10.5: Coeficiente Constante Sistemas Homogéneos II
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Vimos en la Sección 10.4 que si una matriz\(n\times n\) constante\(A\) tiene valores propios\(n\) reales\(\lambda_1\)\(\lambda_2\),,...,\(\lambda_n\) (que no necesitan ser distintos) con vectores propios linealmente independientes asociados\({\bf x}_1\)\({\bf x}_2\),,...\({\bf x}_n\), entonces la solución general de\({\bf y}'=A{\bf y}\) es
\[{\bf y}=c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t} +\cdots+c_n{\bf x}_ne^{\lambda_n t}. \nonumber \]
En esta sección consideramos el caso donde\(A\) tiene valores propios\(n\) reales, pero no tiene vectores propios\(n\) linealmente independientes. Se muestra en álgebra lineal que esto ocurre si y sólo si\(A\) tiene al menos un valor propio de multiplicidad\(r>1\) tal que el espacio propio asociado tiene dimensión menor que\(r\). En este caso\(A\) se dice que es defectuoso. Dado que está más allá del alcance de este libro dar un análisis completo de sistemas con matrices de coeficientes defectuosos, limitaremos nuestra atención a algunos casos especiales que ocurren comúnmente.
Demostrar que el sistema
\[\label{eq:10.5.1} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{11}&{-25}\\{4}&{-9}\end{array} \right] {\bf y}\]
no tiene un conjunto fundamental de soluciones de la forma\(\{{\bf x}_1e^{\lambda_1t},{\bf x}_2e^{\lambda_2t}\}\), donde\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\) son valores propios de la matriz de coeficientes\(A\) de la Ecuación\ ref {eq:10.5.1} y\({\bf x}_1\), y\({\bf x}_2\) se asocian vectores propios linealmente independientes.
Solución
El polinomio característico de\(A\) es
\[\begin{align*} \twochar{11}{-25}4{-9} &=(\lambda-11)(\lambda+9)+100\\ &=\lambda^2-2\lambda+1 \\ &=(\lambda-1)^2.\end{align*}\nonumber\]
De ahí,\(\lambda=1\) es el único valor propio de\(A\). La matriz aumentada del sistema\((A-I){\bf x}={\bf 0}\) es
\[\left[\begin{array}{rrcr}10&-25&\vdots&0\\4& -10&\vdots&0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{-\frac{5}{2}}&{\vdots }&{0}\\{0}&{0}&{\vdots }&{0} \end{array} \right] \nonumber\]
De ahí,\(x_1=5x_2/2\) donde\(x_2\) es arbitrario. Por lo tanto, todos los vectores propios de\(A\) son múltiplos escalares de\(\bf {x}_1=\left[\begin{array}{c}{5}\\{2}\end{array} \right] \), por lo que\(A\) no tiene un conjunto de dos vectores propios linealmente independientes.
Del Ejemplo 10.5.1 , sabemos que todos los múltiplos escalares de\(\bf {y}_1= \twocol52 e^t\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:10.5.1}; sin embargo, para encontrar la solución general debemos encontrar una segunda solución\(\bf {y}_2\) tal que\(\{ \bf {y}_1, \bf {y}_2\}\) sea linealmente independiente. Basado en su recolección del procedimiento para resolver una ecuación escalar de coeficiente constante
\[ay''+by'+cy=0\nonumber\]
en el caso de que el polinomio característico tenga una raíz repetida, se podría esperar obtener una segunda solución de Ecuación\ ref {eq:10.5.1} multiplicando la primera solución por\(t\). Sin embargo, esto rinde\({\bf y}_2=\twocol52 te^t\), lo que no funciona, ya que
\[{\bf y}_2'=\twocol52(te^t+e^t),\quad \text{while} \quad \left[\begin{array}{cc}{11}&{-25}\\{4}&{-9} \end{array} \right] {\bf y}_2=\twocol52te^t.\nonumber\]
El siguiente teorema muestra qué hacer ante esta situación.
Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A\) tiene un valor propio\(\lambda_1\) de multiplicidad\(\ge2\) y el espacio propio asociado tiene dimensión\(1;\) que es\(,\) todos\(\lambda_1\) -vectores propios de\(A\) son múltiplos escalares de un vector propio\({\bf x}.\) Entonces hay infinitamente muchos vectores \({\bf u}\)tal que
\[\label{eq:10.5.2} (A-\lambda_1I){\bf u}={\bf x}.\]
Además,\(,\) si\({\bf u}\) es tal vector entonces
\[\label{eq:10.5.3} {\bf y}_1={\bf x}e^{\lambda_1t}\quad\mbox{and }\quad {\bf y}_2={\bf u}e^{\lambda_1t}+{\bf x}te^{\lambda_1t}\]
son soluciones linealmente independientes de\({\bf y}'=A{\bf y}.\)
Una prueba completa de este teorema está más allá del alcance de este libro. La dificultad está en demostrar que hay un vector que\({\bf u}\) satisface la Ecuación\ ref {eq:10.5.2}, ya que\(\det(A-\lambda_1I)=0\). Tomaremos esto sin pruebas y verificaremos las demás aseveraciones del teorema. Ya sabemos que\({\bf y}_1\) en Ecuación\ ref {eq:10.5.3} es una solución de\({\bf y}'=A{\bf y}\). Para ver que también\({\bf y}_2\) es una solución, calculamos
\[\begin{align*} {\bf y}_2'-A{\bf y}_2&=\lambda_1{\bf u}e^{\lambda_1t}+{\bf x} e^{\lambda_1t} +\lambda_1{\bf x} te^{\lambda_1t}-A{\bf u}e^{\lambda_1t}-A{\bf x} te^{\lambda_1t}\\ &=(\lambda_1{\bf u}+{\bf x} -A{\bf u})e^{\lambda_1t}+(\lambda_1{\bf x} -A{\bf x} )te^{\lambda_1t}.\end{align*}\nonumber\]
Ya que\(A{\bf x}=\lambda_1{\bf x}\), esto se puede escribir como
\[{\bf y}_2'-A{\bf y}_2=- \left((A-\lambda_1I){\bf u}-{\bf x}\right)e^{\lambda_1t},\nonumber\]
y ahora Ecuación\ ref {eq:10.5.2} implica eso\({\bf y}_2'=A{\bf y}_2\). Para ver eso\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) son linealmente independientes, supongamos\(c_1\) y\(c_2\) son constantes tales que
\[\label{eq:10.5.4} c_1{\bf y}_1+c_2{\bf y}_2=c_1{\bf x}e^{\lambda_1t}+c_2({\bf u}e^{\lambda_1t} +{\bf x}te^{\lambda_1t})={\bf 0}.\]
Debemos demostrarlo\(c_1=c_2=0\). Multiplicar la ecuación\ ref {eq:10.5.4} por\(e^{-\lambda_1t}\) muestra que
\[\label{eq:10.5.5} c_1{\bf x}+c_2({\bf u} +{\bf x}t)={\bf 0}.\]
Al diferenciar esto con respecto a\(t\), vemos eso\(c_2{\bf x}={\bf 0}\), lo que implica\(c_2=0\), porque\({\bf x}\ne{\bf 0}\). Sustituyendo\(c_2=0\) en Ecuación\ ref {eq:10.5.5} rendimientos\(c_1{\bf x}={\bf 0}\), lo que implica que\(c_1=0\), de nuevo porque\({\bf x}\ne{\bf 0}\)
Utilice el Teorema 10.5.1 para encontrar la solución general del sistema
\[\label{eq:10.5.6} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{11}&{-25}\\{4}&{-9}\end{array} \right]{\bf y}\]
considerado en el Ejemplo 10.5.1 .
Solución
En Ejemplo 10.5.1 vimos que\(\lambda_1=1\) es un valor propio de multiplicidad de la matriz\(2\) de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.5.6}, y que todos los vectores propios de\(A\) son múltiplos de
\[{\bf x}=\twocol52.\nonumber\]
Por lo tanto
\[{\bf y}_1=\twocol52e^t\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.6}. Del Teorema 10.5.1 , una segunda solución viene dada por\({\bf y}_2={\bf u}e^t+{\bf x}te^t\), donde\((A-I){\bf u}={\bf x}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrcr}10&-25&\vdots&5\\4&-10&\vdots&2\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrcr}1&-\frac{5}{2}&\vdots&\frac{1}{2}\\0&0&\vdots&0\end{array}\right],\nonumber\]
Por lo tanto, los componentes de\({\bf u}\) deben satisfacer
\[u_1-{5\over2}u_2={1\over2},\nonumber\]
donde\(u_2\) es arbitrario. Elegimos\(u_2=0\), para que\(u_1=1/2\) y
\[{\bf u}=\twocol{1\over2}0.\nonumber\]
Por lo tanto,
\[{\bf y}_2=\twocol10{e^t\over2}+\twocol52te^t.\nonumber\]
Dado que\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) son linealmente independientes por Teorema 10.5.1 , forman un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:10.5.6}. Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.5.6} es
\[{\bf y}=c_1\twocol52e^t+c_2\left(\twocol10{e^t\over2}+\twocol52te^t\right).\nonumber\]
Tenga en cuenta que elegir la constante arbitraria\(u_2\) para que sea distinta de cero equivale a agregar un múltiplo escalar de\({\bf y}_1\) a la segunda solución\({\bf y}_2\) (Ejercicio 10.5.33).
Encuentre la solución general de
\[\label{eq:10.5.7} {\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{4}&{-10}\\{2}&{1}&{-2}\\{2}&{2}&{-5}\end{array} \right] {\bf y}.\]
Solución
El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.5.7} es
\[\left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda & 4 & -10\\ 2 & 1-\lambda & -2\\ 2 & 2 &-5-\lambda\end{array}\right| =- (\lambda-1)(\lambda+1)^2.\nonumber\]
De ahí que los valores propios sean\(\lambda_1=1\) con multiplicidad\(1\) y\(\lambda_2=-1\) con multiplicidad\(2\). Los vectores propios asociados con\(\lambda_1=1\) deben satisfacer\((A-I){\bf x}={\bf 0}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 2 & 4 & -10 &\vdots & 0\\ 2& 0 & -2 &\vdots & 0\\ 2 & 2 & -6 & \vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 & -1 &\vdots& 0\\ 0 & 1 & -2 &\vdots& 0\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
De ahí,\(x_1 =x_3\) y\(x_2 =2 x_3\), donde\(x_3\) es arbitrario. Elegir\(x_3=1\) rinde el vector propio
\[{\bf x}_1=\threecol121.\nonumber\]
Por lo tanto
\[{\bf y}_1 =\threecol121e^t\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.7}. Autovectores asociados con\(\lambda_2 =-1\) satisfacer\((A+I){\bf x}={\bf 0}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 4 & 4 & -10 &\vdots & 0\\ 2 & 2 & -2 & \vdots & 0\\2 & 2 & -4 &\vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 1 & 0 &\vdots& 0\\ 0 & 0 & 1 &\vdots& 0 \\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
De ahí,\(x_3=0\) y\(x_1 =-x_2\), donde\(x_2\) es arbitrario. Elegir\(x_2=1\) rinde el vector propio
\[{\bf x}_2=\threecol{-1}10,\nonumber\]
por lo
\[{\bf y}_2 =\threecol{-1}10e^{-t}\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.7}. Dado que todos los vectores propios de\(A\) asociados con\(\lambda_2=-1\) son múltiplos de\({\bf x}_2\), ahora debemos usar el Teorema 10.5.1 para encontrar una tercera solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.7} en la forma
\[\label{eq:10.5.8} {\bf y}_3={\bf u}e^{-t}+\threecol{-1}10te^{-t},\]
donde\({\bf u}\) es una solución de\((A+I){\bf u=x}_2\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 4 & 4 & -10 &\vdots & -1\\ 2 & 2 & -2 & \vdots & 1\\ 2 & 2 & -4 &\vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 1 & 0 &\vdots& 1\\ 0 & 0 & 1 &\vdots& {1\over2} \\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
De ahí,\(u_3=1/2\) y\(u_1 =1-u_2\), donde\(u_2\) es arbitrario. Elegir\(u_2=0\) rendimientos
\[{\bf u} =\threecol10{1\over2},\nonumber\]
y sustituyendo esto en la Ecuación\ ref {eq:10.5.8} produce la solución
\[{\bf y}_3=\threecol201{e^{-t}\over2}+\threecol{-1}10te^{-t}\nonumber\]
de Ecuación\ ref {eq:10.5.7}. Desde el Wronskian de\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,{\bf y}_3\}\) en\(t=0\) es
\[\left|\begin{array}{rrr} 1&-1&1\\2&1&0\\1&0&1\over2\end{array}\right|={1\over2},\nonumber\]
\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,{\bf y}_3\}\)es un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:10.5.7}. Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.5.7} es
\[{\bf y}=c_1\threecol121e^t+c_2\threecol{-1}10e^{-t}+c_3\left (\threecol201{e^{-t}\over2}+\threecol{-1}10te^{-t}\right).\nonumber\]
Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A\) tiene un valor propio\(\lambda_1\) de multiplicidad\(\ge 3\) y el espacio propio asociado es uno-dimensional\(;\) que es\(,\) todos los vectores propios asociados con\(\lambda_1\) múltiplos escalares del autovector\({\bf x}.\) Entonces hay infinitamente muchos vectores\({\bf u}\) tales que
\[\label{eq:10.5.9} (A-\lambda_1I){\bf u}={\bf x},\]
y, si\({\bf u}\) hay tal vector\(,\) hay infinitamente muchos vectores\({\bf v}\) tales que
\[\label{eq:10.5.10} (A-\lambda_1I){\bf v}={\bf u}.\]
Si\({\bf u}\) satisface la Ecuación\ ref {eq:10.5.9} y\({\bf v}\) satisface la Ecuación\ ref {eq:10.5.10}, entonces
\[\begin{aligned} {\bf y}_1 &={\bf x} e^{\lambda_1t},\\ {\bf y}_2&={\bf u}e^{\lambda_1t}+{\bf x} te^{\lambda_1t},\mbox{ and }\\ {\bf y}_3&={\bf v}e^{\lambda_1t}+{\bf u}te^{\lambda_1t}+{\bf x} {t^2e^{\lambda_1t}\over2}\end{aligned}\nonumber\]
son soluciones linealmente independientes de\({\bf y}'=A{\bf y}\).
Nuevamente, está más allá del alcance de este libro demostrar que hay vectores\({\bf u}\) y\({\bf v}\) que satisfacen la Ecuación\ ref {eq:10.5.9} y la Ecuación\ ref {eq:10.5.10}. Teorema 10.5.1 implica que\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) son soluciones de\({\bf y}'=A{\bf y}\). Te dejamos el resto de la prueba a ti (Ejercicio 10.5.34).
Utilice el Teorema 10.5.2 para encontrar la solución general de
\[\label{eq:10.5.11} {\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&3&-1 \\ 0&2&2 \end{array} \right] {\bf y}.\]
Solución
El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.5.11} es
\[\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1 & \phantom{-}1\\ 1 & 3-\lambda & -1\\ 0 & 2 & 2-\lambda\end{array}\right| =-(\lambda-2)^3.\nonumber\]
De ahí\(\lambda_1=2\) que sea un valor propio de multiplicidad\(3\). Los vectores propios asociados satisfacen\((A-2I){\bf x=0}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} -1 & 1 & 1 &\vdots & 0\\ 1& 1 & -1 &\vdots & 0\\ 0 & 2 & 0 & \vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& 0\\ 0 & 1 & 0 &\vdots& 0 \\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
Por lo tanto\(x_2 = 0\),\(x_1 =x_3\) y, así los vectores propios son todos múltiplos escalares de
\[{\bf x}_1=\threecol101.\nonumber\]
Por lo tanto
\[{\bf y}_1=\threecol101e^{2t}\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11}. Ahora encontramos una segunda solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11} en la forma
\[{\bf y}_2={\bf u}e^{2t}+\threecol101te^{2t},\nonumber\]
donde\({\bf u}\) satisface\((A-2I){\bf u=x}_1\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} -1 & 1 & 1 &\vdots & 1\\ 1& 1 & -1 &\vdots & 0\\ 0 & 2 & 0 & \vdots & 1\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& -{1\over2}\\ 0 & 1 & 0 &\vdots& {1\over2}\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
Dejar\(u_3=0\) rendimientos\(u_1=-1/2\) y\(u_2=1/2\); por lo tanto,
\[{\bf u}={1\over2}\threecol{-1}10\nonumber\]
y
\[{\bf y}_2=\threecol{-1}10{e^{2t}\over2}+\threecol101te^{2t}\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11}. Ahora encontramos una tercera solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11} en la forma
\[{\bf y}_3={\bf v}e^{2t}+\threecol{-1}10{te^{2t}\over2}+\threecol101{t^2e^{2t}\over2}\nonumber\]
donde\({\bf v}\) satisface\((A-2I){\bf v}={\bf u}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} -1 & 1 & 1 &\vdots &-{1\over2}\\ 1& 1 & -1 &\vdots & {1\over2}\\ 0 & 2 & 0 & \vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& {1\over2}\\ 0 & 1 & 0 &\vdots& 0\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
Dejar\(v_3=0\) rendimientos\(v_1=1/2\) y\(v_2=0\); por lo tanto,
\[{\bf v}={1\over2}\threecol100.\nonumber\]
Por lo tanto
\[{\bf y}_3=\threecol100{e^{2t}\over2}+ \threecol{-1}10{te^{2t}\over2}+\threecol101{t^2e^{2t}\over2}\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11}. Dado que\({\bf y}_1\)\({\bf y}_2\),, y\({\bf y}_3\) son linealmente independientes por el Teorema 10.5.2 , forman un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:10.5.11}. Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.5.11} es
\[\begin{aligned} {\bf y} = c_{1}\left[\begin{array}{c}{1}\\{0}\\{1}\end{array} \right]e^{2t}+c_{2}\left(\left[ \begin{array}{c}{-1}\\{1}\\{0}\end{array} \right]\frac{e^{2t}}{2}+\left[\begin{array}{c}{1}\\{0}\\{1}\end{array} \right] te^{2t} \right) + c_{3}\left(\left[\begin{array}{c}{1}\\{0}\\{0}\end{array} \right]\frac{e^{2t}}{2}+\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\\{0}\end{array} \right]\frac{te^{2t}}{2}+\left[\begin{array}{c}{1}\\{0}\\{1}\end{array} \right]\frac{t^{2}e^{2t}}{2} \right) \end{aligned}\nonumber \]
Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A\) tiene un valor propio\(\lambda_1\) de multiplicidad\(\ge 3\) y el espacio propio asociado es bidimensional; es decir, todos los vectores propios de\(A\) asociados con\(\lambda_1\) son combinaciones lineales de dos vectores propios linealmente independientes\({\bf x}_1\) y\({\bf x}_2\) \(.\)Entonces hay constantes\(\alpha\) y\(\beta\)\((\) no ambas cero\()\) tal que si
\[\label{eq:10.5.12} {\bf x}_3=\alpha{\bf x}_1+\beta{\bf x}_2,\]
entonces hay infinitamente muchos vectores\({\bf u}\) tales que
\[\label{eq:10.5.13} (A-\lambda_1I){\bf u}={\bf x}_3.\]
Si\({\bf u}\) satisface la Ecuación\ ref {eq:10.5.13}, entonces
\[\label{eq:10.5.14}\begin{array}{ll}{y_{1}}&{=x_{1}e^{\lambda _{1}t}}\\{y_{2}}&{=x_{2}e^{\lambda _{1}t},and}\\{y_{3}}&{ue^{\lambda _{1}t}+x_{3}te^{\lambda _{1}t},} \end{array}\]
son soluciones linealmente independientes de\({\bf y}'=A{\bf y}.\)
Omitamos la prueba de este teorema.
Utilice el Teorema 10.5.3 para encontrar la solución general de
\[\label{eq:10.5.15} {\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{0}&{1}\\{-1}&{1}&{1}\\{-1}&{0}&{2}\end{array} \right]{\bf y}.\]
Solución
El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.5.15} es
\[\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 1\\ -1 & 1-\lambda & 1\\ -1 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right| =-(\lambda-1)^3.\nonumber\]
De ahí\(\lambda_1=1\) que sea un valor propio de multiplicidad\(3\). Los vectores propios asociados satisfacen\((A-I){\bf x=0}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} -1 & 0 & 1 &\vdots & 0\\ -1& 0 & 1 &\vdots & 0\\ -1 & 0 & 1 & \vdots & 0\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& 0\\ 0 & 0 & 0 &\vdots& 0 \\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]
Por lo tanto,\(x_1 =x_3\) y\(x_2\) es arbitrario, por lo que los vectores propios son de la forma
\[{\bf x}_1=\threecol{x_3}{x_2}{x_3}=x_3\threecol101+x_2\threecol010.\nonumber\]
Por lo tanto, los vectores
\[\label{eq:10.5.16} {\bf x}_1 =\threecol101\quad\mbox{and }\quad {\bf x}_2=\threecol010\]
formar una base para el espacio propio, y
\[{\bf y}_1 =\threecol101e^t \quad \text{and} \quad {\bf y}_2=\threecol010e^t\nonumber\]
son soluciones linealmente independientes de la Ecuación\ ref {eq:10.5.15}. Para encontrar una tercera solución linealmente independiente de la Ecuación\ ref {eq:10.5.15}, debemos encontrar constantes\(\alpha\) y\(\beta\) (no ambas cero) tales que el sistema
\[\label{eq:10.5.17} (A-I){\bf u}=\alpha{\bf x}_1+\beta{\bf x}_2\]
tiene una solución\({\bf u}\). La matriz aumentada de este sistema es
\[\left[\begin{array}{rrrcr} -1 & 0 & 1 &\vdots &\alpha\\ -1& 0 & 1 &\vdots &\beta\\ -1 & 0 & 1 & \vdots &\alpha\end{array}\right],\nonumber\]
que es fila equivalente a
\[\label{eq:10.5.18} \left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& -\alpha\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&\beta-\alpha\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array} \right].\]
Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:10.5.17} tiene una solución si y solo si\(\beta=\alpha\), donde\(\alpha\) es arbitraria. Si\(\alpha=\beta=1\) entonces Ecuación\ ref {eq:10.5.12} y Ecuación\ ref {eq:10.5.16} rendimiento
\[{\bf x}_3={\bf x}_1+{\bf x}_2= \threecol101+\threecol010=\threecol111,\nonumber\]
y la ecuación de matriz aumentada\ ref {eq:10.5.18} se convierte
\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1 & 0 &- 1 &\vdots& -1\\ 0 & 0 & 0 &\vdots& 0\\ 0 & 0 & 0 &\vdots&0\end{array} \right].\nonumber\]
Esto implica que\(u_1=-1+u_3\), mientras\(u_2\) y\(u_3\) son arbitrarios. Elegir\(u_2=u_3=0\) rendimientos
\[{\bf u}=\threecol{-1}00.\nonumber\]
Por lo tanto, la ecuación\ ref {eq:10.5.14} implica que
\[{\bf y}_3={\bf u}e^t+{\bf x}_3te^t=\threecol{-1}00e^t+\threecol111te^t\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.5.15}. Dado que\({\bf y}_1\)\({\bf y}_2\),, y\({\bf y}_3\) son linealmente independientes por Teorema [thmtype:10.5.3}, forman un conjunto fundamental de soluciones para la Ecuación\ ref {eq:10.5.15}. Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.5.15} es
\[{\bf y}=c_1\threecol101e^t+c_2\threecol010e^t +c_3\left(\threecol{-1}00e^t+\threecol111te^t\right).\bbox\nonumber\]
Propiedades geométricas de las soluciones cuando\(n=2\)
Ahora consideraremos las propiedades geométricas de las soluciones de un sistema de coeficientes\(2\times2\) constantes
\[\label{eq:10.5.19} \twocol{y_1'}{y_2'}=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array}\right]\twocol{y_1}{y_2}\]
bajo los supuestos de esta sección; es decir, cuando la matriz
\[A=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array}\right]\nonumber\]
tiene un valor propio repetido\(\lambda_1\) y el espacio propio asociado es unidimensional. En este caso sabemos por Teorema 10.5.1 que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.5.19} es
\[\label{eq:10.5.20} {\bf y}=c_1{\bf x}e^{\lambda_1t}+c_2({\bf u}e^{\lambda_1t}+{\bf x}te^{\lambda_1t}),\]
donde\({\bf x}\) es un vector propio de\(A\) y\({\bf u}\) es cualquiera de las infinitamente muchas soluciones de
\[\label{eq:10.5.21} (A-\lambda_1I){\bf u}={\bf x}.\]
Eso lo asumimos\(\lambda_1\ne0\).
Dejar\(L\) denotar la línea a través del origen paralelo a\({\bf x}\). Por media línea de\(L\) nos referimos a cualquiera de los rayos obtenidos al eliminar el origen de\(L\). La ecuación\ ref {eq:10.5.20} es una ecuación paramétrica de la media línea de\(L\) en la dirección de\({\bf x}\) if\(c_1>0\), o de la media línea de\(L\) en la dirección de\(-{\bf x}\) if\(c_1<0\). El origen es la trayectoria de la solución trivial\({\bf y}\equiv{\bf 0}\).
De ahora en adelante, suponemos que\(c_2\ne0\). En este caso, la trayectoria de la Ecuación\ ref {eq:10.5.20} no puede cruzarse\(L\), ya que cada punto de\(L\) está en una trayectoria obtenida por ajuste\(c_2=0\). Por lo tanto, la trayectoria de la Ecuación\ ref {eq:10.5.20} debe estar enteramente en uno de los medios planos abiertos delimitados por\(L\), pero no contiene ningún punto sobre\(L\). Dado que el punto inicial\((y_1(0),y_2(0))\) definido por\({\bf y}(0)=c_1{\bf x}_1+c_2{\bf u}\) está en la trayectoria, podemos determinar qué medio plano contiene la trayectoria a partir del signo de\(c_2\), como se muestra en la Figura. Para mayor comodidad llamaremos al medio plano donde\(c_2>0\) el medio plano positivo. De igual manera, el medio plano donde\(c_2<0\) está el medio plano negativo. Deberías convencerte (Ejercicio 10.5.35) de que aunque hay infinitamente muchos vectores\({\bf u}\) que satisfacen la Ecuación\ ref {eq:10.5.21}, todos definen los mismos semiplanos positivos y negativos. En las figuras simplemente\({\bf u}\) se considera como una flecha apuntando al semiplano positivo, ya que no se intentó dar\({\bf u}\) su longitud o dirección adecuada en comparación con\({\bf x}\). Para nuestros propósitos aquí, solo la orientación relativa de\({\bf x}\) y\({\bf u}\) es importante; es decir, si el semiplano positivo está a la derecha de un observador mirando hacia la dirección de\({\bf x}\) (como en las Figuras 10.5.2 y 10.5.5 ), o a la izquierda del observador (como en las Figuras 10.5.3 y 10.5.4 ).
Multiplicando la ecuación\ ref {eq:10.5.20} por\(e^{-\lambda_1t}\) rendimientos
\[e^{-\lambda_1t}{\bf y}(t)=c_1{\bf x}+c_2{\bf u}+c_2t {\bf x}.\nonumber\]
Dado que el último término de la derecha es dominante cuando\(|t|\) es grande, esto proporciona la siguiente información sobre la dirección de\({\bf y}(t)\):
- A lo largo de trayectorias en el semiplano positivo (\(c_2>0\)), la dirección de\({\bf y}(t)\) se aproxima a la dirección de\({\bf x}\) como\(t\to\infty\) y la dirección de\(-{\bf x}\) as\(t\to-\infty\).
- A lo largo de trayectorias en el semiplano negativo (\(c_2<0\)), la dirección de\({\bf y}(t)\) se aproxima a la dirección de\(-{\bf x}\) as\(t\to\infty\) y la dirección de\({\bf x}\) as\(t\to-\infty\).
Desde\[\lim_{t\to\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty\quad \text{and} \quad \lim_{t\to-\infty}{\bf y}(t)={\bf 0}\quad \text{if} \quad \lambda_1>0,\nonumber\]
o
\[\lim_{t-\to\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty \quad \text{and} \quad \lim_{t\to\infty}{\bf y}(t)={\bf 0} \quad \text{if} \quad \lambda_1<0,\nonumber\]hay cuatro patrones posibles para las trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:10.5.19}, dependiendo de los signos de\(c_2\) y\(\lambda_1\). Las figuras 10.5.2 - 10.5.5 ilustran estos patrones y revelan el siguiente principio:
Si\(\lambda_1\) y\(c_2\) tienen el mismo signo entonces la dirección del traectorio se acerca a la dirección de\(-{\bf x}\) como\(\|{\bf y} \|\to0\) y la dirección de\({\bf x}\) as\(\|{\bf y}\|\to\infty\). Si\(\lambda_1\) y\(c_2\) tienen signos opuestos entonces la dirección de la trayectoria se acerca a la dirección de\({\bf x}\) como\(\|{\bf y} \|\to0\) y la dirección de\(-{\bf x}\) as\(\|{\bf y}\|\to\infty\).
