10.1E: Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales (Ejercicios)

Q10.1.1

1. Tanques\(T_1\) y\(T_2\) contienen 50 galones y 100 galones de soluciones salinas, respectivamente. Una solución con 2 libras de sal por galón se bombea\(T_1\) desde una fuente externa a\(1\) gal/min, y una solución con\(3\) libras de sal por galón se bombea\(T_2\) desde una fuente externa a\(2\) gal/min. La solución de\(T_1\) se\(T_2\) bombea a\(3\) gal/min, y la solución de\(T_2\) se\(T_1\) bombea a\(4\) gal/min. \(T_1\)se drena a\(2\) gal/min y\(T_2\) se drena a\(1\) gal/min. Dejar\(Q_1(t)\) y\(Q_2(t)\) ser el número de libras de sal en\(T_1\) y\(T_2\), respectivamente, en el momento\(t>0\). Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(Q_1\) y\(Q_2\). Supongamos que ambas mezclas están bien agitadas.

2. Dos tanques de 500 galones\(T_1\) e\(T_2\) inicialmente contienen 100 galones cada uno de solución salina. Una solución con\(2\) libras de sal por galón se bombea\(T_1\) desde una fuente externa a\(6\) gal/min, y una solución con\(1\) libra de sal por galón se bombea\(T_2\) desde una fuente externa a\(5\) gal/min. La solución de\(T_1\) se\(T_2\) bombea a\(2\) gal/min, y la solución de\(T_2\) se\(T_1\) bombea a\(1\) gal/min. Ambos tanques se drenan a\(3\) gal/min. Dejar\(Q_1(t)\) y\(Q_2(t)\) ser el número de libras de sal en\(T_1\) y\(T_2\), respectivamente, en el momento\(t>0\). Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(Q_1\) y\(Q_2\) eso es válido hasta que un tanque esté a punto de desbordarse. Supongamos que ambas mezclas están bien agitadas.

3. Una masa\(m_1\) se suspende de un soporte rígido sobre un resorte\(S_1\) con constante de resorte\(k_1\) y constante de amortiguación\(c_1\). Una segunda masa\(m_2\) se suspende de la primera en un resorte\(S_2\) con constante de resorte\(k_2\) y constante de amortiguación\(c_2\), y una tercera masa\(m_3\) se suspende de la segunda en un resorte\(S_3\) con constante de resorte\(k_3\) y constante de amortiguación\(c_3\). Dejar\(y_1=y_1(t)\),\(y_2=y_2(t)\), y\(y_3=y_3(t)\) ser los desplazamientos de las tres masas desde sus posiciones de equilibrio en el tiempo\(t\), medidos positivos hacia arriba. Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(y_1\),\(y_2\) y\(y_3\), asumiendo que las masas de los resortes son insignificantes y que las fuerzas externas verticales\(F_1\)\(F_2\),, y\(F_3\) también actúan sobre las masas.

4. \({\bf X}=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}\)Sea el vector de posición de un objeto con masa\(m\), expresado en términos de un sistema de coordenadas rectangulares con origen en el centro de la Tierra (Figura 10.1.3). Derivar un sistema de ecuaciones diferenciales para\(x\)\(y\), y\(z\), asumiendo que el objeto se mueve bajo la fuerza gravitacional de la Tierra (dada por la ley de la gravitación de Newton, como en el Ejemplo 10.1.3) y una fuerza resistiva proporcional a la velocidad del objeto. \(\alpha\)Sea la constante de la proporcionalidad.

5. Reescribir el sistema dado como un sistema de primer orden.

1. \(\begin{array}{lcc} x''' = f(t,x,y,y')\\[4pt] y'' = g(t,y,y') \end{array}\)
2. \(\begin{array}{lcl} u' = f(t,u,v,v',w')\\[4pt] v''=g(t,u,v,v',w) \\[4pt] w''=h(t,u,v,v',w,w')\end{array}\)
3. \(y''' = f(t,y,y',y'')\)
4. \(y^{(4)} = f(t,y)\)
5. \(\begin{array}{lcc} x'' = f(t,x,y)\\[4pt] y'' = g(t,x,y) \end{array}\)

6. Reescribir el sistema Ecuación 10.1.14 de ecuaciones diferenciales derivadas en el Ejemplo 10.1.3 como un sistema de primer orden.

7. Formular una versión del método de Euler (Sección 3.1) para la solución numérica del problema del valor inicial\[\begin{array}{rcl} y_1'&=&g_1(t,y_1,y_2),\quad y_1(t_0)=y_{10},\\ y_2'&=&g_2(t,y_1,y_2),\quad y_2(t_0)=y_{20}, \end{array}\nonumber \] en un intervalo\([t_0,b]\).

8. Formular una versión del método mejorado de Euler (Sección 3.2) para la solución numérica del problema del valor inicial\[\begin{array}{rcl} y_1'&=&g_1(t,y_1,y_2),\quad y_1(t_0)=y_{10},\\ y_2'&=&g_2(t,y_1,y_2),\quad y_2(t_0)=y_{20}, \end{array}\nonumber \] en un intervalo\([t_0,b]\).