3.3.1: Ejemplos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ejemplo 3.3.1.1: Ecuaciones de Beltrami
\ begin {eqnarray}
\ label {belt1}\ tag {3.3.1.1}
wu_x-bv_x-cv_y&=&0\
\ etiqueta {belt2}\ tag {3.3.1.2}
wu_y+av_x+bv_y&=&0,
\ end {eqnarray}
dondeW, a, b, c se dan funciones dependiendo de(x,y),W≠0 y la matriz
$$
\ left (\ begin {array} {cc}
a&b\\
b&c
\ end {array}\ derecha)
\]
es positivo definido.
El sistema Beltrami es una generalización de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. La funciónf(z)=u(x,y)+iv(x,y), dondez=x+iy, se denomina mapeo cuasiconforme, véase por ejemplo [9], Capítulo 12, para una aplicación a ecuaciones diferenciales parciales.
Set
$$
A^1=\ left (\ begin {array} {cc}
w&-b\\
0&a
\ end {array}\ right),\\
A^2=\ left (\ begin {array} {cc}
0&-c\\
w&b
\ end {array}\ right).
\]
Entonces el sistema (\ ref {belt1}), (\ ref {belt2}) puede escribirse como
$$
A^1\ left (\ begin {array} {c}
u_x\\ v_x
\ end {array}\ right) +
A^2\ left (\ begin {array} {c}
u_y\\ v_y
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c} 0\\ 0\ end {array}\ right).
\]
Por lo tanto,
\ begin {eqnarray*}
C (x, y,\ zeta) =\ izquierda|\ begin {array} {cc}
W\ zeta_1&-b\ zeta_1-c\ zeta_2\\
W\ zeta_2&a\ zeta_1+b\ zeta_2
\ end {array}\ derecha|
=W (a\ zeta_1^2+2b\ eta_1\ zeta_2+c\ zeta_2^2),
\ end {eqnarray*}
que es diferente de cero si deζ≠0 acuerdo con los supuestos anteriores. Así el sistema Beltrami es elíptico.
Ejemplo 3.3.1.2: Ecuaciones Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell en el caso isotrópico son
\ begin {eqnarray}
\ label {max1}\ tag {3.3.1.3}
c\\ texto {rot} _x\ H&=&\ lambda E+\ epsilon e_T\
\ etiqueta {max2}\ etiqueta {3.3.1.4}
c\\ texto {rot} _x\ E&=&-\ mu h_t,
\ end {eqnarray}
donde
- E=(e1,e2,e3)Tintensidad de campo eléctrico,ei=ei(x,t),x=(x1,x2,x3),
- H=(h1,h2,h3)Tintensidad del campo magnéticohi=hi(x,t),
- cvelocidad de la luz,
- λconductividad específica,
- ϵconstante de dielectricidad,
- μpermeabilidad magnética.
Aquíc, λ, ϵ yμ son constantes positivas.
Establecerp0=χt, pi=χxi,i=1,…3, entonces la ecuación diferencial característica es
$$
\ izquierda|\ begin {array} {cccccc}
\ epsilon p_0/c&0&0&0&p_3&-p_2\\
0&\ epsilon p_0/c&0&-p_3&0&p_1\\
0&0&\ epsilon p_0/c&p_2&-p_1&0\
0&-p_p_3&p_2&\ mu p_0/c&0&0\\
p_3&0&-p_1&0&\ mu p_0/c&0\\
-p_2&p_1&0&0&0&\ mu p_0/c
\ end {array}\ right|=0.
\]
Las siguientes manipulaciones simplifican esta ecuación:
- multiplicar las tres primeras columnas conμp0/c,
- multiplicar la quinta columna con−p3 y la sexta columna conp2 y sumar la suma a la primera columna,
- multiplicar la 4ta columna conp3 y la sexta columna con−p1 y sumar la suma a la 2ª columna,
- multiplicar la 4ta columna con−p2 y la quinta columna conp1 y sumar la suma a la 3ª columna,
- ampliar el determinante resultante con respecto a los elementos de la 6ª, 5ª y 4ª fila.
Obtenemos
$$
\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
q+p_1^2&p_1p_2&p_1p_3\\
p_1p_2&q+p_2^2&p_2p_3\\
p_1p_3&p_2p_3&q+p_3^2
\ end {array}\ derecha|=0,
\]
donde
$$
q: =\ frac {\ épsilon\ mu} {c^2} p_0^2-g^2
\]
cong2:=p21+p22+p23. La evaluación de la ecuación anterior conduce aq2(q+g2)=0, es decir,
$$
\ chi_t^2\ left (\ frac {\ epsilon\ mu} {c^2}\ chi_t^2-|\ nabla_x\ chi|^2\ derecha) =0.
\]
De ello se deduce inmediatamente que las ecuaciones de Maxwell son un sistema hiperbólico, ver un ejercicio.
Hay dos soluciones de esta ecuación característica. El primero son superficies característicasS(t), definidas porχ(x,t)=0, que satisfacenχt=0. Estas superficies se llaman ondas estacionarias El segundo tipo de superficies características se definen por soluciones de
$$
\ frac {\ épsilon\ mu} {c^2}\ chi_t^2=|\ nabla_x\ chi|^2.
\]
Las funciones definidas porχ=f(n⋅x−Vt) son soluciones de esta ecuación.
Aquí hayf(s) una función arbitraria conf′(s)≠0,n es un vector unitario yV=c/√ϵμ.
Las superficies características asociadasS(t) están definidas por
$$
\ chi (x, t)\ equiv f (n\ cdot x-VT) =0,
\]
aquí asumimos que0 está en el rango def: R1↦R1. Así,S(t) se define porn⋅x−Vt=c, dondec es una constante fija. De ello se deduce que los planosS(t) con normaln se mueven con velocidadV en dirección an, ver Figura 3.3.1.1.
Figura 3.3.1.1:d′(t) es la velocidad de las ondas planas
Vse llama velocidad de la onda del aviónS(t).
Obración. Según las discusiones anteriores, las singularidades de una solución de ecuaciones de Maxwell se ubican como máximo en superficies características.
Un caso especial de ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones telegráficas, que se derivan de las ecuaciones de Maxwell if\div E=0 ydiv H=0$ i. e.,E yH son campos libres de fuentes. De hecho, es suficiente suponer que esta suposición se satisface en un tiempo fijot0 solamente, ver un ejercicio.
Desde
$$
\ text {rot} _x\\ texto {pudrición} _x\ A=\ mbox {grad} _x\\ texto {div} _x\ A-\ triangle_xA
\]
para cada campoC2 -vectorA, se deduce de las ecuaciones de Maxwell el sistema desacoplado
\ begin {eqnarray*}\ triangle_xe&=&\ frac {\ épsilon\ mu} {c^2} E_ {tt} +\ frac {\ lambda\ mu} {c^2} e_T\\
\ triangle_xh&=&\ frac {\ épsilon\ mu} {c^2} H_ {tt} +\ frac {\ lambda\ mu} {c^2} H_t.
\ end {eqnarray*}
Ejemplo 3.3.1.3: Ecuaciones de la Dinámica de Gases
Considera las siguientes ecuaciones cuasilineales de primer orden.
$$
v_t+ (v\ cdot\ nabla_x)\ v+\ frac {1} {\ rho}\ nabla_x p =f\\\\ mbox {(ecuaciones de Euler)}.
\]
Aquí está
- v=(v1,v2,v3)el vector de velocidad,vi=vi(x,t),x=(x1,x2,x3),
- ppresión,p=(x,t),
- ρdensidad,ρ=ρ(x,t),
- f=(f1,f2,f3)densidad de la fuerza externafi=fi(x,t),
(v⋅∇x)v≡(v⋅∇xv1,v⋅∇xv2,v⋅∇xv3))T.
La segunda ecuación es
$$
\ rho_t+v\ cdot\ nabla_x\ rho+\ rho\\ text {div} _x\ v=0\\\\ mbox {(conservación de la masa)}.
\]
Supongamos que el gas es compresible y que hay una función (ecuación de estado)
$$
p=p (\ rho),
\]
dondep′(ρ)>0 siρ>0. Entonces el sistema anterior de cuatro ecuaciones es
\ begin {eqnarray}
\ label {euler}\ tag {3.3.1.5}
v_t+ (v\ cdot\ nabla) v+\ frac {1} {\ rho} p' (\ rho)\ nabla\ rho&=&f\
\ label {cont}\ tag {3.3.1.6}
\ rho_t+\ rho\ text {div}\ v+v\ cdot\ nabla\ rho&=&0,
\ end {eqnarray}
donde∇≡∇x ydiv≡divx, i. e., estos operadores se aplican únicamente a las variables espaciales.
La ecuación diferencial característica está aquí
$$
\ izquierda|\ begin {array} {cccc}
\ frac {d\ chi} {dt} &0&0&\ frac {1} {\ rho} p'\ chi_ {x_1}\\
0&\ frac {d\ chi} {dt} &0&\ frac {1} {\ rho} p'\ chi_ {x_2}\\
0&0&\ frac {d\ chi} {dt} &\ frac {1} {\ rho} p'\ chi_ {x_3}\\
\ rho\ chi_ {x_1} &\ rho\ chi_ {x_2} &\ rho\ chi_ {x_3} &\ frac {d\ chi} {dt}
\ end {array}\ derecha|=0,
\]
donde
$$\ dfrac {d\ chi} {dt} :=\ chi_t+ (\ nabla_x\ chi)\ cdot v.\]
Evaluando el determinante, obtenemos la ecuación diferencial característica
\ begin {ecuación}
\ label {chargas}\ tag {3.3.1.7}
\ left (\ frac {d\ chi} {dt}\ right) ^2\ left (\ left (\ frac {d\ chi} {dt}\ right) ^2-p' (\ rho) |\ nabla_x\ chi|^2\ right) =0.
\ end {ecuación}
Esta ecuación implica consecuencias para la velocidad de las superficies características como lo demuestra la siguiente consideración.
Considere una familiaS(t) de superficiesR3 definidas porχ(x,t)=c, donde
x∈R3 yc es una constante fija. Como es habitual, suponemos que∇xχ≠0.
Una de las dos normalesS(t) en un punto de la superficieS(t) viene dada por, ver un ejercicio,
\ begin {ecuación}
\ label {surfnormal}\ tag {3.3.1.8}
{\ bf n} =\ frac {\ nabla_x\ chi} {|\ nabla_x\ chi|}.
\ end {ecuación}
DejarQ0∈S(t0) y dejarQ1∈S(t1) ser un punto en la línea definida porQ0+sn, donden está la normal (\ ref {surfnormal}) onS(t0) atQ0 yt0<t1,t1−t0 pequeño, ver Figura 3.3.1.2.
3.3.1.2: Definición de la velocidad de una superficie
Definición. El límite
P= limt1 tot0 frac|Q1−Q0|t1−t0
se llama velocidad de la superficieS(t).
Proposición 3.2. La velocidad de la superficieS(t) es
\ begin {ecuación}
\ label {speedsurf}
P=-\ frac {\ chi_t} {|\ nabla_x\ chi|}.
\ end {ecuación}
Comprobante. La prueba se desprende deχ(Q0,t0)=0 yχ(Q0+dn,t0+△t)=0, dónded=|Q1−Q0| y△t=t1−t0.
◻
Establezcavn:=v⋅n cuál es el componente del vector de velocidad en direcciónn.
De ({\ ref {surfnormal}) obtenemos
$$
v_n=\ frac {1} {|\ nabla_x\ chi|} v\ cdot\ nabla_x\ chi.
\]
Definición. V:=P−vn, la diferencia de la velocidad de la superficie y la velocidad de las partículas líquidas, se denomina velocidad relativa.
Figura 3.3.1.3: Definición de velocidad relativa
Usando las fórmulas anteriores paraP yvn sigue
\boldsymbol{v=p-v_n=-\ frac {\ chi_t} {|\ nabla_x\ chi|} -\ frac {v\ cdot\ nabla_x\ chi} {|\ nabla_x\ chi|} =-\ frac {1} {|\ nabla_x\ chi|}\ frac {d\ chi} dt}.}
Entonces, obtenemos de la ecuación característica (\ ref {chargas}) que
V2| nablax chi|2 left(V2| nablax chi|2−p′( rho)| nablax chi|2 right)=0.
Una conclusión interesante es que hay dos velocidades relativas:V=0 oV2=p′(ρ).
Definición. √p′(ρ)se llama velocidad del sonido.