13. Supongamos que\(f\) es continuo por partes y de orden exponencial, y eso\(\lim_{t\to 0+} f(t)/t\) existe. Demostrar que

\[{\cal L}\left({f(t)\over t}\right)=\int^\infty_s F(r)\,dr.\nonumber \]HINTA: Utilizar los resultados de los Ejercicios 8.1.6 y 8.1.11.

14. Supongamos que\(f\) es continuo por partes en\([0,\infty)\).

1. Demostrar: Si la integral\(g(t)=\int^t_0 e^{-s_0\tau} f(\tau)\,d\tau\) satisface la desigualdad\(|g(t)|\le M\; (t\ge 0)\), entonces\(f\) tiene una transformación de Laplace\(F(s)\) definida para\(s>s_0\). SUMINISTRO: Utilice la integración por partes para mostrar que\[\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt = e^{-(s-s_{0})T}g(T)+(s-s_{0})\int_{0}^{T}e^{-(s-s_{0})t}g(t)dt\nonumber \]
2. Demostrar que si\({\cal L}(f)\) existe para\(s=s_0\) entonces existe para\(s>s_0\). Mostrar que la función\[f(t)=te^{t^2}\cos(e^{t^2})\nonumber \] tiene una transformada de Laplace definida para\(s>0\), aunque\(f\) no sea de orden exponencial.
3. Mostrar que la función\[f(t)=te^{t^2}\cos(e^{t^2})\nonumber \] tiene una transformada de Laplace definida para\(s>0\), aunque\(f\) no sea de orden exponencial.

15. Usa la tabla de transformaciones de Laplace y el resultado del Ejercicio 8.1.13 para encontrar las transformaciones de Laplace de las siguientes funciones.

1. \(\frac{\sin \omega t}{t}\quad (\omega >0)\)
2. \(\frac{\cos \omega t-1}{t}\quad (\omega >0)\)
3. \(\frac{e^{at}-e^{bt}}{t}\)
4. \(\frac{\cosh t-1}{t}\)
5. \(\frac{\sinh ^{2}t}{t}\)

16. La función gamma se define por

\[\Gamma (\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx,\nonumber \]

que se puede demostrar que convergen si\(\alpha>0\).

1. Utilice la integración por partes para mostrar que\[\Gamma (\alpha+1)=\alpha\Gamma (\alpha),\quad\alpha>0.\nonumber \]
2. Demuestre que\(\Gamma(n+1)=n!\) si\(n=1\)\(2\),,\(3\),...
3. De (b) y la tabla de Laplace transforma,\[{\cal L}(t^\alpha)={\Gamma (\alpha+1)\over s^{\alpha+1}},\quad s>0,\nonumber \] si\(\alpha\) es un entero no negativo. Demostrar que esta fórmula es válida para cualquier\(\alpha>-1\). SUMINISTRO: Cambiar la variable de integración en la integral para\(\Gamma (\alpha +1)\).

17. Supongamos que\(f\) es continuo en\([0, T]\) y\(f(t+T)=f(t)\) para todos\(t\ge 0\). (Decimos en este caso que\(f\) es periódico con periodo\(T\).)

1. Concluir del Teorema 8.1.6 que la transformada de Laplace de\(f\) está definida para\(s>0\).
2. Demuestre\[F(s)={1\over 1-e^{-sT}}\int_0^T e^{-st}f(t)\,dt,\quad s>0.\nonumber \] esa HINTA: Escribe\[F(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-st}f(t)dt\nonumber \] Luego muestra eso\[\int_{nT}^{(n+1)T}e^{-st}f(t)dt = e^{-nsT}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt\nonumber \] y recuerda la fórmula para la suma de una serie geométrica.

18. Utilice la fórmula dada en el Ejercicio 8.1.17b para encontrar las transformaciones de Laplace de las funciones periódicas dadas:

1. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{cl} t, & 0\le t<1,\\ 2-t, & 1\le t<2,\end{array}\right.\hskip30pt f(t+2)=f(t), \quad t\ge 0}\)
2. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{rl}1, & 0\le t<{1\over 2},\\ -1, & {1\over 2}\le t<1,\end{array}\right. \hskip30pt f(t+1)=f(t),\quad t\ge 0}\)
3. \(f(t)=|\sin t|\)
4. \( {f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\sin t, & 0\le t< \pi, \\ 0, &\pi\le t<2\pi,\end{array}\right.\hskip30pt f(t+2\pi)=f(t)}\)