2.1: Introducción
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EN LA ÚLTIMA SECCIÓN VEMOS cómo las ecuaciones diferenciales de segundo orden aparecen naturalmente en las derivaciones para sistemas oscilantes simples. En esta sección veremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden más generales.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden suelen ser más duras que las de primer orden. En la mayoría de los casos los estudiantes solo están expuestos a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Una forma general para una ecuación diferencial lineal de segundo orden viene dada por
\[a(x) y^{\prime \prime}(x)+b(x) y^{\prime}(x)+c(x) y(x)=f(x) \nonumber \]
Se puede reescribir esta ecuación usando la terminología del operador. A saber, uno primero define el operador diferencial\(L=a(x) D^{2}+b(x) D+c(x)\), donde\(D=\dfrac{d}{d x} .\) Entonces, Ecuación\(\PageIndex{1}\) se convierte
\[L y=f \nonumber \]
Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales se encuentran haciendo uso de la linealidad de\(L\). A saber, consideramos el espacio vectorial\(^{1}\) que consiste en funciones realvaluadas sobre algún dominio. Dejar\(f\) y\(g\) ser vectores en este espacio de funciones. \(L\)es un operador lineal si para dos vectores\(f\)\(g\) y y escalar\(a\), tenemos que
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Suponemos que el lector ha sido introducido a conceptos en álgebra lineal. Posteriormente en el texto recordaremos la definición de un espacio vectorial y veremos que el álgebra lineal está en el fondo del estudio de muchos conceptos en la solución de ecuaciones diferenciales.
a.\(L(f+g)=L f+L g\)
b\(L(a f)=a L f\).
Uno suele resolver Ecuación\(\PageIndex{1}\) encontrando la solución general del problema homogéneo,
\(L y_{h}=0\)
y una solución particular del problema no homogéneo,
\(L y_{p}=f .\)
Entonces, la solución general de Ecuación simplemente\(\PageIndex{1}\) se da como\(y=y_{h}+y_{p}\). Esto es cierto por la linealidad de\(L\). A saber,
\[ \begin{aligned} L y &=L\left(y_{h}+y_{p}\right) \\ &=L y_{h}+L y_{p} \\ &=0+f=f . \end{aligned} \label{2.3} \]
Existen métodos para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial no homogénea. Estos métodos van desde la adivinación pura, el Método de Coeficientes Indeterminados, el Método de Variación de Parámetros o las funciones de Green. Repasaremos estos métodos más adelante en el capítulo.
Determinar soluciones al problema homogéneo,\(L y_{h}=0\), no siempre es fácil. Sin embargo, muchos matemáticos y físicos ahora famosos han estudiado una variedad de ecuaciones lineales de segundo orden y nos han ahorrado la molestia de encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales que a menudo aparecen en las aplicaciones. Encontraremos muchos de estos en los siguientes capítulos. Primero comenzaremos con algunas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas simples.
La linealidad también es útil para producir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea. Si\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) son soluciones de la ecuación homogénea, entonces la combinación lineal\(y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)\) es también una solución de la ecuación homogénea. Esto se demuestra fácilmente.
Vamos\(L y_{1}=0\) y\(L y_{1} 2=0 .\) Consideramos\(y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2} .\) Entonces, ya que\(L\) es un operador lineal,
\[ \begin{aligned} L y &=L\left(c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}\right) \\ &=c_{1} L y_{1}+c_{2} L y_{2} \\ &=0 \end{aligned} \label{2.4} \]
Por lo tanto,\(y\) es una solución.
De hecho, si\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) son linealmente independientes, entonces\(y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}\) es la solución general del problema homogéneo. Un conjunto de funciones\(\left\{y_{i}(x)\right\}_{i=1}^{n}\) es un conjunto linealmente independiente si y solo si
\(c_{1} y_{1}(x)+\ldots+c_{n} y_{n}(x)=0\)
implica\(c_{i}=0\), para\(i=1, \ldots, n .\) De lo contrario, se dice que son linealmente dependientes. Tenga en cuenta que para\(n=2\), la forma general es\(c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)=0 .\) Si\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son linealmente dependientes, entonces los coeficientes no son cero\(y_{2}(x)=-\dfrac{c_{1}}{c_{2}} y_{1}(x)\) y y es un múltiplo de\(y_{1}(x) .\) Lo vemos en el siguiente ejemplo.
Demostrar eso\(y_{1}(x)=x\) y\(y_{2}(x)=4 x\) son linealmente dependientes.
Establecemos\(c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)=0\) y mostramos que hay constantes distintas de cero,\(c_{1}\) y\(c_{2}\) satisfaciendo esta ecuación. A saber, vamos
\(c_{1} x+c_{2}(4 x)=0\)
Entonces, pues\(c_{1}=-4 c_{2}\), esto es cierto para cualquier\(c_{2} .\) Let distinto de cero\(c_{2}=1\) y tenemos\(c_{1}=-4\). A continuación consideramos dos funciones que no son múltiplos constantes entre sí.
\(y_{2}(x)=x^{2}\)Demuéstralo\(y_{1}(x)=x\) y son linealmente independientes.
Nos fijamos\(c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)=0\) y demostramos que sólo puede ser cierto si\(c_{1}=0\) y\(c_{2}=0 .\) Let
\(c_{1} x+c_{2} x^{2}=0\)
para todos\(x .\) Diferenciando, tenemos dos conjuntos de ecuaciones que deben ser ciertas para todos\(x\):
\[ \begin{array}{ccc} c_{1} x+c_{2} x^{2} & = & 0 \\ c_{1}+2 c_{2} x & = & 0 \end{array} \label{2.5} \]
Setting\(x=0\), obtenemos\(c_{1}=0 .\) Setting\(x=1\), luego\(c_{1}+c_{2}=0 .\) Así,\(c_{2}=0\).
Otro enfoque sería resolver para las constantes. Multiplicar la segunda ecuación por\(x\) y restar rendimientos\(c_{2}=0\). Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, encontramos\(c_{1}=0\).
Para las ecuaciones diferenciales de segundo orden buscamos dos funciones linealmente independientes,\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x) .\) como en el último ejemplo, establecemos\(c_{1} y_{1}(x)+\)\(c_{2} y_{2}(x)=0\) y demostramos que solo puede ser cierto si\(c_{1}=0\) y\(c_{2}=0 .\) Diferenciando, tenemos
\[ \begin{aligned} &c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)=0 \\ &c_{1} y_{1}^{\prime}(x)+c_{2} y_{2}^{\prime}(x)=0 \end{aligned} \label{2.6} \]
Estos deben sostenerse para todos\(x\) en el dominio de las soluciones.
Ahora resolvemos para las constantes. Multiplicando la primera ecuación por\(y_{1}^{\prime}(x)\) y la segunda ecuación por\(y_{2}(x)\), tenemos
\[ \begin{aligned} &c_{1} y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)+c_{2} y_{2}(x) y_{2}^{\prime}(x)=0 \\ &c_{1} y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)+c_{2} y_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 \end{aligned} \label{2.7} \]
Restar da
\(\left[y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)\right] c_{1}=0\)
Por lo tanto,\(c_{1}=0\) o bien\(y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 .\) Así, si esto último es cierto, entonces\(c_{1}=0\) y por lo tanto,\(c_{2}=0\). Esto da una condición para la cual\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) son linealmente independientes:
\[y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 \nonumber \]
Definimos esta cantidad como la Wronskian de\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\).
La independencia lineal de las soluciones de una ecuación diferencial se puede establecer observando el Wronskian de las soluciones. Para una ecuación diferencial de segundo orden, el Wronskiano se define como
\(W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x) .\)
El Wronskian puede escribirse como determinante:
\(W\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left|\begin{array}{ll} y_{1}(x) & y_{2}(x) \\ y_{1}^{\prime}(x) & y_{2}^{\prime}(x) \end{array}\right|=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)\)
Así, la definición de un wronskiano puede generalizarse a un conjunto de\(n\) funciones\(\left\{y_{i}(x)\right\}_{i=1}^{n}\) usando un\(n \times n\) determinante.
Determinar si el conjunto de funciones\(\left\{1, x, x^{2}\right\}\) son linealmente independientes.
Calculamos el Wronskian.
\[\begin{equation} \begin{aligned} W\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) &=\left|\begin{array}{ccc} y_{1}(x) & y_{2}(x) & y_{3}(x) \\ y_{1}^{\prime}(x) & y_{2}^{\prime}(x) & y_{3}^{\prime}(x) \\ y_{1}^{\prime \prime}(x) & y_{2}^{\prime \prime}(x) & y_{3}^{\prime \prime}(x) \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & 2 x \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| \\ &=2 \end{aligned} \end{equation}\label{2.9} \]
Desde,\(W\left(1, x, x^{2}\right)=2 \neq 0\), entonces el conjunto\(\left\{1, x, x^{2}\right\}\) es linealmente independiente.