7: Ecuaciones Elípticas de Segundo Orden

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Aquí consideramos ecuaciones elípticas lineales de segundo orden, principalmente la ecuación de Laplace

$$\ triángulo u=0.\]

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones potenciales o funciones armónicas. La ecuación de Laplace se llama también ecuación potencial. La ecuación elíptica general para una función escalar$u(x)$,$x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n$, es

$$Lu: =\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_ix_j} +\ sum_ {j=1} ^n b^j (x) u_ {x_j} +c (x) u=f (x),\]

donde la matriz$A=(a^{ij})$ es real, simétrica y positiva definida. Si$A$ es una matriz constante, entonces una transformación al eje principal y el estiramiento del eje conduce a

$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ triángulo v,\]

donde$v(y):=u(Ty)$,$T$ representa la anterior composición de mapeos.

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