7: Ecuaciones Elípticas de Segundo Orden
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Aquí consideramos ecuaciones elípticas lineales de segundo orden, principalmente la ecuación de Laplace
$$\ triángulo u=0.\]
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones potenciales o funciones armónicas. La ecuación de Laplace se llama también ecuación potencial. La ecuación elíptica general para una función escalaru(x),x∈Ω⊂Rn, es
$$Lu: =\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x) u_ {x_ix_j} +\ sum_ {j=1} ^n b^j (x) u_ {x_j} +c (x) u=f (x),\]
donde la matrizA=(aij) es real, simétrica y positiva definida. SiA es una matriz constante, entonces una transformación al eje principal y el estiramiento del eje conduce a
$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} u_ {x_ix_j} =\ triángulo v,\]
dondev(y):=u(Ty),T representa la anterior composición de mapeos.
