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12.2E: La Ecuación de Onda (Ejercicios)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxTrench

    Te sugerimos que realices experimentos de este tipo en los Ejercicios 12.2.4, 12.2.8, 12.2.12, 12.2.15, 12.2.22, 12.2.25, 12.2.29, 12.2.38, 12.2.44, 12.2.46, 12.2.54, 12.2.57 y 12.2.59, sin otras instrucciones específicas. (Estos ejercicios fueron elegidos arbitrariamente; el experimento vale la pena en todos los ejercicios que tratan de problemas específicos de valor inicial-límite). En algunos de los ejercicios las soluciones formales tienen otras formas, definidas en los Ejercicios 12.2.17, 12.2.34 y 12.2.49; sin embargo, la idea del experimento es la misma.

    Q12.2.1

    En Ejercicios 12.2.1-12.2.15 resolver el problema del valor inicial-límite. En algunos de estos ejercicios, el Teorema 11.3.5b o el Ejercicio 11.3.35 simplificarán el cálculo de los coeficientes en la serie sinusoidal de Fourier.

    1. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le{1\over2},\\1-x,&{1\over2}\le x\le1 \end{array}\right.,\quad0\le x\le1\)

    2. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(1-x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    3. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^2(1-x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    4. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(1-x),\quad0\le x\le 1\)

    5. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0\quad u_t(x,0)=x^2(1-x),\quad0\le x\le1\)

    6. \(u_{tt}=64u_{xx},\quad 0<x<3,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(3,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(x^2-9),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 3\)

    7. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(x^3-2x^2+1),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    8. \(u_{tt}=64u_{xx},\quad 0<x<3,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(3,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(x^2-9),\quad0\le x\le 3\)

    9. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(x^3-2x^2+1),\quad0\le x\le1\)

    10. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x\sin x,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le \pi\)

    11. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(3x^4-5x^3+2),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    12. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x\sin x,\quad0\le x\le \pi\)

    13. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(3x^4-5x^3+2),\quad0\le x\le1\)

    14. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(3x^4-10x^2+7),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    15. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0\quad u_t(x,0)=x(3x^4-10x^2+7),\quad0\le x\le1\)

    Q12.2.2

    16. Vimos que el desplazamiento de la cuerda desplumada es, por un lado,

    \[u(x,t)=\frac{4L}{\pi ^{2}}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^{2}}\cos \frac{(2n-1)\pi at}{L}\sin\frac{(2n-1)\pi x}{L},\: 0\leq x\leq L,\:t\geq 0,\tag{A}\]

    y, por otra parte,

    \[u(x,\tau)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le{L\over2}-a\tau,\\[5pt] {L\over2}-a\tau,&{L\over2}-a\tau\le x\le{L\over2}+a\tau,\\[5pt] L-x,&{L\over2}-a\tau\le x\le L. \end{array}\right. \tag{B}\]

    si\(0\le \tau\le L/2a\). El primer objetivo de este ejercicio es mostrar que (B) se puede utilizar para calcular\(u(x,t)\) para\(0\le x\le L\) y para todos\(t>0\).

    1. Mostrar que si\(t>0\), hay un entero no negativo\(m\) tal que o\[{\bf(i)}\quad t={mL\over a}+\tau\quad \text{or} \quad {\bf(ii)}\quad t={(m+1)L\over a}-\tau,\nonumber \] donde\(0\le \tau\le L/2a\).
    2. Use (A) para mostrar que\(u(x,t)=(-1)^mu(x,\tau)\) si (i) se mantiene, mientras que\(u(x,t)=(-1)^{m+1}u(x,\tau)\) si (ii) se mantiene.
    3. Realizar el siguiente experimento para valores específicos de\(L\) y\(a\) y diversos valores de\(m\) y\(k\): Dejar\[t_j={Lj\over 2ka},\quad j=0,1,\dots k;\nonumber \] así,,\(t_0\)\(t_1\),...,\(t_k\) son puntos igualmente espaciados en\([0,L/2a]\). Para cada uno\(j=0\),\(1\),\(2\),...\(k\), graficar la\(m\) ésima suma parcial de (A) y\(u(x,t_j)\) computada a partir de (B) en el mismo eje. Crear una animación, como se describe en los comentarios sobre el uso de la tecnología al final de la sección.

    17. Si una cuerda vibra con el extremo\(x=0\) libre para moverse en una pista vertical sin fricción y el extremo\(x=L\) fijo, entonces el problema del valor de límite inicial para su desplazamiento toma la forma

    \[\begin{array}{c} u_{tt}=a^2u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\\ u_x(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0,\\ u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\le x\le L. \end{array} \tag{A}\]

    Justificar la definición de la solución formal de (A) ser

    \[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \left(\alpha_n\cos{(2n-1)\pi a t\over2L}+{2L\beta_n\over(2n-1)\pi a}\sin{(2n-1)\pi at\over2L}\right) \cos{(2n-1)\pi x\over2L},\nonumber \]

    donde

    \[C_{M\!f}(x)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\cos{(2n-1)\pi x\over2L} \quad \text{and} \quad C_{M\!g}(x)=\sum_{n=1}^\infty\beta_n\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\nonumber \]

    son las series mixtas de coseno de Fourier de\(f\) y\(g\) sobre\([0,L]\); es decir,

    \[\alpha_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx \quad \text{and} \quad \beta_n={2\over L}\int_0^Lg(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx.\nonumber \]

    Q12.2.3

    En Ejercicios 12.2.18-12.2.31, utilice el Ejercicio 12.2.17 para resolver el problema del valor de límite inicial. En algunos de estos ejercicios el Teorema 11.3.5c o el Ejercicio 11.3.42b simplificarán el cálculo de los coeficientes en la serie mixta de coseno de Fourier.

    18. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=4-x^2,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le2\)

    19. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^2(1-x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    20. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=4-x^2,\quad0\le x\le2\)

    21. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^2(1-x),\quad0\le x\le 1\)

    22. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=2x^3+3x^2-5,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    23. \(u_{tt}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=\pi^3-x^3,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le\pi\)

    24. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=2x^3+3x^2-5,\quad0\le x\le1\)

    25. \(u_{tt}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=\pi^3-x^3,\quad0\le x\le\pi\)

    26. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^4-2x^3+1,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    27. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=4x^3+3x^2-7,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    28. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^4-2x^3+1,\quad0\le x\le1\)

    29. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=4x^3+3x^2-7,\quad0\le x\le1\)

    30. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^4-4x^3+6x^2-3,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    31. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^4-4x^3+6x^2-3,\quad0\le x\le1\)

    Q12.2.4

    32. Adaptar la prueba del Teorema 12.2.2 para encontrar la solución de D'Alembert del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.17.

    33. Utilice el resultado del Ejercicio 12.2.32 para demostrar que la solución formal del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.17 es una solución real si\(g\) es diferenciable y\(f\) es dos veces diferenciable en\([0,L]\) y

    \[g'_+(0)=g(L)=f'_+(0)=f(L)=f''_-(L)=0.\nonumber \]

    SUMINACIÓN: Ver Ejercicio 11.3.57, y aplicar el Teorema 12.2.3 con\(L\) reemplazado por\(2L\).

    34. Justificar la definición de la solución formal del problema del valor inicial-límite

    \[\begin{array}{c} u_{tt}=a^2u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\\ u(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0,\quad t>0,\\ u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\le x\le L \end{array}\nonumber\]

    ser

    \[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \left(\alpha_n\cos{(2n-1)\pi a t\over2L}+{2L\beta_n\over(2n-1)\pi a}\sin{(2n-1)\pi at\over2L}\right) \sin{(2n-1)\pi x\over2L},\nonumber \]

    donde

    \[S_{M\!f}(x)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\sin{(2n-1)\pi x\over2L} \quad \text{and} \quad S_{M\!g}(x)=\sum_{n=1}^\infty\beta_n\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\nonumber \]

    son las series sinusoidales mixtas de Fourier de\(f\) y\(g\) on\([0,L]\); es decir,

    \[\alpha_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx \quad \text{and} \quad \beta_n={2\over L}\int_0^Lg(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx.\nonumber \]

    Q12.2.5

    En Ejercicios 12.2.35-12.2.46 usa el Ejercicio 12.2.34 para resolver el problema del valor inicial-límite. En algunos de estos ejercicios el Teorema 11.3.5d o el Ejercicio 11.3.50b simplificarán el cálculo de los coeficientes en la serie mixta de seno de Fourier.

    35. \(u_{tt}=64u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(2\pi-x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le \pi\)

    36. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^2(3-2x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    37. \(u_{tt}=64u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(2\pi-x),\quad0\le x\le \pi\)

    38. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^2(3-2x),\quad0\le x\le 1\)

    39. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=(x-1)^3+1,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    40. \(u_{tt}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(x^2-3\pi^2),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le\pi\)

    41. \(u_{tt}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=(x-1)^3+1,\quad0\le x\le 1\)

    42. \(u_{tt}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(x^2-3\pi^2),\quad0\le x\le\pi\)

    43. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^3(3x-4),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    44. \(u_{tt}=16u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x(x^3-2x^2+2),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le1\)

    45. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^3(3x-4),\quad0\le x\le1\)

    46. \(u_{tt}=16u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(x^3-2x^2+2),\quad0\le x\le1\)

    Q12.2.6

    47. Adaptar la prueba del Teorema 12.2.2 para encontrar la solución de D'Alembert del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.34.

    48. Utilice el resultado del Ejercicio 12.2.47 para demostrar que la solución formal del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.34 es una solución real si\(g\) es diferenciable y\(f\) es dos veces diferenciable en\([0,L]\) y

    \[f(0)=f'_-(L)=g(0)=g_-'(L)=f''_+(0)=0.\nonumber\]

    SUMINACIÓN: Ver Ejercicio 11.3.58 y aplicar el Teorema 12.2.3 con\(L\) sustituido por\(2L\).

    49. Justificar la definición de la solución formal del problema del valor inicial-límite

    \[\begin{array}{c} u_{tt}=a^2u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\\ u_x(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0,\quad t>0,\\ u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\le x\le L. \end{array}\nonumber\]

    ser

    \[u(x,t)=\alpha_0+\beta_0t+\sum_{n=1}^\infty \left(\alpha_n\cos{n\pi at\over L}+{L\beta_n\over n\pi a}\sin{n\pi at\over L}\right) \cos{n\pi x\over L},\nonumber\]

    donde

    \[C_f(x)=\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\cos{n\pi x\over L} \quad \text{and} \quad C_g(x)=\beta_0+\sum_{n=1}^\infty\beta_n\cos{n\pi x\over L}\nonumber\]

    son las series cosenas de Fourier de\(f\) y\(g\) sigue\([0,L]\); es decir,

    \[\alpha_0={1\over L}\int_0^Lf(x)\,dx,\quad \beta_0={1\over L}\int_0^Lg(x)\,dx,\nonumber\]

    \[\alpha_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx, \quad \text{and} \quad \beta_n={2\over L}\int_0^Lg(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]

    Q12.2.7

    En Ejercicios 12.2.50-12.2.59 usa el Ejercicio 12.2.49 para resolver el problema del valor inicial-límite. En algunos de estos ejercicios el Teorema 11.3.5a simplificará el cálculo de los coeficientes en la serie coseno de Fourier.

    50. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=2x^2(3-x),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 2\)

    51. \(u_{tt}=5u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=2x^2(3-x),\quad0\le x\le 2\)

    52. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^3(3x-4\pi),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le \pi\)

    53. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=3x^2(x^2-2),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    54. \(u_{tt}=4u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^3(3x-4\pi),\quad0\le x\le \pi\)

    55. \(u_{tt}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=3x^2(x^2-2),\quad0\le x\le 1\)

    56. \(u_{tt}=16u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^2(x-\pi)^2,\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le \pi\)

    57. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=x^2(3x^2-8x+6),\quad u_t(x,0)=0,\quad0\le x\le 1\)

    58. \(u_{tt}=16u_{xx},\quad 0<x<\pi,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^2(x-\pi)^2,\quad0\le x\le \pi\)

    59. \(u_{tt}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0\),
    \(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
    \(u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x^2(3x^2-8x+6),\quad0\le x\le 1\)

    Q12.2.8

    60. Adaptar la prueba del Teorema 12.2.2 para encontrar la solución de D'Alembert del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.49.

    61. Utilice el resultado del Ejercicio 12.2.60 para demostrar que la solución formal del problema del valor límite inicial en el Ejercicio 12.2.49 es una solución real si\(g\) es diferenciable y\(f\) es dos veces diferenciable en\([0,L]\) y

    \[f'_+(0)=f'_-(L)=g'_+(0)=g_-'(L)=0.\nonumber\]

    62. Supongamos\(\lambda\) y\(\mu\) son constantes y cualquiera\(p_n(x)= \cos n\lambda x\) o\(p_n(x)=\sin n\lambda x\), mientras que cualquiera\(q_n(t)=\cos n\mu t\) o\(q_n(t)=\sin n\mu t\) para\(n=1\),\(2\),\(3\),... Vamos

    \[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty k_np_n(x)q_n(t), \tag{A}\]

    donde\(\{k_n\}_{n=1}^\infty\) están las constantes.

    1. Demostrar que si\(\sum_{n=1}^\infty |k_n|\) converge entonces\(u(x,t)\) converge para todos\((x,t)\).
    2. Utilice el Teorema 12.1.2 para mostrar que si\(\sum_{n=1}^\infty n|k_n|\) converge entonces (A) puede diferenciarse término por término con respecto a\(x\) y\(t\) para todos\((x,t)\); es decir,\[u_x(x,t)= \sum_{n=1}^\infty k_np_n'(x)q_n(t)\nonumber \] y\[u_t(x,t)= \sum_{n=1}^\infty k_np_n(x)q_n'(t).\nonumber \]
    3. Supongamos que\(\sum_{n=1}^\infty n^2|k_n|\) converge. Demuestre eso\[u_{xx}(x,y)= \sum_{n=1}^\infty k_np_n''(x)q_n(t)\nonumber \] y\[u_{tt}(x,y)= \sum_{n=1}^\infty k_np_n(x)q_n''(t)\nonumber \]
    4. Supongamos\(\sum_{n=1}^\infty n^2|\alpha_n|\) y\(\sum_{n=1}^\infty n|\beta_n|\) ambos convergen. Demostrar que la solución formal\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(\alpha_n\cos{n\pi at\over L}+{\beta_nL\over n\pi a}\sin{n\pi at\over L}\right) \sin{n\pi x\over L}\nonumber \] de la Ecuación 12.2.1 satisface\(u_{tt}=a^2u_{xx}\) para todos\((x,t)\).
      Esta conclusión también se aplica a las soluciones formales definidas en los Ejercicios 12.2.17, 12.2.34 y 12.2.49.

    63. Supongamos que\(g\) es diferenciable y\(f\) es dos veces diferenciable en\((-\infty,\infty)\), y dejar

    \[u_0(x,t)={f(x+at)+f(x-at)\over2}\quad \text{and} \quad u_1(x,t)={1\over2a}\int_{x-at}^{x+at}g(u)\,du.\nonumber \]

    1. Demuestre eso\[{\partial^2 u_0\over\partial t^2}=a^2{\partial^2u_0\over\partial x^2},\quad-\infty<x<\infty,\quad t>0,\nonumber \] y\[u_0(x,0)=f(x),\quad {\partial u_0\over\partial t}(x,0)=0,\quad -\infty<x<\infty.\nonumber \]
    2. Demuestre eso\[{\partial^2 u_1\over\partial t^2}=a^2{\partial^2u_1\over\partial x^2},\quad-\infty<x<\infty,\quad t>0,\nonumber \] y\[u_1(x,0)=0,\quad {\partial u_1\over\partial t}(x,0)=g(x),\quad -\infty<x<\infty.\nonumber \]
    3. Resolver\[u_{tt}=a^2u_{xx},\quad-\infty<t<\infty,\quad t>0,\nonumber \]\[u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad-\infty<x<\infty.\nonumber \]

    Q12.2.9

    En Ejercicios 12.2.64-12.2.68 utilizar el resultado del Ejercicio 12.2.63 para encontrar una solución de\[u_{tt}=a^{2}u_{xx},\quad -\infty <x<\infty \nonumber\] que satisfaga las condiciones iniciales dadas.

    64. \(u(x,0)=x\),\(u_t(x,0)=4ax\),\(-\infty<x<\infty\)

    65. \(u(x,0)=x^2\),\(u_t(x,0)=1\),\(-\infty<x<\infty\)

    66. \(u(x,0)=\sin x\),\(u_t(x,0)=a\cos x\),\(-\infty<x<\infty\)

    67. \(u(x,0)=x^3\),\(u_t(x,0)=6x^2\),\(-\infty<x<\infty\)

    68. \(u(x,0)=x\sin x\),\(u_t(x,0)=\sin x\),\(-\infty<x<\infty\)

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