9.1E: Introducción a las Ecuaciones Lineales de Orden Superior (Ejercicios)

Q9.1.1

1. Verificar que la función dada es la solución del problema de valor inicial.

1. \(x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=\dfrac{-24}{ x}, \quad y(-1)=0\),\(y'(-1)=0, \quad y''(-1)=0\);\(y=-6x-8x^2-3x^3 + {1\over x}\)
2. \(y'''- \dfrac{1}{x}y''-y'+ \dfrac{1}{x}y= \dfrac{x^2-4}{x^4}, \quad y(1)= \dfrac{3}{2}, \quad y'(1)= \dfrac{1}{2}, y''(1)=1\);\(y=x+ \dfrac{1}{2x}\)
3. \(xy'''-y''-xy'+y=x^2, \quad y(1)=2,\quad y'(1)=5,\quad y''(1)=-1\);\(y=-x^2-2+2e^{(x-1)}-e^{-(x-1)}+4x\)
4. \(4x^3y'''+4x^2y''-5xy'+2y=30x^2, \quad y(1)=5,\quad y'(1)= \dfrac{17}{2}\);\(y''(1)= \dfrac{63}{4};\quad y=2x^2\ln x-x^{1/2}+2x^{-1/2}+4x^2\)
5. \(x^4y^{(4)}-4x^3y'''+12x^2y''-24xy'+24y=6x^4, \quad y(1)=-2\);\(y'(1)=-9, \quad y''(1)=-27,\quad y'''(1)=-52\);\(y=x^4\ln x+x-2x^2+3x^3-4x^4\)
6. \(xy^{(4)}-y'''-4xy''+4y'=96x^2, \quad y(1)=-5,\quad y'(1)=-24\);\(y''(1)=-36; \quad y'''(1)=-48;\quad y=9-12x+6x^2-8x^3\)

2. Resolver el problema de valor inicial

\[x^3y'''-x^2 y''-2xy'+6y=0, \quad y(-1)=-4, \quad y'(-1)=-14,\quad y''(-1)=-20.\nonumber \]SUGERENCIA: Ver Ejemplo 9.1.1.

3. Resolver el problema de valor inicial

\[y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0, \quad y(0)=5,\quad y'(0)=-6,\quad y''(0)=10,\quad y'''(0)-36.\nonumber \]SUGERENCIA: Ver Ejemplo 9.1.2.

4. Encontrar soluciones\(y_1\),\(y_2\),...,\(y_n\) de la ecuación\(y^{(n)}=0\) que satisfaga las condiciones iniciales

\[y_i^{(j)}(x_0)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&j\ne i-1,\\[5 pt] 1,&j=i-1,\end{array}\right.\; 1\le i\le n.\nonumber \]

5.

1. Verifique que la función\[y=c_1x^3+c_2x^2+{c_3\over x}\nonumber \] satisfaga\[x^3 y'''-x^2y''-2xy'+6y=0 \tag{A}\] si\(c_1\)\(c_2\),, y\(c_3\) son constantes.
2. Utilizar (a) para encontrar soluciones\(y_1\)\(y_2\), y\(y_3\) de (A) de tal manera que\[\begin{array}{rl} y_1(1)&=1,\quad y_1'(1)=0,\quad y_1''(1)=0 \\[5 pt] y_2(1)&=0,\quad y_2'(1)=1,\quad y_2''(1)=0 \\[5 pt] y_3(1)&=0,\quad y_3'(1)=0,\quad y_3''(1)=1. \end{array}\nonumber \]
3. Utilice (b) para encontrar la solución de (A) tal que\[y(1)=k_0,\quad y'(1)=k_1,\quad y''(1)=k_2.\nonumber \]

6. Verificar que las funciones dadas son soluciones de la ecuación dada, y mostrar que forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación en cualquier intervalo en el que la ecuación sea normal.

1. \(y'''+y''-y'-y=0; \quad\{e^x,\,e^{-x},\,xe^{-x}\}\)
2. \(y'''-3y''+7y'-5y=0; \quad\{e^x,\,e^x\cos2x,\,e^x\sin2x\}\).
3. \(xy'''-y''-xy'+y=0; \quad \{e^x,\,e^{-x},\,x\}\)
4. \(x^2y'''+2xy''-(x^2+2)y=0; \quad \{e^x/ x,\,e^{-x}/ x,\,1\}\)
5. \((x^2-2x+2)y'''-x^2y''+2xy'-2y=0; \quad \{x,\,x^2,\,e^x\} \)
6. \((2x-1)y^{(4)}-4xy'''+(5-2x)y''+4xy'-4y=0; \quad\{x,\,e^x,\,e^{-x},e^{2x}\}\)
7. \(xy^{(4)}-y'''-4xy'+4y'=0; \quad\{1,x^2,\,e^{2x},\,e^{-2x}\}\)

7. Encuentra el Wronskian\(W\) de un conjunto de tres soluciones de\[y'''+2xy''+e^xy'-y=0,\nonumber \] dado eso\(W(0)=2\).

8. Encuentra el Wronskian\(W\) de un conjunto de cuatro soluciones de\[y^{(4)}+(\tan x)y'''+x^2y''+2xy=0,\nonumber \] dado eso\(W(\pi/4)=K\).

9.

1. Evaluar el Wronskian\(W\)\(\{e^x,\,xe^x,\, x^2e^x\}\). Evaluar\(W(0)\).
2. Verificar que\(y_1\),\(y_2\), y\(y_3\) satisfacer\[y'''-3y''+3y'-y=0. \tag{A}\]
3. Use\(W(0)\) de (a) y la fórmula de Abel para calcular\(W(x)\).
4. ¿Cuál es la solución general de (A)?

10. Calcular el Wronskian del conjunto de funciones dado.

1. \(\{1,\,e^x,\,e^{-x}\}\)
2. \(\{e^x,\, e^x\sin x,\,e^x\cos x\}\)
3. \(\{2,\,x+1,\,x^2+2\}\)
4. \(x,\,x\ln x,\,1/x\}\)
5. \(\{1,\,x,\,{x^2\over2!},\, {x^3\over3!}\,,\cdots,\,{x^n\over n!}\}\)
6. \(\{e^x,\,e^{-x},\,x\}\)
7. \(\{e^x/x,\,e^{-x}/x,\,1\}\)
8. \(\{x,\,x^2,\,e^x\}\)
9. \(\{x,\,x^3,\,1/x,\,1/x^2\}\)
10. \(\{e^x,\,e^{-x},\,x,\,e^{2x}\}\)
11. \(\{e^{2x},\,e^{-2x},\,1,\,x^2\}\)

11. Supongamos que\(Ly=0\) es normal encendido\((a,b)\) y\(x_0\) está dentro\((a,b)\). Utilice el Teorema 9.1.1 para mostrar que\(y\equiv0\) es la única solución del problema de valor inicial\[Ly=0, \quad y(x_0)=0,\quad y'(x_0)=0,\dots, y^{(n-1)}(x_0)=0,\nonumber \] en\((a,b)\).

12. Demostrar: Si\(y_1\)\(y_2\),,...,\(y_n\) son soluciones de\(Ly=0\) y las funciones\[z_i=\sum^n_{j=1}a_{ij}y_j,\quad 1\le i\le n,\nonumber \] forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\), entonces así lo hacen\(y_1\),\(y_2\),...,\(y_n\).

13. Demostrar: Si\[y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ky_k+y_p\nonumber \] es una solución de una ecuación lineal\(Ly=F\) para cada elección de las constantes\(c_1\)\(c_2\),,...\(c_k\), entonces\(Ly_i=0\) para\(1\le i\le k\).

14. Supongamos que\(Ly=0\) es normal encendido\((a,b)\) y dejar entrar\(x_0\)\((a,b)\). Para\(1\le i\le n\), deja\(y_i\) ser la solución del problema de valor inicial\[Ly_i=0, \quad y_i^{(j)} (x_0)= \left\{\begin{array}{cl} 0,& j\ne i-1,\\ 1,&j=i-1,\end{array}\right. 1\le i\le n,\nonumber \] donde\(x_0\) es un punto arbitrario en\((a,b)\). Demostrar que cualquier solución de\(Ly=0\) on\((a, b)\), se puede escribir como\[y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n,\nonumber \] con\(c_j=y^{(j-1)}(x_0)\).

15. Supongamos que\(\{y_1, y_2,\dots, y_n\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\[\ P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=0\nonumber \] on\((a,b)\), y let\[\begin{array}{rl} z_1&=a_{11}y_1+a_{12}y_2+\cdots+a_{1n}y_n\\ z_2&=a_{21}y_1+a_{22}y_2+\cdots+a_{2n}y_n\\ \phantom{z_1}&\vdots\phantom{_1y_1+a}\vdots \phantom{_2y_2+\cdots+a}\vdots\phantom{_ny_n} \phantom{=b}\vdots\\ z_n&=a_{n1}y_1+a_{n2}y_2+\cdots+a_{nn}y_n, \end{array}\nonumber \] donde\(\{a_{ij}\}\) están las constantes. Mostrar que\(\{z_1, z_2,\dots, z_n\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) si y sólo si el determinante\[\left|\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|\nonumber \] es distinto de cero. SUGERENCIA: El determinante de un producto de\(n\times n\) matrices es igual al producto de los determinantes.

16. Demostrar\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) que depende linealmente de\((a,b)\) si y solo si al menos una de las funciones\(y_1\),\(y_2\),...,\(y_n\) puede escribirse como una combinación lineal de las otras en\((a,b)\).

Q9.1.2

Toma lo siguiente como indicio en los Ejercicios 9.1.17-9.1.19:

Por la definición de determinante,\[\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots }&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots }&{a_{2n}}\\{\vdots }&{\vdots }&{\ddots }&{\vdots }\\{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots }&{a_{nn}} \end{array} \right| = \sum\pm a_{1i_{1}}a_{2i_{2}},\cdots , a_{ni_{n}},\nonumber \] donde la suma es sobre todas las permutaciones\((i_{i}, i_{2}, \cdots , i_{n})\) de\((1,2,\cdots ,n)\) y la elección de\(+\) o\(-\) en cada término depende únicamente de la permutación asociada a ese término.

17. Demostrar: Si\[A(u_1,u_2,\dots,u_n)= \left|\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\[4pt] a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots&a_{n-1,n}\\[4pt] u_1&u_2&\cdots&u_n\end{array}\right|,\nonumber \] entonces\[A(u_1+v_1, u_2+v_2,\dots, u_n+v_n)=A(u_1,u_2,\dots,u_n)+A(v_1,v_2,\dots, v_n).\nonumber \]

18. Vamos\[F=\left|\begin{array}{cccc} f_{11}&f_{12}&\cdots&f_{1n}\\[4pt] f_{21}&f_{22}&\cdots&f_{2n}\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] f_{n1}&f_{n2}&\cdots&f_{nn}\end{array}\right|,\nonumber \] donde\(f_{ij}\; (1\le i,\; j\le n)\) es diferenciable. Mostrar que\[F'=F_1+F_2+\cdots+F_n,\nonumber \] donde\(F_i\) esta el determinante obtenido diferenciando la fila\(i\) th de\(F\).

19. Usa el Ejercicio 9.1.18 para mostrar que si\(W\) es el Wronskian de las\(n\) -veces funciones diferenciables\(y_1\)\(y_2\),,...\(y_n\), entonces

\[W'= \left|\begin{array}{cccc} y_1&y_2&\cdots&y_n\\[4pt] y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] y_1^{(n-2)}&y_2^{(n-2)}&\cdots&y_n^{(n-2)}\\[4pt] y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)} \end{array}\right|.\nonumber \]

Q9.1.3

20. Usa los Ejercicios 9.1.17 y 9.1.19 para mostrar que si\(W\) es el Wronskian de soluciones\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) de la ecuación normal\[P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=0, \tag{A}\] entonces\(W'=-P_1W/P_0\). Derivar la fórmula de Abel (Ecuación 9.1.15) de esto.

21. Demostrar Teorema 9.1.6.

22. Demostrar Teorema 9.1.7.

23. Mostrar que si el Wronskian de las funciones continuamente diferenciables\(n\) -veces no\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) tiene ceros en\((a,b)\), entonces la ecuación diferencial obtenida al expandir el determinante\[\left|\begin{array}{ccccc} y&y_1&y_2&\cdots&y_n\\[4pt] y'&y'_1&y'_2&\cdots&y'_n\\[4pt] \vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots\\[4pt] y^{(n)}&y_{1}^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)} \end{array}\right|=0,\nonumber \] en cofactores de su primera columna es normal y tiene\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) como conjunto fundamental de soluciones sobre \((a,b)\).

24. Utilice el método sugerido por el Ejercicio 9.1.23 para encontrar una ecuación lineal homogénea tal que el conjunto de funciones dado sea un conjunto fundamental de soluciones en intervalos en los que el Wronskian del conjunto no tenga ceros.

1. \(\{x,\,x^2-1,\,x^2+1\}\)
2. \(\{e^x,\,e^{-x},\,x\}\)
3. \(\{e^x,\,xe^{-x},\,1\}\)
4. \(\{x,\,x^2,\,e^x\}\)
5. \(\{x,\,x^2,\,1/x\}\)
6. \(\{x+1,\,e^x,\,e^{3x}\}\)
7. \(\{x,\,x^3,\,1/x,\,1/x^2\}\)
8. \(\{x,\,x\ln x,\,1/x,\,x^2\}\)
9. \(\{e^x,\,e^{-x},\,x,\,e^{2x}\}\)
10. \(\{e^{2x},\,e^{-2x},\,1,\,x^2\}\)