9.2E: Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante de orden superior (Ejercicios)

Q9.2.1

En Ejercicios 9.2.1-9.2.14 encuentra la solución general.

1. \(y'''-3y''+3y'-y=0\)

2. \(y^{(4)}+8y''-9y=0\)

3. \(y'''-y''+16y'-16y=0\)

4. \(2y'''+3y''-2y'-3y=0\)

5. \(y'''+5y''+9y'+5y=0\)

6. \(4y'''-8y''+5y'-y=0\)

7. \(27y'''+27y''+9y'+y=0\)

8. \(y^{(4)}+y''=0\)

9. \(y^{(4)}-16y=0\)

10. \(y^{(4)}+12y''+36y=0\)

11. \(16y^{(4)}-72y''+81y=0\)

12. \(6y^{(4)}+5y'''+7y''+5y'+y=0\)

13. \(4y^{(4)}+12y'''+3y''-13y'-6y=0\)

14. \(y^{(4)}-4y'''+7y''-6y'+2y=0\)

Q9.2.2

En Ejercicios 9.2.15-9.2.27 resolver el problema de valor inicial. Grafica la solución para los Ejercicios 9.2.17-9.2.19 y 9.2.27.

15. \(y'''-2y''+4y'-8y=0, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=-2,\; y''(0)=0\)

16. \(y'''+3y''-y'-3y=0, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=14,\quad y''(0)=-40\)

17. \(y'''-y''-y'+y=0, \quad y(0)=-2,\quad y'(0)=9,\quad y''(0)=4\)

18. \(y'''-2y'-4y=0, \quad y(0)=6,\quad y'(0)=3,\quad y''(0)=22\)

19. \(3y'''-y''-7y'+5y=0, \quad y(0)= \frac{14}{5},\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=10\)

20. \(y'''-6y''+12y'-8y=0, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1,\quad y''(0)=-4\)

21. \(2y'''-11y''+12y'+9y=0, \quad y(0)=6,\quad y'(0)=3,\quad y''(0)=13\)

22. \(8y'''-4y''-2y'+y=0, \quad y(0)=4,\quad y'(0)=-3,\quad y''(0)=-1\)

23. \(y^{(4)}-16y=0, \quad y(0)=2,\; y'(0)=2,\; y''(0)=-2,\; y'''(0)=0\)

24. \(y^{(4)}-6y'''+7y''+6y'-8y=0, \quad y(0)=-2,\quad y'(0)=-8,\quad y''(0)=-14,\quad y'''(0)=-62\)

25. \(4y^{(4)}-13y''+9y=0, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=3,\quad y''(0)=1,\quad y'''(0)=3\)

26. \(y^{(4)}+2y'''-2y''-8y'-8y=0, \quad y(0)=5,\quad y'(0)=-2,\quad y''(0)=6,\quad y'''(0)=8\)

27. \(4y^{(4)}+8y'''+19y''+32y'+12y=0, \quad y(0)=3,\quad y'(0)=-3,\quad y''(0)= -\frac{7}{2},\quad y'''(0)=\frac{31}{4}\)

Q9.2.3

28. Encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación dada, y verificar que es un conjunto fundamental mediante la evaluación de su Wronskian en\(x=0\).

1. \((D-1)^2(D-2)y=0\)
2. \((D^2+4)(D-3)y=0\)
3. \((D^2+2D+2)(D-1)y=0\)
4. \(D^3(D-1)y=0\)
5. \((D^2-1)(D^2+1)y=0\)
6. \((D^2-2D+2)(D^2+1)y=0\)

Q9.2.4

En Ejercicios 9.2.29-9.2.38 encontrar un conjunto fundamental de soluciones.

29. \((D^2+6D+13)(D-2)^2D^3y=0\)

30. \((D-1)^2(2D-1)^3(D^2+1)y=0\)

31. \((D^2+9)^3D^2y=0\)

32. \((D-2)^3(D+1)^2Dy=0\)

33. \((D^2+1)(D^2+9)^2(D-2)y=0\)

34. \((D^4-16)^2y=0\)

35. \((4D^2+4D+9)^3y=0\)

36. \(D^3(D-2)^2(D^2+4)^2y=0\)

37. \((4D^2+1)^2(9D^2+4)^3y=0\)

38. \(\left[(D-1)^4-16\right]y=0\)

Q9.2.5

39 Se puede demostrar que\[\left|\begin{array}{cccc} 1&1&\cdots&1\\[4pt] a_1&a_2&\cdots&a_n\\[4pt] a^2_1&a^2_2&\cdots&a^2_n\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] a^{n-1}_1&a^{n-1}_2&\cdots&a^{n-1}_n\end{array}\right|= \prod_{1\leq i<j\leq n}(a_{j}-a_{i}),\tag{A}\]

donde el lado izquierdo es el determinante Vandermonde y el lado derecho es producto de todos los factores de la forma\((a_j-a_i)\) con\(i\) y\(j\) entre\(1\) y\(n\) y\(i<j\). >

1. Verificar (A) para\(n=2\) y\(n=3\).
2. Encuentra al Wronskian de\(\{e^{{a_1}x}, \quad e^{{a_2}x},\dots, e^{{a_n}x}\}\).

40. Un teorema de álgebra dice que si\(P_1\) y\(P_2\) son polinomios sin factores comunes entonces hay polinomios\(Q_1\) y\(Q_2\) tal que\[Q_1P_1+Q_2P_2=1.\nonumber\] Esto implica que\[Q_1(D)P_1(D)y+Q_2(D)P_2(D)y=y\nonumber\] para cada función\(y\) con suficientes derivados para que se defina el lado izquierdo.

1. Usa esto para demostrar que si\(P_1\) y no\(P_2\) tienen factores comunes y\[P_1(D)y=P_2(D)y=0\nonumber\] luego\(y=0\).
2. Supongamos\(P_1\) y\(P_2\) son polinomios sin factores comunes. Dejar\(u_1\),...,\(u_r\) ser soluciones linealmente independientes de\(P_1(D)y=0\) y dejar\(v_1\),...,\(v_s\) ser soluciones linealmente independientes de\(P_2(D)y=0\). Utilice (a) para mostrar que\(\{u_1,\dots,u_r,\: v_1,\dots,v_s\}\) es un conjunto linealmente independiente.
3. Supongamos que el polinomio característico de la ecuación de coeficiente constante\[a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0 \tag{A}\] tiene la factorización\[p(r)=a_0p_1(r)p_2(r)\cdots p_k(r),\nonumber\] donde cada uno\(p_j\) es de la forma\[p_j(r)=(r-r_j)^{n_j} \mbox{ or } p_j(r)=[(r-\lambda_j)^2+w^2_j]^{m_j}\quad (\omega_j>0)\nonumber\] y no hay dos de los polinomios\(p_1\)\(p_2\),,...,\(p_k\) tienen un factor común. Demostrar que podemos encontrar un conjunto fundamental de soluciones\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) de (A) encontrando un conjunto fundamental de soluciones de cada una de las ecuaciones\[p_j(D)y=0,\quad 1\le j\le k,\nonumber\] y tomando\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) como conjunto de todas las funciones en estos conjuntos fundamentales separados.

41.

1. Mostrar que si\[z=p(x)\cos\omega x+q(x)\sin\omega x, \tag{A}\] donde\(p\) y\(q\) son polinomios de grado\(\le k\), entonces\[(D^2+\omega^2)z=p_1(x)\cos\omega x+q_1(x)\sin\omega x,\nonumber\] donde\(p_1\) y\(q_1\) son polinomios de grado\(\le k-1\).
2. Aplicar (a)\(m\) veces para mostrar que si\(z\) es de la forma (A) donde\(p\) y\(q\) son polinomios de grado\(\le m-1\), entonces\[(D^2+\omega^2)^mz=0. \tag{B}\]
3. Usa la Ecuación 9.2.17 para mostrar que si\(y=e^{\lambda x}z\) entonces\[[(D-\lambda)^2+\omega^2]^my=e^{\lambda x}(D^2+\omega^2)^mz.\nonumber\]
4. Concluir de (b) y (c) que si\(p\) y\(q\) son polinomios arbitrarios de grado\(\le m-1\) entonces\[y=e^{\lambda x}(p(x)\cos\omega x+q(x)\sin\omega x)\nonumber\] es una solución de\[[(D-\lambda)^2+\omega^2]^my=0. \tag{C}\]
5. Concluir de (d) que las funciones\[\begin{array}{rl} e^{\lambda x}\cos\omega x, xe^{\lambda x}\cos\omega x, &\dots, x^{m-1}e^{\lambda x}\cos\omega x,\\ e^{\lambda x}\sin\omega x, xe^{\lambda x}\sin\omega x,& \dots, x^{m-1}e^{\lambda x}\sin\omega x \end{array} \tag{D} \] son todas soluciones de (C).
6. Completar la prueba del Teorema 9.2.2 mostrando que las funciones en (D) son linealmente independientes.

42.

1. Usa las identidades trigonométricas\[\begin{aligned} \cos(A+B)&=\cos A\cos B-\sin A\sin B\\ \sin(A+B)&=\cos A\sin B+\sin A\cos B\end{aligned}\nonumber\] para mostrar que\[(\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B)=\cos(A+B)+i\sin(A+B).\nonumber\]
2. Aplicar (a) repetidamente para mostrar que si\(n\) es un entero positivo entonces\[\prod_{k=1}^n(\cos A_k+i\sin A_k)=\cos(A_1+A_2+\cdots+A_n) +i\sin(A_1+A_2+\cdots+A_n).\nonumber\]
3. Inferir de (b) que si\(n\) es un entero positivo entonces\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta. \tag{A}\]
4. Mostrar que (A) también contiene si\(n=0\) o un entero negativo. SUMINISTRO: Verifique por cálculo directo que\[(\cos\theta +i\sin\theta )^{-1}=(\cos\theta -i\sin\theta ).\nonumber\] Luego reemplace\(\theta \) por\(-\theta \) in\((A)\).
5. Ahora supongamos que\(n\) es un entero positivo. Inferir de (A) que si\[z_k=\cos\left(2k\pi\over n\right)+i\sin\left(2k\pi\over n\right) ,\quad k=0,1,\dots,n-1,\nonumber\] y\[\zeta_k=\cos\left((2k+1)\pi\over n\right)+i\sin\left((2k+1)\pi\over n\right) ,\quad k=0,1,\dots,n-1,\nonumber\] entonces\[z_k^n=1\quad\mbox{ and }\quad\zeta_k^n=-1,\quad k=0,1,\dots,n-1.\nonumber\] (¿Por qué no consideramos también otros valores enteros para\(k\)?)
6. Dejar\(\rho\) ser un número positivo. Utilice (e) para mostrar eso\[z^n-\rho=(z-\rho^{1/n} z_0)(z-\rho^{1/n}z_1)\cdots(z-\rho^{1/n} z_{n-1})\nonumber\] y\[z^n+\rho=(z-\rho^{1/n} \zeta_0)(z-\rho^{1/n} \zeta_1)\cdots(z-\rho^{1/n} \zeta_{n-1}).\nonumber\]

43. Uso (e) del Ejercicio 9.2.42 para encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación dada.

1. \(y'''-y=0\)
2. \(y'''+y=0\)
3. \(y^{(4)}+64y=0\)
4. \(y^{(6)}-y=0\)
5. \(y^{(6)}+64y=0\)
6. \(\left[(D-1)^6-1\right]y=0\)
7. \(y^{(5)}+y^{(4)}+y'''+y''+y'+y=0\)

44. Una ecuación de la forma\[a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_ny=0,\quad x>0, \tag{A}\] donde\(a_0\),\(a_1\),...,\(a_n\) son constantes, es una ecuación Euler o equidimensional. Demuestre que si\[x=e^t \quad \mbox{ and } \quad Y(t)=y(x(t)), \tag{B}\] entonces

\[\begin{aligned} x\frac{dy}{dx}&=\frac{dY}{dt} \\ x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}&=\frac{d^{2}Y}{dt^{2}}-\frac{dY}{dt} \\ x^{3}\frac{d^{3}y}{dx^{3}}&=\frac{d^{3}Y}{dt^{3}}-3\frac{d^{2}Y}{dt^{2}}+2\frac{dY}{dt}. \end{aligned} \nonumber \]

En general, se puede demostrar que si\(r\) es cualquier entero\(\ge2\) entonces

\[x^r {d^ry\over dx^r}={d^rY\over dt^r}+ A_{1r}{d^{r-1}Y\over dt^{r-1}}+\cdots+A_{r-1,r} {dY\over dt}\nonumber\]

donde\(A_{1r}\),...,\(A_{r-1,r}\) son enteros. Utilice estos resultados para mostrar que la sustitución (B) transforma (A) en una ecuación de coeficiente constante para\(Y\) como una función de\(t\).

45. Use el Ejercicio 9.2.44 para mostrar que una función\(y=y(x)\) satisface la ecuación\[a_0x^3y'''+a_1x^2y''+a_2xy'+a_3y=0, \tag{A}\] sobre\((0,\infty)\) si y solo si la función\(Y(t)=y(e^t)\) satisface\[a_0{d^3Y\over dt^3}+(a_1-3a_0) {d^2Y\over dt^2}+(a_2-a_1+2a_0) {dY\over dt}+a_3Y=0.\nonumber\] Suponiendo que\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\) son reales y\(a_0 \ne0\), encontrar las formas posibles para lo general solución de (A).