7: Ecuaciones Elípticas de Segundo Orden
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Aquí consideramos ecuaciones elípticas lineales de segundo orden, principalmente la ecuación de Laplace
$$\ triángulo u=0.\]
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones potenciales o funciones armónicas. La ecuación de Laplace se llama también ecuación potencial. La ecuación elíptica general para una función escalar\(u(x)\),\(x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n\), es
$$Lu: =\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_ix_j} +\ sum_ {j=1} ^n b^j (x) u_ {x_j} +c (x) u=f (x),\]
donde la matriz\(A=(a^{ij})\) es real, simétrica y positiva definida. Si\(A\) es una matriz constante, entonces una transformación al eje principal y el estiramiento del eje conduce a
$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ triángulo v,\]
donde\(v(y):=u(Ty)\),\(T\) representa la anterior composición de mapeos.