7.1: Solución Fundamental

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Aquí consideramos soluciones particulares de la ecuación de Laplace en$\mathbb{R}^n$ del tipo

$$u (x) =f (|x-y|),\]

donde$y\in\mathbb{R}^n$ es fijo y$f$ es una función la cual determinaremos tal que$u$ define una solución si la ecuación de Laplace.

Establezca$r=|x-y|$, luego

\ begin {eqnarray*}
u_ {x_i} &=&f' (r)\ frac {x_i-y_i} {r}\\
u_ {x_ix_i} &=&f "(r)\ frac {(x_i-y_i) ^2} {r^2} +f' (r)\ left (\ frac {1} {r} -\ frac {(x_i-y_i) ^2} {r^3}\ derecha)\\
\ triángulo u&=&f" (r) +\ frac {n-1} {r} f' (r).
\ end {eqnarray*}

Por lo tanto, una solución de$\triangle u=0$ es dada por

$$f (r) =\ left\ {\ begin {array} {r@ {\ qua d:\quad} l}
c_1\ ln r+c_2&n=2\\
c_1r^ {2-n} +c_2&n\ ge3
\ end {array}\ derecha.\]

con constantes$c_1$,$c_2$.

Definición. Set$r=|x-y|$. La función

$$
s (r) :=\ left\ {\ begin {array} {r@ {\ qua d:\quad} l}
-\ frac {1} {2\ pi}\ ln r&n=2\\
\ frac {r^ {2-n}} {(n-2)\ omega_n} &n\ ge3
\ end {array}\ derecha.
\]

se llama función de singularidad asociada a la ecuación de Laplace. Aquí está$\omega_n$ el área de la esfera unitaria n-dimensional que viene dada por$\omega_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)$, donde

$$\ Gamma (t) :=\ int_0^\ infty\ e^ {-\ rho}\ rho^ {t-1}\ d\ rho,\\ t>0,\]

es la función Gamma.

Definición. Una función

$$\ gamma (x, y) =s (r) +\ phi (x, y)\]

se llama solución fundamental asociada a la ecuación de Laplace si$\phi\in C^2(\Omega)$ y$\triangle_x\phi=0$ para cada fijo$y\in\Omega$.

OBSERVACIÓN. La solución fundamental$\gamma$ satisface para cada fijo$y\in\Omega$ la relación

$$-\ int_\ Omega\\ gamma (x, y)\ triangle_x\ Phi (x)\ dx=\ Phi (y)\\\ mbox {para todos}\\ Phi\ en C_0^2 (\ Omega),\]

ver un ejercicio. Esta fórmula se deriva de consideraciones similares a la siguiente sección.

En el lenguaje de distribución, esta relación puede escribirse por definición como

$$-\ triangle_x\ gamma (x, y) =\ delta (x-y),\]

donde$\delta$ está la distribución Dirac, que se llama$\delta$ -function.