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3.2.1: Ecuaciones elípticas cuasilineales

Última actualización

30 oct 2022
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- 3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden
- 3.3: Sistemas de Primer Orden

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$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Existe una gran clase de ecuaciones cuasilineales tales que la ecuación característica asociada no tiene solución $\chi$ , $\nabla\chi\not=0$ .

Establecer
$$
U=\ {(x, z, p):\ x\ in\ Omega,\ z\ in\ mathbb {R} ^1,\ p\ in\ mathbb {R}\}.
\]

Definición. La ecuación cuasilineal (3.2.1) se denomina elíptica si la matriz $(a^{ij}(x,z,p))$ es positiva definida para cada una $(x,z,p)\in U$ .

Supongamos que la ecuación (3.2.1) es elíptica y deja $\lambda(x,z,p)$ ser el mínimo y $\Lambda(x,z,p)$ el máximo de los valores propios de $(a^{ij})$ , entonces

$0<\ lambda (x, z, p) |\ zeta|^2\ le\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x, z, p)\ zeta_i\ zeta_j\ le\ Lambda (x, z, p) |\ zeta_i\ zeta_j\ le\ lambda (x, z, p) |\ zeta_i\ eta|^2$
para todos

$\zeta\in\mathbb{R}$ .

Definición. La ecuación (3.2.1) se llama uniformemente elíptica si $\Lambda/\lambda$ está uniformemente delimitada en $U$ .

Una clase importante de ecuaciones elípticas que no son uniformemente elípticas (no uniformemente elípticas) es
\ begin {ecuación}
\ label {no uniforme}\ tag {3.2.1.1}
\ suma_ {i=1} ^n\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial x_i}\ izquierda (\ frac {u_ {x_i}} {\ sqrt {1+|\ nabla u|^2}} derecha) +\ mbox {términos de orden inferior} = 0.
\ end {equation}
La parte principal es el operador de superficie mínima (lado izquierdo de la ecuación de superficie mínima). Los coeficientes $a^{ij}$ son

$a^ {ij} (x, z, p) =\ left (1+|p|^2\ right) ^ {-1/2}\ left (\ delta_ {ij} -\ frac {p_ip_j} {1+|p|^2}\ right),$

$\delta_{ij}$ denota el símbolo delta de Kronecker. De ello se deduce que

$\ lambda=\ frac {1} {\ left (1+|p|^2\ derecha) ^ {3/2}},\\\ lambda=\ frac {1} {\ izquierda (1+|p|^2\ derecha) ^ {1/2}}.$
Así, la ecuación (\ ref {no uniforme}) no es uniformemente elíptica.

El comportamiento de las soluciones de ecuaciones elípticas uniformemente es similar al de las ecuaciones elípticas lineales en contraste con el comportamiento de las soluciones de ecuaciones elípticas no uniformes.
Ejemplos típicos de ecuaciones elípticas no uniformes son la ecuación de superficie mínima y la ecuación capilar.

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