12.1E: La Ecuación del Calor (Ejercicios)

En algunos de los ejercicios decimos “realizar experimentos numéricos”. Esto significa que se deben realizar los cómputos que se acaban de describir con la solución formal obtenida en el ejercicio.

Q12.1.1

1. Explicar Definición 12.1.3.

2. Explicar Definición 12.1.4.

3. Explicar Definición 12.1.5.

4. Realizar experimentos numéricos con la solución formal obtenida en el Ejemplo 12.1.1.

5. Realizar experimentos numéricos con la solución formal obtenida en el Ejemplo 12.1.2.

6. Realizar experimentos numéricos con la solución formal obtenida en el Ejemplo 12.1.3.

7. Realizar experimentos numéricos con la solución formal obtenida en el Ejemplo 12.1.4.

Q12.1.2

En Ejercicios 12.1.8-12.1.42 resolver el problema del valor inicial-límite. Realizar experimentos numéricos para los Ejercicios 12.1.11, 12.1.17, 12.1.19, 12.1.22, 12.1.26, 12.1.30, 12.1.36 y 12.1.41. Para simplificar el cálculo de coeficientes en algunos de estos problemas, verifique primero para ver si u (x, 0) es un polinomio que satisface las condiciones de contorno. Si lo hace, aplicar el Teorema 11.3.5; también, ver Ejercicios 11.3.35b, 11.3.42b, y 11.3.50b.

8. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(1-x),\quad 0\le x\le 1\)

9. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0.\)
\(u(0,t)=0,\quad u(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1,\quad 0\le x\le 4\)

10. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi , \quad t>0.\)
\(u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x\sin x,\quad 0\le x\le \pi\)

11. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(2-x),\quad 0\le x\le 2\)

12. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<3,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(3,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(9-x^2),\quad 0\le x\le 3\)

13. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le1,\\2-x,&1\le x\le 2. \end{array}\right.\)

14. \(u_{t}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(3x^4-10x^2+7),\quad 0\le x\le 1\)

15. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^3-2x^2+1),\quad 0\le x\le 1\)

16. \(u_{t}=2u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(3x^4-5x^3+2),\quad 0\le x\le 1\)

17. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2,\quad 0\le x\le 4\)

18. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x-4),\quad 0\le x\le 2\)

19. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(1-x),\quad 0\le x\le 1\)

20. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2(3-x),\quad 0\le x\le 2\)

21. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<\sqrt{2},\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\sqrt2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=3x^2(x^2-4),\quad 0\le x\le \sqrt2\)

22. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3(3x-4),\quad 0\le x\le 1\)

23. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(3x^2-8x+6),\quad 0\le x\le 1\)

24. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(x-\pi)^2,\quad 0\le x\le \pi\)

25. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=\sin\pi x,\quad 0\le x\le 1\)

26. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(\pi-x),\quad 0\le x\le \pi\)

27. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(4-x),\quad 0\le x\le 2\)

28. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(3-2x),\quad 0\le x\le 1\)

29. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=(x-1)^3+1,\quad 0\le x\le 1\)

30. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^2-3),\quad 0\le x\le 1\)

31. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3(3x-4),\quad 0\le x\le 1\)

32. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^3-2x^2+2),\quad 0\le x\le 1\)

33. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(\pi-x),\quad 0\le x\le \pi\)

34. \(u_{t}=16u_{xx},\quad 0<x<2\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(2\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=4,\quad 0\le x\le 2\pi\)

35. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2,\quad 0\le x\le 4\)

36. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1-x,\quad 0\le x\le 1\)

37. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1-x^3,\quad 0\le x\le 1\)

38. \(u_{t}=7u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=\pi^2-x^2,\quad 0\le x\le \pi\)

39. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=4x^3+3x^2-7,\quad 0\le x\le 1\)

40. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^3+3x^2-5,\quad 0\le x\le 1\)

41. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^4-4x^3+6x^2-3,\quad 0\le x\le 1\)

42. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^4-2x^3+1,\quad 0\le x\le 1\)

Q12.1.3

Ejercicios 12.1.43-12.1.46 resuelven el problema del valor inicial-límite. Realizar experimentos numéricos para valores específicos de\(L\) y\(a\). Realizar experimentos numéricos para Ejercicios 12.1.43-12.1.46.

43. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

44. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

45. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u_{x}(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

46. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_{x}(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

Q12.1.4

47. Dejar\(h\) ser continuo\([0,L]\) y dejar\(u_0\),\(u_L\), y\(a\) ser constantes, con\(a>0\). Demostrar que siempre es posible encontrar una función\(q\) que satisfaga (a), (b), o (c), pero que esto no es así para (d).

1. \(a^2q''+h=0,\quad q(0)=u_0,\quad q(L)=u_L\)
2. \(a^2q''+h=0,\quad q'(0)=u_0,\quad q(L)=u_L\)
3. \(a^2q''+h=0,\quad q(0)=u_0,\quad q'(L)=u_L\)
4. \(a^2q''+h=0,\quad q'(0)=u_0,\quad q'(L)=u_L\)

Q12.1.5

En Ejercicios 12.1.48-12.1.53 resolver el problema del valor inicial-límite no homogéneo

48. \(u_{t}=9u_{xx}-54x,\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=1,\quad u(4,t)=61,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2-x+x^3,\quad 0\le x\le 4\)

49. \(u_{t}=u_{xx}-2,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=1,\quad u(1,t)=3,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2+1,\quad 0\le x\le 1\)

50. \(u_{t}=3u_{xx}-18x,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=-1,\quad u(1,t)=-1,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3-2x,\quad 0\le x\le 1\)

51. \(u_{t}=9u_{xx}-18,\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=-1,\quad u(4,t)=10,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2-x-2,\quad 0\le x\le 4\)

52. \(u_{t}=u_{xx}+\pi ^{2}\sin\pi x,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=-\pi,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2\sin\pi x,\quad 0\le x\le 1\)

53. \(u_{t}=u_{xx}-6x,\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=3,\quad u_x(1,t)=2,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3-x^2+x+3,\quad 0\le x\le 1\)

Q12.1.6

54. En este ejercicio tomarlo como dado que la serie infinita\(\sum_{n=1}^\infty n^pe^{-qn^2}\) converge para todos\(p\) si\(q>0\), y, en su caso, utilizar la prueba de comparación para la convergencia absoluta de una serie infinita.

Let

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n e^{-n^2\pi^2 a^2t/L^2}\sin{n\pi x\over L}\nonumber \]

donde

\[\alpha_n={2\over L}\int_0^L f(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx\nonumber\]

y\(f\) es suave por piezas\([0,L]\).

1. Demostrar que\(u\) se define para\((x,t)\) tal que\(t>0\).
2. Para fijo\(t>0\), use el Teorema 12.1.2 con\(z=x\) para mostrar que\[u_{x}(x,t)=\frac{\pi }{L}\sum_{n=1}^{\infty}n\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}t/L^{2}}\cos\frac{n\pi x}{L},\quad -\infty <x<\infty .\nonumber \]
3. Partiendo del resultado de (a), utilice el Teorema 12.1.2 con\(z=x\) para demostrar que, para un fijo\(t>0\),\[u_{xx}(x,t)=-\frac{\pi ^{2}}{L^{2}}\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}t/L^{2}}\sin\frac{n\pi x}{L},\quad -\infty <x<\infty .\nonumber\]
4. Para fijo pero arbitrario\(x\), use el Teorema 12.1.2 con\(z=t\) para mostrar que\[u_{t}(x,t)=-\frac{\pi ^{2}a^{2}}{L^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}/L^{2}}\sin\frac{n\pi x}{L},\nonumber\] si\(t>t_0>0\), donde\(t_0\) es un número positivo arbitrario. Entonces argumentan que dado que\(t_0\) es arbitrario, la conclusión es para todos\(t>0\).
5. Concluir de los incisos c) y d) que\[u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad -\infty <x<\infty ,\quad t>0.\nonumber \]

Al aplicar repetidamente los argumentos en (a) y (c), se puede demostrar que\(u\) puede diferenciarse término por término cualquier número de veces con respecto a\(x\) y/o\(t\) si\(t>0\).