3: Clasificación
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Diferentes tipos de problemas en física, por ejemplo, corresponden diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales. Los métodos para resolver estas ecuaciones difieren de un tipo a otro.
La clasificación de las ecuaciones diferenciales se desprende de una sola pregunta: ¿podemos calcular formalmente la solución si se dan bastantes datos iniciales? Considerar el problema inicial para una ecuación diferencial ordinaria\(y'(x)=f(x,y(x))\),\(y(x_0)=y_0\). Entonces se puede determinar formalmente la solución, siempre que la función\(f(x,y)\) sea suficientemente regular. La solución del problema de valor inicial viene dada formalmente por una serie de potencias. Esta solución formal es una solución del problema si\(f(x,y)\) es analítica real según un teorema de Cauchy. En el caso de las ecuaciones diferenciales parciales el teorema relacionado es el Teorema de Cauchy-Kowalevskaya. Incluso en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias la situación\(y'\) es más complicada si se define implícitamente, es decir, la ecuación diferencial es\(F(x,y(x),y'(x))=0\) para una función dada\(F\).
Miniatura: Fotografía de la matemática rusa Sofja Wassiljewna Kowalewskaja, la primera matemática rusa importante y responsable de importantes contribuciones originales al análisis, ecuaciones diferenciales parciales y mecánica.