9.1: Introducción a las Ecuaciones Lineales de Orden Superior
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Se dice que una ecuación diferencial de orden\(n\) th es lineal si se puede escribir en la forma
\[\label{eq:9.1.1} y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_n(x)y=f(x).\]
Consideramos ecuaciones de esta forma con\(n=1\) en la Sección 2.1 y con\(n=2\) en el Capítulo 5. En este capítulo\(n\) hay un entero positivo arbitrario. En esta sección esbozamos la teoría general de las ecuaciones lineales de orden\(n\) th. Dado que esta teoría ya ha sido discutida\(n=2\) en las Secciones 5.1 y 5.3, omitiremos las pruebas.
Por conveniencia, consideramos ecuaciones diferenciales lineales escritas como
\[\label{eq:9.1.2} P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=F(x),\]
que se puede reescribir como Ecuación\ ref {eq:9.1.1} en cualquier intervalo en el que no\(P_0\) tenga ceros, con\(p_1=P_1/P_0\),...,\(p_n=P_n/P_0\) y\(f=F/P_0\). Por simplicidad, a lo largo de este capítulo abreviaremos el lado izquierdo de la ecuación\ ref {eq:9.1.2} por\(Ly\); es decir,
\[Ly=P_0y^{(n)}+P_1y^{(n-1)}+\cdots+P_ny.\nonumber \]
Decimos que la ecuación\(Ly=F\) es normal sobre\((a,b)\) si\(P_0\),\(P_1\),...,\(P_n\) y\(F\) son continuas en\((a,b)\) y no\(P_0\) tiene ceros encendidos\((a,b)\). Si esto es así entonces se\(Ly=F\) puede escribir como Ecuación\ ref {eq:9.1.1} con\(p_1\),...,\(p_n\) y\(f\) continua en\((a,b)\).
El siguiente teorema es análogo al Teorema 5.3.1.
Supongamos que\(Ly=F\) es normal en\((a,b)\), deja\(x_0\) ser un punto adentro\((a,b),\) y dejar\(k_0\),\(k_1\),...,\(k_{n-1}\) ser números reales arbitrarios\(.\) Entonces el problema del valor inicial
\[Ly=F, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1,\dots,\quad y^{(n-1)}(x_0)=k_{n-1}\nonumber \]
tiene una solución única en\((a,b)\).
Ecuaciones Homogéneas
Se dice que la ecuación\ ref {eq:9.1.2} es homogénea si\(F\equiv0\) y no homogénea de lo contrario. Ya que obviamente\(y\equiv0\) es una solución de\(Ly=0\), la llamamos la solución trivial. Cualquier otra solución no es trivial.
Si\(y_1\),\(y_2\),...,\(y_n\) se definen on\((a,b)\) y\(c_1\)\(c_2\),,...,\(c_n\) son constantes, entonces
\[\label{eq:9.1.3} y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\]
es una combinación lineal de\(\{y_1,y_2\dots,y_n\}\). Es fácil demostrar que si\(y_1\),,...\(y_2\),\(y_n\) son soluciones de\(Ly=0\) on\((a,b)\), entonces también lo es cualquier combinación lineal de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\). (Ver la prueba del Teorema 5.1.2.) Decimos que\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\) on\((a,b)\) si cada solución de\(Ly=0\) on\((a,b)\) puede escribirse como una combinación lineal de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\), como en la Ecuación\ ref {eq:9.1.3}. En este caso decimos que la Ecuación\ ref {eq:9.1.3} es la solución general de\(Ly=0\) on\((a,b)\).
Se puede demostrar (Ejercicios 9.1.14 y 9.1.15) que si la ecuación\(Ly=0\) es normal\((a,b)\) entonces tiene infinitamente muchos conjuntos fundamentales de soluciones en\((a,b)\). La siguiente definición ayudará a identificar conjuntos fundamentales de soluciones de\(Ly=0\).
Decimos que\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) es linealmente independiente de\((a,b)\) si las únicas constantes\(c_1\),\(c_2\),...,\(c_n\) tal que
\[\label{eq:9.1.4} c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0,\quad a<x<b,\]
son\(c_1=c_2=\cdots=c_n=0\). Si Ecuación\ ref {eq:9.1.4} se mantiene para algún conjunto de constantes\(c_1\)\(c_2\),,...,\(c_n\) que no son todas cero, entonces\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) depende linealmente de\((a,b)\)
El siguiente teorema es análogo al Teorema 5.1.3.
Si\(Ly=0\) es normal on\((a,b)\), entonces un conjunto\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) de\(n\) soluciones de\(Ly=0\) on\((a,b)\) es un conjunto fundamental si y solo si es linealmente independiente on\((a,b)\).
La ecuación
\[\label{eq:9.1.5} x^3y'''-x^2y''-2xy'+6y=0\]
es normal y tiene las soluciones\(y_1=x^2\),\(y_2=x^3\), y\(y_3=1/x\) en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\). Demostrar que\(\{y_1,y_2,y_3\}\) es linealmente independiente sobre\((-\infty, 0)\) y\((0,\infty)\). Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.1.5} en\((-\infty, 0)\) y\((0,\infty)\).
Solución
Supongamos
\[\label{eq:9.1.6} c_1x^2+c_2x^3+{c_3\over x}=0\]
encendido\((0,\infty)\). Debemos demostrarlo\(c_1=c_2=c_3=0\). La ecuación diferenciadora\ ref {eq:9.1.6} produce dos veces el sistema
\[\label{eq:9.1.7} \begin{array}{rr} {c_1x^2+c_2x^3+ \dfrac{c_3}{x}} &{= 0} \\ {2c_1x+3c_2x^2- \dfrac{c_3}{x^2}} &{=0} \\ {2c_1+6c_2x + \dfrac{2c_3}{x^3}} &{=0.} \end{array}\]
Si la ecuación\ ref {eq:9.1.7} se mantiene para all\(x\) in\((0,\infty)\), entonces ciertamente se mantiene en\(x=1\); por lo tanto,
\[\label{eq:9.1.8} \begin{array}{rr} {\phantom{2}c_1+\phantom{3}c_2+\phantom{2}c_3} &{= 0} \\ {2c_1+3c_2-\phantom{2}c_3}&{= 0}\\ {2c_1+6c_2+2c_3 }&{=0. }\end{array}\]
Al resolver este sistema directamente, se puede verificar que solo tiene la solución trivial\(c_1=c_2=c_3=0\); sin embargo, para nuestros propósitos es más útil recordar del álgebra lineal que un sistema lineal homogéneo de\(n\) ecuaciones en\(n\) incógnitas solo tiene la solución trivial si su determinante es distinto de cero . Dado que el determinante de la Ecuación\ ref {eq:9.1.8} es
\[\left|\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&3&-1\\2&6&2\end{array}\right|= \left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&1&-3\\2&4&0\end{array}\right|=12, \nonumber\]
se deduce que la Ecuación\ ref {eq:9.1.8} tiene sólo la solución trivial, por lo que\(\{y_1,y_2,y_3\}\) es linealmente independiente de\((0,\infty)\). Ahora el teorema 9.1.2 implica que
\[y=c_1x^2+c_2x^3+{c_3\over x} \nonumber\]
es la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.1.5} on\((0,\infty)\). Para ver que esto también es cierto en\((-\infty,0)\), supongamos que la Ecuación\ ref {eq:9.1.6} se mantiene\((-\infty,0)\). Ajuste\(x=-1\) en Ecuación\ ref {eq:9.1.7} rendimientos
\[\begin{aligned} \phantom{-2}c_1-\phantom{3}c_2-\phantom{2}c_3&=0\\ -2c_1+3c_2-\phantom{2}c_3&=0\\ \phantom{-}2c_1-6c_2-2c_3&=0.\end{aligned}\nonumber \]
Dado que el determinante de este sistema es
\[\left|\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&3&-1\\2&-6&-2\end{array}\right|= \left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\-2&1&-3\\2&-4&0\end{array}\right|=-12, \nonumber\]
se deduce que\(c_1=c_2=c_3=0\); es decir,\(\{y_1,y_2,y_3\}\) es linealmente independiente de\((-\infty,0)\).
La ecuación
\[\label{eq:9.1.9} y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0\]
es normal y tiene las soluciones\(y_1=e^x\),\(y_2=e^{-x}\),\(y_3=e^{2x}\), y\(y_4=e^{-3x}\) sucesivamente\((-\infty,\infty)\). (Verificar.) Demostrar que\(\{y_1,y_2,y_3,y_4\}\) es linealmente independiente en\((-\infty,\infty)\). Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.1.9}.
Solución
Supongamos\(c_1\)\(c_2\)\(c_3\),,, y\(c_4\) son constantes tales que
\[\label{eq:9.1.10} c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3e^{2x}+c_4e^{-3x}=0\]
para todos\(x\). Debemos demostrarlo\(c_1=c_2=c_3=c_4=0\). Ecuación diferenciadora\ ref {eq:9.1.10} tres veces rinde el sistema
\[\label{eq:9.1.11} \begin{array}{rcl} c_1e^x+c_2e^{-x}+\phantom{2}c_3e^{2x}+\phantom{27}c_4e^{-3x}&=&0\\ c_1e^x-c_2e^{-x}+2c_3e^{2x}-\phantom{2}3c_4e^{-3x}&=&0\\ c_1e^x+c_2e^{-x}+4c_3e^{2x}+\phantom{2}9c_4e^{-3x}&=&0\\ c_1e^x-c_2e^{-x}+8c_3e^{2x}-27c_4e^{-3x}&=&0. \end{array}\]
Si la ecuación\ ref {eq:9.1.11} se mantiene para todos\(x\), entonces ciertamente se mantiene para\(x=0\). Por lo tanto
\[\begin{array}{rcl} c_1+c_2+\phantom{2}c_3+\phantom{27}c_4&=&0\\ c_1-c_2+2c_3-\phantom{2}3c_4&=&0\\ c_1+c_2+4c_3+\phantom{2}9c_4&=&0\\ c_1-c_2+8c_3-27c_4&=&0. \end{array}\nonumber \]
El determinante de este sistema es
\[\label{eq:9.1.12} \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&2&-3\\1&1&4&9\\ 1&-1&8&-27\end{array}\right|&=& \left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\0&-2&1&-4\\0&0&3&8\\ 0&-2&7&-28\end{array}\right| =\left|\begin{array}{rrr}-2&1&-4\\0&3&8\\ -2&7&-28\end{array}\right|\\[5 pt]&=& \left|\begin{array}{rrr}-2&1&-4\\0&3&8 \\0&6&-24\end{array}\right|= -2\left|\begin{array}{rr}3&8\\6&-24\end{array}\right|=240, \end{array}\]
por lo que el sistema sólo tiene la solución trivial\(c_1=c_2=c_3=c_4=0\). Ahora el teorema 9.1.2 implica que
\[y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3e^{2x}+c_4e^{-3x} \nonumber\]
es la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.1.9}.
El Wronskian
Podemos utilizar el método utilizado en los Ejemplos 9.1.1 y 9.1.2 para probar\(n\) soluciones\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) de cualquier ecuación de orden\(n\) th\(Ly=0\) para la independencia lineal en un intervalo\((a,b)\) en el que la ecuación es normal. Así, si\(c_1\),\(c_2\),...,\(c_n\) son constantes tales que
\[c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n=0,\quad a<b,\nonumber\]
entonces diferenciar los\(n-1\) tiempos conduce al\(n\times n\) sistema de ecuaciones
\[\label{eq:9.1.13} \begin{array}{rcl} c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+&\cdots&+c_ny_n(x)=0\\ c_1y_1'(x)+c_2y_2'(x)+&\cdots&+c_ny_n'(x)=0\\ \phantom{c_1y_1^{(n)}(x)+c_2y_2^{(n-1)}(x)}&\vdots& \phantom{\cdots+c_ny_n^{(n-1)(x)}=q}\\ c_1y_1^{(n-1)}(x)+c_2y_2^{(n-1)}(x)+&\cdots&+c_ny_n^{(n-1)}(x) =0 \end{array}\]
para\(c_1\),\(c_2\),...,\(c_n\). Para un fijo\(x\), el determinante de este sistema es
\[W(x)=\left|\begin{array}{cccc} y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\[4pt] y'_1(x)&y'_2(x)&\cdots&y_n'(x)\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] y_1^{(n-1)}(x)&y_2^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x) \end{array}\right|.\nonumber\]
Llamamos a este determinante el Wronskian de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\). Si\(W(x)\ne0\) para algunos\(x\) en\((a,b)\) entonces el sistema Ecuación\ ref {eq:9.1.13} tiene solo la solución trivial\(c_1=c_2=\cdots=c_n=0\), y el Teorema 9.1.2 implica que
\[y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\nonumber\]
es la solución general de\(Ly=0\) on\((a,b)\).
El siguiente teorema generaliza el Teorema 5.1.4. La prueba está bosquejada en Ejercicios 9.1.17-9.1.20.
Supongamos que la ecuación lineal homogénea de orden\(n\) th
\[\label{eq:9.1.14} P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{n-1}+\cdots+P_n(x)y=0\]
es normal en\((a,b),\) let\(y_1,\)\(y_2,\)...,\(y_n\) ser soluciones de Ecuación\ ref {eq:9.1.14} on\((a,b),\) y let\(x_0\) be in\((a,b)\). Entonces el Wronskian de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) es dado por
\[\label{eq:9.1.15} W(x)= W(x_0) \exp\left\{-\int^x_{x_0}{P_1(t) \over P_0(t)} \, dt \right\},\quad a<b.\]
Por lo tanto, o bien no\(W\) tiene ceros en\((a,b)\) o\(W\equiv0\) sobre\((a,b).\)
Fórmula Ecuación\ ref {eq:9.1.15} es la fórmula de Abel.
El siguiente teorema es análogo al Teorema 5.1.6.
Supongamos que\(Ly=0\) es normal encendido\((a,b)\) y dejar\(y_1\)\(y_2\),,...,\(y_n\) ser\(n\) soluciones de\(Ly=0\) on\((a,b)\). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes es\(;\) decir, o son todas verdaderas o todas falsas:
- La solución general de\(Ly=0\) on\((a,b)\) es\(y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n.\)
- \(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\)es un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\) on\((a,b).\)
- \(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\)es linealmente independiente en\((a,b).\)
- El Wronskian de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) es distinto de cero en algún momento en\((a,b).\)
- El Wronskian de\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) es distinto de cero en todos los puntos en\((a,b).\)
En Example 9.1.1 vimos que las soluciones\(y_1=x^2\),\(y_2=x^3\), y\(y_3=1/x\) de
\[x^3y'''-x^2y''-2xy'+6y=0 \nonumber\]
son linealmente independientes sobre\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\). Calcular el Wronskian de\(\{y_1,y_2,y_3\}\).
Solución
Si\(x\ne0\), entonces
\[W(x)=\left|\begin{array}{ccc}{x^{2}} & {x^{3}} & {\frac{1}{x}} \\ {2 x} & {3 x^{2}} & {-\frac{1}{x^{2}}} \\ {2} & {6 x} & {\frac{2}{x^{3}}}\end{array}\right|=2 x^{3}\left|\begin{array}{ccc}{1} & {x} & {\frac{1}{x^{3}}} \\ {2} & {3 x} & {-\frac{1}{x^{3}}} \\ {1} & {3 x} & {\frac{1}{x^{3}}}\end{array}\right| \nonumber\]
donde factorizamos\(x^2\),\(x\), y\(2\) fuera de la primera, segunda y tercera filas de\(W(x)\), respectivamente. Agregar la segunda fila del último determinante a la primera y tercera fila rinde
\[W(x)=2 x^{3}\left|\begin{array}{ccc}{3} & {4 x} & {0} \\ {2} & {3 x} & {-\frac{1}{x^{3}}} \\ {3} & {6 x} & {0}\end{array}\right|=2 x^{3}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\left|\begin{array}{cc}{3} & {4 x} \\ {3} & {6 x}\end{array}\right|=12 x\nonumber \]
Por lo tanto\(W(x)\ne0\) en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
En Example 9.1.2 vimos que las soluciones\(y_1=e^x\),\(y_2=e^{-x}\),\(y_3=e^{2x}\), y\(y_4=e^{-3x}\) de
\[y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0 \nonumber\]
son linealmente independientes en cada intervalo abierto. Calcular el Wronskian de\(\{y_1,y_2,y_3,y_4\}\).
Solución
Para todos\(x\),
\[W(x)=\left|\begin{array}{rrrr} e^x&e^{-x}&e^{2x}&e^{-3x}\\ e^x&-e^{-x}&2e^{2x}&-3e^{-3x}\\ e^x&e^{-x}&4e^{2x}&9e^{-3x}\\ e^x&-e^{-x}&8e^{2x}&-27e^{-3x} \end{array}\right|. \nonumber\]
Factorizar el factor común exponencial de los rendimientos de cada fila
\[W(x)=e^{-x}\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&2&-3\\1&1&4&9\\ 1&-1&8&-27\end{array}\right|=240e^{-x}, \nonumber\]
de Ecuación\ ref {eq:9.1.12}.
Bajo los supuestos del Teorema 9.1.4 , no es necesario obtener una fórmula para\(W(x)\). Simplemente evalúe\(W(x)\) en un punto conveniente en\((a, b)\), como lo hicimos en Ejemplos 9.1.1 y 9.1.2 .
Supongamos que\(c\) está en\((a,b)\) y\(\alpha_{1},\)\(\alpha_{2},\)..., son números reales, no todos cero. Bajo los supuestos del Teorema 10.3.3, supongamos\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son soluciones de la Ecuación 5.1.35 tales que
\[\label{eq:9.1.16} \alpha y_{i}(c)+ y_{i}'(c)+\cdots +y_{i}^{(n-1)}(c)=0,\quad 1\le i\le n.\]
Entonces\(\{y_{1},y_{2},\dots y_{n}\}\) no es linealmente independiente de\((a,b).\)
- Prueba
-
Ya que\(\alpha_{1}\)\(\alpha_{2}\),,..., no\(\alpha_{n}\) son todos cero, la Ecuación\ ref {eq:9.1.14} implica que
\[\left|\begin{array}{ccccccc} y_{1}(c)&y_{1}'(c)&\cdots&y_{1}^{(n-1)}(c)\\ y_{2}(c)&y_{2}'(c)&\cdots&y_{2}^{(n-1)}(c)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_{n}(c)&y_{n}'(c)&\cdots&y_{n}^{(n-1)}(c)\\ \end{array}\right|=0,\nonumber \]
entonces
\[\left|\begin{array}{cccccc} y_{1}(c)&y_{2}(c)&\cdots& y_{n}(c)\\ y_{1}'(c)&y_{2}'(c)&\cdots& y_{n}'(c)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}(c)&y_{2}^{(n-1)}(c)(c)&\cdots& y_{n}^{(n-1)}(c)(c)\\ \end{array}\right|=0\nonumber \]
y Teorema 9.1.4 implica la conclusión declarada.
Solución General de una Ecuación No Homogénea
El siguiente teorema es análogo al Teorema 5.3.2. Muestra cómo encontrar la solución general de\(Ly=F\) si conocemos una solución particular\(Ly=F\) y un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria\(Ly=0\).
Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.
- Prueba
-
Supongamos que\(Ly=F\) es normal en\((a,b).\) Let\(y_p\) be a particular solution of\(Ly=F\) on\((a,b),\) y let\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) be a fundamental conjunto de soluciones de la ecuación complementaria\(Ly=0\) on\((a,b)\). Entonces\(y\) es una solución de\(Ly=F\) on\((a,b)\) si y solo si
\[y=y_p+c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n,\nonumber \]
donde\(c_1,c_2,\dots,c_n\) están las constantes.
El siguiente teorema es análogo al Teorema 5.3.2.
Supongamos que para cada\(i=1,\)\(2,\)...\(r\), la función\(y_{p_i}\) es una solución particular de\(Ly=F_i\) on\((a,b).\) Entonces
\[y_p=y_{p_1}+y_{p_2}+\cdots+y_{p_r} \nonumber\]
es una solución particular de
\[Ly=F_1(x)+F_2(x)+\cdots+F_r(x) \nonumber\]
en\((a,b).\)
Aplicaremos los Teoremas 9.1.6 y 9.1.7 a lo largo del resto de este capítulo.