10.7: Variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos
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Consideramos ahora el sistema lineal no homogéneo
\[{\bf y}'= A(t){\bf y}+{\bf f}(t),\nonumber \]
donde\(A\) es una función de\(n\times n\) matriz y\({\bf f}\) es una función de forzamiento\(n\) -vector. Asociado a este sistema está el sistema complementario\({\bf y}'=A(t){\bf y}\).
El siguiente teorema es análogo a los teoremas 5.3.2 y 9.1.5. Muestra cómo encontrar la solución general de\({\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\) si conocemos una solución particular\({\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\) y un conjunto fundamental de soluciones del sistema complementario. Dejamos la prueba como ejercicio (Ejercicio 10.7.21).
Supongamos que la función de\(n\times n\) matriz\(A\) y la función\(n\) -vector\({\bf f}\) son continuas en\((a,b).\) Let\({\bf y}_p\) be a particular solution of\({\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\) on\((a,b)\), y dejar\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,\dots,{\bf y}_n\}\) ser un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) on\((a,b)\) . Entonces\({\bf y}\) es una solución de\({\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\) on\((a,b)\) si y solo si
\[{\bf y}={\bf y}_p+c_1{\bf y}_1+c_2{\bf y}_2+\cdots+c_n{\bf y}_n,\nonumber \]
donde\(c_1,\)\(c_2,\)...,\(c_n\) son constantes.
Encontrar una solución particular de un sistema no homogéneo
Ahora discutimos una extensión del método de variación de parámetros a sistemas lineales no homogéneos. Este método producirá una solución particular de un sistema no homogéneo\({\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\) siempre que se conozca una matriz fundamental para el sistema complementario. Para derivar el método, supongamos que\(Y\) es una matriz fundamental para el sistema complementario; es decir,
\[Y=\left[\begin{array}{cccc} y_{11}&y_{12}&\cdots&y_{1n} \\ y_{21}&y_{22}&\cdots&y_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ y_{n1}&y_{n2}&\cdots&y_{nn} \\ \end{array} \right],\nonumber \]
donde
\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{c}y_{11}\\y_{21}\\ \vdots\\ y_{n1}\end{array}\right],\quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c}y_{12}\\y_{22}\\ \vdots\\ y_{n2}\end{array}\right],\quad \cdots,\quad {\bf y}_n=\left[\begin{array}{c}y_{1n}\\y_{2n}\\ \vdots\\ y_{nn}\end{array}\right]\nonumber \]
es un conjunto fundamental de soluciones del sistema complementario. En la Sección 10.3 lo vimos\(Y'=A(t)Y\). Buscamos una solución particular de
\[\label{eq:10.7.1} {\bf y}'=A(t){\bf y}+{\bf f}(t)\]
de la forma
\[\label{eq:10.7.2} {\bf y}_p=Y{\bf u},\]
donde\({\bf u}\) se va a determinar. Ecuación diferenciadora\ ref {eq:10.7.2} rendimientos
\[\begin{aligned} {\bf y}_p'&=Y' {\bf u}+Y {\bf u}' \\&=A Y {\bf u}+Y {\bf u}'\mbox{ (since $Y'=AY$)}\\&= A{\bf y}_p+Y {\bf u}'\mbox{ (since $Y{\bf u}={\bf y}_p$)}.\end{aligned}\nonumber \]
Comparando esto con la Ecuación\ ref {eq:10.7.1} muestra que\({\bf y}_p=Y{\bf u}\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.7.1} si y solo si
\[Y{\bf u}'={\bf f}.\nonumber \]
Así, podemos encontrar una solución\({\bf y}_p\) particular resolviendo esta ecuación para\({\bf u}'\), integrando para obtener\({\bf u}\) y computando\(Y{\bf u}\). Podemos tomar todas las constantes de integración a cero, ya que cualquier solución en particular bastará.
El ejercicio 10.7.22 esboza una prueba de que este método es análogo al método de variación de parámetros discutidos en las Secciones 5.7 y 9.4 para las ecuaciones lineales escalares.
- Encuentre una solución particular del sistema\[\label{eq:10.7.3} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}\right]{\bf y}+\left[\begin{array}{c}2e^{4t}\\e^{4t} \end{array}\right],\] que consideramos en el Ejemplo 10.2.1.
- Encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.7.3}.
Solución a
El sistema complementario es
\[\label{eq:10.7.4} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}\right]{\bf y}.\]
El polinomio característico de la matriz de coeficientes es
\[\left|\begin{array}{cc}1-\lambda&2\\2&1-\lambda\end{array}\right|= (\lambda+1)(\lambda-3).\nonumber \]
Utilizando el método de la Sección 10.4, encontramos que
\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{r}e^{3t}\\e^{3t}\end{array}\right] \quad \text{and} \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{r}e^{-t}\\-e^{-t}\end{array}\right]\nonumber \]
son soluciones linealmente independientes de la Ecuación\ ref {eq:10.7.4}. Por lo tanto
\[Y=\left[\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}\right]\nonumber \]
es una matriz fundamental para la Ecuación\ ref {eq:10.7.4}. Buscamos una solución particular\({\bf y}_p=Y{\bf u}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.7.3}, donde\(Y{\bf u}'={\bf f}\); es decir,
\[\left[\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}\right] \twocol{u_1'}{u_2'} =\left[\begin{array}{c}2e^{4t}\\e^{4t}\end{array}\right].\nonumber \]
El determinante de\(Y\) es el Wronskian
\[\left|\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}\right| =-2e^{2t}.\nonumber \]
Por regla de Cramer,
\[\begin{array}{cccccccc}{u_{1}'}&{=}&{-\frac{1}{2e^{2t}}}&{ \left|\begin{array}{cc}{2e^{4}}&{e^{-t}}\\{e^{4t}}&{-e^{-t}}\end{array} \right| }&{=}&{\frac{3e^{3t}}{2e^{2t}}}&{=}&{\frac{3}{2}e^{t},}\\{u_{2}'}&{=}&{-\frac{1}{2e^{2t}}}&{\left|\begin{array}{cc}{e^{3t}}&{2e^{4t}}\\{e^{3t}}&{e^{4t}}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{7t}}{2e^{2t}}}&{=}&{\frac{1}{2}e^{5t}.}\end{array}\nonumber \]
Por lo tanto
\[{\bf u}'={1\over2}\left[\begin{array}{c}3e^t\\e^{5t}\end{array}\right].\nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[{\bf u}={1\over10}\left[\begin{array}{c}15e^t\\e^{5t}\end{array}\right],\nonumber \]
por lo
\[{\bf y}_{p}=Y{\bf u}=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{cc}{e^{3t}}&{e^{-t}}\\{e^{3t}}&{-e^{-t}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{15e^{t}}\\{e^{5t}}\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}{8e^{4t}}\\{7e^{4t}}\end{array}\right]\nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.3}.
Solución b
Del Teorema 10.7.1 , la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.7.3} es
\[\label{eq:10.7.5} {\bf y}={\bf y}_p+c_1{\bf y}_1+c_2{\bf y}_2= {1\over5}\left[\begin{array}{c}8e^{4t}\\7e^{4t}\end{array}\right] +c_1\left[\begin{array}{r}e^{3t}\\e^{3t}\end{array}\right] +c_2\left[\begin{array}{r}e^{-t}\\-e^{-t}\end{array}\right],\]
que también se puede escribir como
\[{\bf y}= {1\over5}\left[\begin{array}{c}8e^{4t}\\7e^{4t}\end{array}\right] +\left[\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}\right] {\bf c},\nonumber \]
donde\({\bf c}\) es un vector constante arbitrario.
Escribir la ecuación\ ref {eq:10.7.5} en términos de rendimientos de coordenadas
\[\begin{aligned} y_1&={8\over5}e^{4t}+c_1e^{3t}+c_2e^{-t}\\ y_2&={7\over5}e^{4t}+c_1e^{3t}-c_2e^{-t},\end{aligned}\nonumber \]
por lo que nuestro resultado es consistente con el Ejemplo 10.2.1.
Si\(A\) no es una matriz constante, suele ser difícil encontrar un conjunto fundamental de soluciones para el sistema\({\bf y}'=A(t){\bf y}\). Está más allá del alcance de este texto discutir los métodos para hacer esto. Por lo tanto, en los siguientes ejemplos y en los ejercicios que involucran sistemas con matrices de coeficientes variables proporcionaremos matrices fundamentales para los sistemas complementarios sin explicar cómo se obtuvieron.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:10.7.6} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}2&2e^{-2t}\\2e^{2t}&4\end{array}\right]{\bf y}+\twocol11,\]
dado que
\[Y=\left[\begin{array}{cc} e^{4t}&-1\\e^{6t}&e^{2t}\end{array}\right]\nonumber \]
es una matriz fundamental para el sistema complementario.
Solución
Buscamos una solución particular\({\bf y}_p=Y{\bf u}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.7.6} donde\(Y{\bf u}'={\bf f}\); es decir,
\[\left[\begin{array}{cc} e^{4t}&-1\\e^{6t}&e^{2t}\end{array}\right] \twocol{u_1'}{u_2'}=\twocol11.\nonumber \]
El determinante de\(Y\) es el Wronskian
\[\left|\begin{array}{cc} e^{4t}&-1\\e^{6t}&e^{2t}\end{array}\right|=2e^{6t}.\nonumber \]
Por regla de Cramer,
\[\begin{array}{cccccccc}{u_{1}'}&{=}&{\frac{1}{2e^{6t}}}&{\left|\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{1}&{e^{2t}}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{2t}+1}{2e^{6t}}}&{=}&{\frac{e^{-4t}+e^{-6t}}{2}}\\{u_{2}'}&{=}&{\frac{1}{2e^{6t}}}&{\left|\begin{array}{cc}{e^{4t}}&{1}\\{e^{6t}}&{1}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{4t}-e^{6t}}{2e^{6t}}}&{=}&{\frac{e^{-2t}-1}{2}}\end{array}\nonumber\]
Por lo tanto
\[{\bf u}'={1\over2}\left[\begin{array}{c}e^{-4t}+e^{-6t}\\e^{-2t}-1\end{array}\right].\nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[{\bf u}=-{1\over24}\left[\begin{array}{c}3e^{-4t}+2e^{-6t}\\6e^{-2t}+12t \end{array}\right],\nonumber \]
por lo
\[{\bf y}_p=Y{\bf u}= -\displaystyle{1\over24}\left[\begin{array}{cc}e^{4t}&-1\\e^{6t}&e^{2t}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}3e^{-4t}+2e^{-6t}\\6e^{-2t}+12t\end{array}\right] =\displaystyle{1\over24}\left[\begin{array}{c}4e^{-2t}+12t-3\\-3e^{2t}(4t+1)-8\end{array}\right]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.6}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:10.7.7} {\bf y}'=-{2\over t^2 }\left[\begin{array}{cc}t&-3t^2\\1&-2t\end{array}\right]{\bf y} +t^2\twocol11,\]
dado que
\[Y=\left[\begin{array}{cc}2t&3t^2\\1&2t\end{array}\right]\nonumber \]
es una matriz fundamental para el sistema complementario sobre\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
Solución
Buscamos una solución particular\({\bf y}_p=Y{\bf u}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.7.7} donde\(Y{\bf u}'={\bf f}\); es decir,
\[\left[\begin{array}{cc}2t&3t^2\\1&2t\end{array}\right]\twocol{u_1'}{u_2'} =\twocol{t^2}{t^2}.\nonumber \]
El determinante de\(Y\) es el Wronskian
\[\left|\begin{array}{cc}2t&3t^2\\1&2t\end{array}\right|=t^2.\nonumber \]
Por regla de Cramer,
\[\begin{array}{cccccccc}{u_{1}'}&{=}&{\frac{1}{t^{2}}}&{\left|\begin{array}{cc}{t^{2}}&{3t^{2}}\\{t^{2}}&{2t}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{2t^{3}-3t^{4}}{t^{2}}}&{=}&{2t-3t^{2},}\\{u_{2}'}&{=}&{\frac{1}{t^{2}}}&{\left|\begin{array}{cc}{2t}&{t^{2}}\\{1}&{t^{2}}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{2t^{3}-t^{2}}{t^{2}}}&{=}&{2t-1.}\end{array}\nonumber \]
Por lo tanto
\[{\bf u}'=\left[\begin{array}{c}2t-3t^2\\2t-1\end{array}\right].\nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[{\bf u}=\left[\begin{array}{c}t^2-t^3\\t^2-t \end{array}\right],\nonumber \]
por lo
\[{\bf y}_p=Y{\bf u}= \left[\begin{array}{cc}2t&3t^2\\1&2t\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}t^2-t^3\\t^2-t\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}t^3(t-1)\\t^2(t-1)\end{array}\right]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.7}.
- Encuentre una solución particular de\[\label{eq:10.7.8} {\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{-1}&{-1}\\{1}&{0}&{-1}\\{1}&{-1}&{0}\end{array} \right]{\bf y}+\left[\begin{array}{c}e^{t}\\0\\e^{-t} \end{array}\right].\]
- Encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.7.8}.
Solución a
El sistema complementario para la Ecuación\ ref {eq:10.7.8} es
\[\label{eq:10.7.9} {\bf y}'=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{-1}&{-1}\\{1}&{0}&{-1}\\{1}&{-1}&{0}\end{array} \right]{\bf y}.\]
El polinomio característico de la matriz de coeficientes es
\[\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&-1&-1\\1&-\lambda&-1\\1&-1&-\lambda \end{array}\right|= -\lambda(\lambda-1)^2.\nonumber \]
Utilizando el método de la Sección 10.4, encontramos que
\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c}e^t\\e^t\\0\end{array}\right], \quad \text{and} \quad {\bf y}_3=\left[\begin{array}{c}e^t\\0\\e^t\end{array}\right]\nonumber \]
son soluciones linealmente independientes de la Ecuación\ ref {eq:10.7.9}. Por lo tanto
\[Y=\left[\begin{array}{ccc}1&e^t&e^t\\1&e^t&0\\1&0&e^t\end{array}\right]\nonumber \]
es una matriz fundamental para la Ecuación\ ref {eq:10.7.9}. Buscamos una solución particular\({\bf y}_p=Y{\bf u}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.7.8}, donde\(Y{\bf u}'={\bf f}\); es decir,
\[\left[\begin{array}{ccc}1&e^t&e^t\\1&e^t&0\\1&0&e^t\end{array}\right] \threecol{u_1'}{u_2'}{u_3'}= \left[\begin{array}{c}e^t\\0\\e^{-t}\end{array}\right].\nonumber \]
El determinante de\(Y\) es el Wronskian
\[\left|\begin{array}{ccc}1&e^t&e^t\\1&e^t&0\\1&0&e^t\end{array}\right| =-e^{2t}.\nonumber \]
Así, por regla de Cramer,
\[\begin{array}{cccccccc}{u_{1}'}&{=}&{-\frac{1}{e^{2t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{e^{t}}&{e^{t}}&{e^{t}}\\{0}&{e^{t}}&{0}\\{e^{-t}}&{0}&{e^{t}}\end{array} \right|}&{=}&{-\frac{e^{3t}-e^{t}}{e^{2t}}}&{=}&{e^{-t}-e^{t}}\\{u_{2}'}&{=}&{-\frac{1}{e^{2t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{1}&{e^{t}}&{e^{t}}\\{1}&{0}&{0}\\{1}&{e^{-t}}&{e^{t}}\end{array} \right|}&{=}&{-\frac{1-e^{2t}}{e^{2t}}}&{=}&{1-e^{-2t}}\\{u_{3}'}&{=}&{-\frac{1}{e^{2t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{1}&{e^{t}}&{e^{t}}\\{1}&{e^{t}}&{0}\\{1}&{0}&{e^{-t}}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{2t}}{e^{2t}}}&{=}&{1}\end{array}\nonumber \]
Por lo tanto
\[{\bf u}'=\left[\begin{array}{c}e^{-t}-e^t\\1-e^{-2t}\\1\end{array}\right].\nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[{\bf u}=\left[\begin{array}{c}{-e^{t}-e^{-t}}\\{\frac{e^{-2t}}{2}+t}\\{t}\end{array} \right]\nonumber\]
por lo
\[{\bf y}_{p}=Y{\bf u} = \left[\begin{array}{ccc}{1}&{e^{t}}&{e^{t}}\\{1}&{e^{t}}&{0}\\{1}&{0}&{e^{t}}\end{array} \right]\: \left[\begin{array}{c}{-e^{t}-e^{-t}}\\{\frac{e^{-2t}}{2}+t}\\{t}\end{array} \right]=\left[\begin{array}{c}{e^{t}(2t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-e^{-t}}\end{array} \right]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.8}.
Solución b
Del Teorema 10.7.1 la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.7.8} es
\[{\bf y}={\bf y}_{p}+c_{1}{\bf y}_{1}+c_{2}{\bf y}_{2}+c_{3}{\bf y}_{3}= \left[\begin{array}{c}{e^{t}(2t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-e^{-t}}\end{array} \right]+c_{1}\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{1}\end{array} \right]+c_{2}\left[\begin{array}{c}{e^{t}}\\{e^{t}}\\{0}\end{array} \right]+c_{3}\left[\begin{array}{c}{e^{t}}\\{0}\\{e^{t}}\end{array} \right]\nonumber\]
que se puede escribir como
\[{\bf y}={\bf y}_{p}+Y{\bf c}=\left[\begin{array}{c}{e^{t}(2t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-\frac{e^{-t}}{2}}\\{e^{t}(t-1)-e^{-t}}\end{array} \right]+\left[\begin{array}{ccc}{1}&{e^{t}}&{e^{t}}\\{1}&{e^{t}}&{0}\\{1}&{0}&{e^{t}}\end{array} \right]{\bf y}\nonumber \]
donde\({\bf c}\) es un vector constante arbitrario.
Encuentre una solución particular de\[\label{eq:10.7.10} {\bf y}'={1\over2} \left[\begin{array}{ccc}3&e^{-t}&-e^{2t}\\0&6&0\\-e^{-2t}&e^{-3t}&-1\end{array}\right] {\bf y}+\left[\begin{array}{c}1\\e^t\\e^{-t}\end{array}\right],\]
dado que
\[Y=\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&e^{2t}\\0&e^{3t}&e^{3t}\\e^{-t}&1&0 \end{array}\right]\nonumber \]
es una matriz fundamental para el sistema complementario.
Buscamos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.10} en la forma\({\bf y}_p=Y{\bf u}\), donde\(Y{\bf u}'={\bf f}\); es decir,
\[\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&e^{2t}\\0&e^{3t}&e^{3t}\\e^{-t}&1&0 \end{array}\right]\threecol{u_1'}{u_2'}{u_3'}= \left[\begin{array}{c}1\\e^t\\e^{-t}\end{array}\right].\nonumber \]
El determinante de\(Y\) es el Wronskian
\[\left|\begin{array}{ccc}e^t&0&e^{2t}\\0&e^{3t}&e^{3t}\\e^{-t}&1&0 \end{array}\right|=-2e^{4t}.\nonumber \]
Por regla de Cramer,
\[\begin{array}{cccccccc}{u_{1}'}&{=}&{-\frac{1}{2e^{4t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{e^{2t}}\\{e^{t}}&{e^{3t}}&{e^{3t}}\\{e^{-t}}&{1}&{0}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{4t}}{2e^{4t}}}&{=}&{\frac{1}{2}}\\{u_{2}'}&{=}&{-\frac{1}{2e^{4t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{e^{t}}&{1}&{e^{2t}}\\{0}&{e^{t}}&{e^{3t}}\\{e^{-t}}&{e^{-t}}&{0}\end{array} \right|}&{=}&{\frac{e^{3t}}{2e^{4t}}}&{=}&{\frac{1}{2}e^{-t}}\\{u_{3}'}&{=}&{-\frac{1}{2e^{4t}}}&{\left|\begin{array}{ccc}{e^{t}}&{0}&{1}\\{0}&{e^{3t}}&{e^{t}}\\{e^{-t}}&{1}&{e^{-t}}\end{array} \right|}&{=}&{-\frac{e^{3t}-2e^{2t}}{2e^{4t}}}&{=}&{\frac{2e^{-2t}-e^{-t}}{2}}\end{array}\nonumber \]
Por lo tanto
\[{\bf u}'={1\over2}\left[\begin{array}{c}1\\e^{-t}\\2e^{-2t}-e^{-t}\end{array}\right].\nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[{\bf u}={1\over2}\left[\begin{array}{c}t\\-e^{-t}\\e^{-t}-e^{-2t} \end{array}\right],\nonumber \]
por lo
\[{\bf y}_{p}=Y{\bf u}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}{e^{t}}&{0}&{e^{2t}}\\{0}&{e^{3t}}&{e^{3t}}\\{e^{-t}}&{1}&{0}\end{array} \right] \left[\begin{array}{c}{t}\\{-e^{-t}}\\{e^{-t}-e^{-2t}}\end{array} \right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{e^{t}(t+1)-1}\\{-e^{t}}\\{e^{-t}(t-1)}\end{array} \right]\nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:10.7.10}.