10.4E: Coeficiente Constante Sistemas Homogéneos I (Ejercicios)

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Q10.4.1

En Ejercicios 10.4.1-10.4.15 encuentra la solución general.

1. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rr} 1&2\\2&1\end{array}\right]{\bf y}\)

2. \({\bf y}'= {1\over4}\left[\begin{array}{rr}-5&3 \\3&-5\end{array}\right]{\bf y}\)

3. \({\bf y}'= {1\over5}\left[\begin{array}{rr}-4&3\\ -2&-11\end{array}\right]{\bf y}\)

4. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rr}-1&-4\\-1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

5. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rr} 2&-4\\-1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

6. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rr} 4&-3\\2&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

7. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rr}-6&-3\\1&-2\end{array}\right]{\bf y}\)

8. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr} 1&-1&-2\\1&-2&-3\\-4&1&-1\end{array}\right] {\bf y}\)

9. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr} -6&-4&-8\\-4&0&-4\\-8&-4&-6\end{array}\right]{\bf y}\)

10. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr}3&5&8\\1&-1& -2\\-1&-1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

11. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr} 1&-1&2\\12&-4 & 10\\-6&1&-7 \end{array}\right]{\bf y}\)

12. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr} 4&-1&-4\\4&-3&-2\\1&-1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

13. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr}-2&2&-6\\2&6&2\\-2&-2& 2\end{array}\right]{\bf y}\)

14. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr}3&2&-2\\-2&7&-2\\ -10&10&-5\end{array}\right]{\bf y}\)

15. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{rrr}3&1&-1\\3&5&1\\-6&2&4\end{array} \right]{\bf y}\)

Q10.4.2

En Ejercicios 10.4.16-10.4.27 resolver el problema de valor inicial.

16. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{-7}&{4}\\{-6}&{7}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{2}\\{-4}\end{array} \right] \)

17. \({\bf y}'=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}{7}&{2}\\{-2}&{2}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{0}\\{-3}\end{array} \right] \)

18. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{21}&{-12}\\{24}&{-15}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{5}\\{3}\end{array} \right] \)

19. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{-7}&{4}\\{-6}&{7}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{-1}\\{7}\end{array} \right] \)

20. \({\bf y}'=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{0}\\{4}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{4}\\{7}\\{1}\end{array} \right] \)

21. \({\bf y}'=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}{2}&{-2}&{3}\\{-4}&{4}&{3}\\{2}&{1}&{0}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{5}\end{array} \right] \)

22. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{6}&{-3}&{-8}\\{2}&{1}&{-2}\\{3}&{-3}&{-5}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\\{-1}\end{array} \right] \)

23. \({\bf y}'=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}{2}&{4}&{-7}\\{1}&{5}&{-5}\\{-4}&{4}&{-1}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{4}\\{1}\\{3}\end{array} \right] \)

24. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{0}&{1}\\{11}&{-2}&{7}\\{1}&{0}&{3}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{2}\\{7}\\{6}\end{array} \right] \)

25. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-5}&{-1}\\{-4}&{-1}&{1}\\{4}&{5}&{3}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{8}\\{-10}\\{-4}\end{array} \right] \)

26. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{-1}&{0}\\{4}&{-2}&{0}\\{4}&{-4}&{2}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{7}\\{10}\\{2}\end{array} \right] \)

27. \({\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{2}&{6}\\{2}&{6}&{2}\\{-2}&{-2}&{2}\end{array} \right]{\bf y},\quad {\bf y}(0)=\left[\begin{array}{c}{6}\\{-10}\\{7}\end{array} \right] \)

Q10.4.3

28. Dejar\(A\) ser una matriz\(n\times n\) constante. Entonces el Teorema 10.2.1 implica que las soluciones de\[{\bf y}'=A{\bf y} \tag{A}\]

están todos definidos en\((-\infty,\infty)\).

1. Utilice el Teorema 10.2.1 para mostrar que la única solución de (A) que puede ser igual al vector cero es\({\bf y}\equiv{\bf0}\).
2. Supongamos que\({\bf y}_1\) es una solución de (A) y\({\bf y}_2\) se define por\({\bf y}_2(t)={\bf y}_1(t-\tau)\), donde\(\tau\) es un número real arbitrario. Demostrar que también\({\bf y}_2\) es una solución de (A).
3. Supongamos\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) son soluciones de (A) y hay números reales\(t_1\) y\(t_2\) tal que\({\bf y}_1(t_1)={\bf y}_2(t_2)\). Demuéstralo\({\bf y}_2(t)={\bf y}_1(t-\tau)\) para todos\(t\), dónde\(\tau=t_2-t_1\).

Q10.4.4

En Ejercicios 10.4.29-10.4.34 describir y graficar trayectorias del sistema dado.

29. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 1&1\\1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

30. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -4&3\\-2&-11\end{array}\right]{\bf y}\)

31. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 9&-3\\-1&11\end{array}\right]{\bf y}\)

32. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -1&-10\\-5&4\end{array}\right]{\bf y}\)

33. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 5&-4\\1&10\end{array}\right]{\bf y}\)

34. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -7&1\\3&-5\end{array}\right]{\bf y}\)

Q10.4.5

35. Supongamos que los valores propios de la\(2\times 2\) matriz\(A\) son\(\lambda=0\) y\(\mu\ne0\), con vectores propios correspondientes\({\bf x}_1\) y\({\bf x}_2\). Dejar\(L_1\) ser la línea a través del origen paralela a\({\bf x}_1\).

1. Demostrar que cada punto en\(L_1\) es la trayectoria de una solución constante de\({\bf y}'=A{\bf y}\).
2. Mostrar que las trayectorias de soluciones no constantes de\({\bf y}'=A{\bf y}\) son medias líneas paralelas a\({\bf x}_2\) y a ambos lados de\(L_1\), y que la dirección del movimiento a lo largo de estas trayectorias está lejos de\(L_1\) si\(\mu>0\), o hacia\(L_1\) si\(\mu<0\).

Q10.4.6

Las matrices de los sistemas en los Ejercicios 10.4.36-10.4.41 son singulares. Describir y graficar las trayectorias de soluciones no constantes de los sistemas dados.

36. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -1&1\\1&-1\end{array}\right]{\bf y}\)

37. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -1&-3\\2&6\end{array}\right]{\bf y}\)

38. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 1&-3\\-1&3\end{array}\right]{\bf y}\)

39. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 1&-2\\-1&2\end{array}\right]{\bf y}\)

40. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} -4&-4\\1&1\end{array}\right]{\bf y}\)

41. \({\bf y}'= \left[\begin{array}{cc} 3&-1\\-3&1\end{array}\right]{\bf y}\)

Q10.4.6

42. Dejar\(P=P(t)\) y\(Q=Q(t)\) ser las poblaciones de dos especies a la vez\(t\), y asumir que cada población crecería exponencialmente si la otra no existiera; es decir, en ausencia de competencia,

\[P'=aP \quad \text{and} \quad Q'=bQ, \tag{A}\]

donde\(a\) y\(b\) son constantes positivas. Una forma de modelar el efecto de la competencia es asumir que la tasa de crecimiento por individuo de cada población se reduce en una cantidad proporcional a la otra población, por lo que (A) se sustituye por

\[\begin{aligned} P'&=\phantom{-}aP-\alpha Q\\ Q'&=-\beta P+bQ,\end{aligned}\]

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes positivas. (Dado que la población negativa no tiene sentido, este sistema se sostiene solo mientras\(P\) y ambos\(Q\) son positivos). Ahora supongamos\(P(0)=P_0>0\) y\(Q(0)=Q_0>0\).

1. Para varias opciones de\(a\),\(b\)\(\alpha\), y\(\beta\), verificar experimentalmente (graficando trayectorias de (A) en el\(Q\) plano\(P\) -) que hay una constante\(\rho>0\) (dependiendo de\(a\),,\(b\)\(\alpha\), y\(\beta\)) con las siguientes propiedades:
   1. Si\(Q_0>\rho P_0\), entonces\(P\) disminuye monótonamente a cero en tiempo finito, durante el cual\(Q\) permanece positivo.
   2. Si\(Q_0<\rho P_0\), entonces\(Q\) disminuye monótonamente a cero en tiempo finito, durante el cual\(P\) permanece positivo.
2. Concluir de (a) que exactamente una de las especies se extingue en tiempo finito si\(Q_0\ne\rho P_0\). Determinar experimentalmente qué sucede si\(Q_0=\rho P_0\).
3. Confirme sus resultados experimentales y determine\(\gamma\) expresando los valores propios y vectores propios asociados de\[A=\left[\begin{array}{cc}{\alpha }&{-\alpha }\\{-\beta }&{b}\end{array} \right]\nonumber \] en términos de\(a\),\(b\)\(\alpha\), y\(\beta\), y aplicando los argumentos geométricos desarrollados al final de esta sección.