10.2: Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales

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Un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales que se pueden escribir en la forma

\[\label{eq:10.2.1} \begin{array}{ccl} y'_1&=&a_{11}(t)y_1+a_{12}(t)y_2+\cdots+a_{1n}(t)y_n+f_1(t)\\ y'_2&=&a_{21}(t)y_1+a_{22}(t)y_2+\cdots+a_{2n}(t)y_n+f_2(t)\\ &\vdots\\ y'_n& =&a_{n1}(t)y_1+a_{n2}(t)y_2+\cdots+a_{nn}(t)y_n+f_n(t)\end{array}\]

se llama sistema lineal.

La ecuación del sistema lineal\ ref {eq:10.2.1} se puede escribir en forma de matriz como

\[\col{y'}n=\matfunc ann\col yn+\colfunc fn, \nonumber\]

o más brevemente como

\[\label{eq:10.2.2} {\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t),\]

donde

\[\bf y=\col yn,\quad A(t)=\matfunc ann,\quad \text{and} \quad{\bf f}(t)=\colfunc fn. \nonumber \]

Llamamos a\(A\) la matriz de coeficientes de Ecuación\ ref {eq:10.2.2} y\({\bf f}\) la función de forzamiento. Eso lo diremos\(A\) y\({\bf f}\) son continuos si sus entradas son continuas. Si\(\bf f={\bf 0}\), entonces la Ecuación\ ref {eq:10.2.2} es homogénea; de lo contrario, la Ecuación\ ref {eq:10.2.2} no es homogénea.

Un problema de valor inicial para la ecuación\ ref {eq:10.2.2} consiste en encontrar una solución de la ecuación\ ref {eq:10.2.2} que sea igual a un vector constante dado

\[\bf k =\col kn. \nonumber\]

en algún punto inicial\(t_0\). Escribimos este problema de valor inicial como

\[\bf y'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t), \quad {\bf y}(t_0)={\bf k}.\nonumber\]

El siguiente teorema da condiciones suficientes para la existencia de soluciones de problemas de valor inicial para la Ecuación\ ref {eq:10.2.2}. Omitimos la prueba.

Teorema 10.2.1 : Existencia

Supongamos que la matriz de coeficientes\(A\) y la función de forzamiento\({\bf f}\) son continuas en\((a,b)\)\((a,b)\), let\(t_0\) be in, y let\({\bf k}\) ser un\(n\) vector constante arbitrario. Entonces el problema de valor inicial

\[\bf y'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t), \quad {\bf y}(t_0)= \bf k \nonumber\]

tiene una solución única en\((a,b)\).

Ejemplo 10.2.1

1. Escriba el sistema\[\label{eq:10.2.3} \begin{array}{rcl} y_1'&=&\phantom{2}y_1+2y_2+2e^{4t} \\[4pt] y_2'&=&2y_1+\phantom{2}y_2+\phantom{2}e^{4t} \end{array}\] en forma de matriz y concluya del Teorema 10.2.1 que cada problema de valor inicial para la Ecuación\ ref {eq:10.2.3} tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que\[\label{eq:10.2.4} {\bf y}= {1\over5}\twocol87e^{4t}+c_1\twocol11e^{3t}+c_2\twocol1{-1}e^{-t}\] sea una solución de Ecuación\ ref {eq:10.2.3} para todos los valores de las constantes\(c_1\) y\(c_2\).
3. Encuentra la solución del problema de valor inicial\[\label{eq:10.2.5} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array} \right] {\bf y}+\twocol21e^{4t},\quad {\bf y}(0)={1\over5}\twocol3{22}.\]

Solución a

La ecuación del sistema\ ref {eq:10.2.3} se puede escribir en forma de matriz como

\[{\bf y}'=\twobytwo1221{\bf y}+\twocol21e^{4t}.\nonumber\]

Un problema de valor inicial para la ecuación\ ref {eq:10.2.3} puede escribirse como

\[{\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array} \right] {\bf y}+\twocol21e^{4t}, \quad y(t_0)=\twocol{k_1}{k_2}. \nonumber\]

Dado que la matriz de coeficientes y la función de forzamiento son continuas\((-\infty,\infty)\), el teorema 10.2.1 implica que este problema tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\).

Solución b

Si\({\bf y}\) viene dada por la Ecuación\ ref {eq:10.2.4}, entonces

\[\begin{align*} A{\bf y}+{\bf f}&= {1\over5}\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array} \right]\twocol87e^{4t}+ c_1\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array} \right]\twocol11e^{3t} +c_2\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array} \right]\twocol1{-1}e^{-t} +\twocol21e^{4t}\\[4pt] &= {1\over5}\twocol{22}{23}e^{4t}+c_1\twocol33e^{3t}+c_2\twocol{-1}1e^{-t} +\twocol21e^{4t}\\[4pt] &= {1\over5}\twocol{32}{28}e^{4t}+3c_1\twocol11e^{3t}-c_2\twocol1{-1}e^{-t} \\[4pt] &={\bf y}'.\end{align*}\]

Solución c

Debemos elegir\(c_1\) y\(c_2\) en Ecuación\ ref {eq:10.2.4} para que

\[{1\over5}\twocol87+c_1\twocol11+c_2\twocol1{-1}={1\over5}\twocol3{22},\nonumber\]

que es equivalente a

\[ \left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array} \right] \twocol{c_1}{c_2}=\twocol{-1}3.\nonumber\]

Resolver este sistema rinde\(c_1=1\)\(c_2=-2\), entonces

\[{\bf y}={1\over5}\twocol87e^{4t}+\twocol11e^{3t}-2\twocol1{-1}e^{-t}\nonumber\]

es la solución de la Ecuación\ ref {eq:10.2.5}.

Nota

La teoría de los sistemas\(n \times n\) lineales de ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de la ecuación\[\label{eq:10.2.6} P_{0}(t)y^{(n)}+P_{1}(t)y^{(n-1)}+\cdots +P_{n}(t)y=F(t)\] escalar de orden n-ésimo desarrollada en las Secciones 9.1. Por ejemplo reescribiendo la Ecuación\ ref {eq:10.2.6} como un sistema lineal equivalente se puede demostrar que el Teorema 10.2.1 implica el Teorema 9.1.1 (Ejercicio 10.2.12).