2.2: Ecuaciones de Coeficientes Constantes

\ LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN MÁS SIMPLES La forma general para una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficiente constante homogéneo se da como

\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=0 \label{2.10} \]

donde\(a, b\), y\(c\) son constantes.

Las soluciones a la ecuación se\(\PageIndex{1}\) obtienen haciendo una suposición de\(y(x)=e^{r x} .\) Insertar esta suposición en la ecuación\(\PageIndex{1}\) conduce a la ecuación característica

\[a r^{2}+b r+c=0 \nonumber \]

La ecuación característica para\(a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0\) es\(a r^{2}+b r+c=0\). Las soluciones de esta ecuación cuadrática conducen a soluciones de la ecuación diferencial.

Dos raíces reales, distintas,\(r_{1}\) y\(r_{2}\), dar soluciones de la forma

\(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x} .\)

A saber, calculamos las derivadas de\(y(x)=e^{r x}\), para obtener\(y(x)=r e^{r x}\), e\(y(x)=r^{2} e^{r x} .\) Insertando en\(Equation \(\PageIndex{1}\)\), tenemos

\(0=a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=\left(a r^{2}+b r+c\right) e^{r x}\)

Como lo exponencial nunca es cero, nos encontramos con eso\(a r^{2}+b r+c=0\).

Las raíces de esta ecuación,\(r_{1}, r_{2}\), a su vez conducen a tres tipos de soluciones dependiendo de la naturaleza de las raíces. En general, tenemos dos soluciones linealmente independientes,\(y_{1}(x)=e^{r_{1} x}\) y\(y_{2}(x)=e^{r_{2} x}\), y la solución general viene dada por una combinación lineal de estas soluciones,

\(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}\)

Para dos raíces reales distintas, estamos hechos. Sin embargo, cuando las raíces son reales, pero iguales, o raíces conjugadas complejas, necesitamos hacer un poco más de trabajo para obtener soluciones utilizables.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 y(0)=2, y^{\prime}(0)=0\).

Solución

La ecuación característica para este problema es\(r^{2}-r-6=0\). Las raíces de esta ecuación se encuentran como\(r=-2,3\). Por lo tanto, la solución general se puede anotar rápidamente:

\(y(x)=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{3 x}\)

Obsérvese que hay dos constantes arbitrarias en la solución general. Por lo tanto, se necesitan dos piezas de información para encontrar una solución particular. Por supuesto, tenemos la información necesaria en la forma de las condiciones iniciales.

También se necesita evaluar la primera derivada

\(y^{\prime}(x)=-2 c_{1} e^{-2 x}+3 c_{2} e^{3 x}\)

a fin de intentar satisfacer las condiciones iniciales. Evaluando\(y\) y\(y^{\prime}\) en\(x=0\) rendimientos

\[ \begin{aligned} &2=c_{1}+c_{2} \\ &0=-2 c_{1}+3 c_{2} \end{aligned}\label{2.12} \]

Estas dos ecuaciones en dos incógnitas se pueden resolver fácilmente para dar\(c_{1}=6 / 5\) y\(c_{2}=4 / 5\). Por lo tanto, la solución del problema del valor inicial se obtiene como\(y(x)=\dfrac{6}{5} e^{-2 x}+\dfrac{4}{5} e^{3 x} .\)

Raíces repetidas,\(r_{1}=r_{2}=r\), dan soluciones de la forma

\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{r x} .\)

En el caso de que haya una raíz real repetida, uno solo tiene una solución,\(y_{1}(x)=e^{r x}\). La pregunta es ¿cómo se obtiene la segunda solución linealmente dependiente? Dado que las soluciones deben ser independientes, debemos tener que tener que la relación no\(y_{2}(x) / y_{1}(x)\) sea una constante. Entonces, adivinamos la forma\(y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)=v(x) e^{r x}\). (Este proceso se llama el Método de Reducción del Orden. Ver Sección 2.2.1)

Para más información sobre el Método de Reducción del Orden, véase la Sección 2.2.1.

Para ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante, podemos escribir la ecuación como

\((D-r)^{2} y=0\)

donde\(D=\dfrac{d}{d x} .\) Ahora insertamos\(y_{2}(x)=v(x) e^{r x}\) en esta ecuación. Primero calculamos

\((D-r) v e^{r x}=v^{\prime} e^{r x}\)

Entonces,

\(0=(D-r)^{2} v e^{r x}=(D-r) v^{\prime} e^{r x}=v^{\prime \prime} e^{r x}\)

Entonces, si\(y_{2}(x)\) va a ser una solución a la ecuación diferencial, entonces\(v^{\prime \prime}(x) e^{r x}=0\) para todos So,\(v^{\prime \prime}(x)=0\),\(x .\) lo que implica que

\(v(x)=a x+b\)

\(y_{2}(x)=(a x+b) e^{r x}\)

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar\(b=0\) y\(a=1\) obtener la segunda solución linealmente independiente,\(y_{2}(x)=x e^{r x}\). La solución general es entonces

\(y(x)=c_{1} e^{r x}+c_{2} x e^{r x}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0\)

Solución

En este ejemplo tenemos Solo\(r^{2}+6 r+9=0 .\) hay una raíz,\(r=-3 .\) De la discusión anterior, encontramos fácilmente la solución\(y(x)=\)\(\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-3 x}\)

Cuando uno tiene raíces complejas en la solución de ecuaciones de coeficientes constantes, uno necesita mirar las soluciones

\(y_{1,2}(x)=e^{(\alpha \pm i \beta) x}\)

Hacemos uso de la fórmula de Euler\({ }^{1}\), la cual se trata en la Sección 8.1.

1

La fórmula de Euler se encuentra usando la expansión de la serie Maclaurin

\(e^{x}=1+x+\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{3 !} x^{3}+\cdots\)

Deja\(x=i \theta\) y encuentra

\ (\ begin {alineado}
e^ {i\ theta} &=1+i\ theta+\ dfrac {1} {2} (i\ theta) ^ {2} +\ dfrac {1} {3!} (i\ theta) ^ {3} +\ cdots\\
&=1-\ dfrac {1} {2}\ theta^ {2} +\ dfrac {1} {4!} \ theta^ {4} +\ cdots\\
& i\ izquierda [\ theta-\ dfrac {1} {3!} \ theta^ {3} +\ dfrac {1} {5!} \ theta^ {5} +\ cdots\ derecha]\\
&=\ cos\ theta+i\ sin\ theta
\ end {alineado}\)

\[ e^{i \beta x}=\cos \beta x+i \sin \beta x \nonumber \]

Entonces, la combinación lineal de\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) se convierte

\ [\ begin {ecuación}\ begin {alineado}
A e^ {(\ alpha+i\ beta) x} +B e^ {(\ alpha-i\ beta) x} &=e^ {\ alpha x}\ left [A e^ {i\ beta x} +B e^ {-i\ beta x}\ derecha]\\
&=e^ {\ alfa x} [(A+B)\ cos\ beta\ x+i (A-B)\ sin\ beta x]\\
&\ equiv e^ {\ alfa x}\ izquierda (c_ {1}\ cos\ beta x+c_ {2} \ sin\ beta x\ derecha)
\ final {alineado}\ final {ecuación}\ etiqueta {2.14}\]

Así, vemos que tenemos una combinación lineal de dos soluciones reales, linealmente independientes,\(e^{\alpha x} \cos \beta x\) y\(e^{\alpha x} \sin \beta x\).

Raíces complejas,\(r=\alpha \pm i \beta\), dan soluciones de la forma

\(y(x)=e^{\alpha x}\left(c_{1} \cos \beta x+c_{2} \sin \beta x\right) .\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(y^{\prime \prime}+4 y=0\). La ecuación característica en este caso es\(r^{2}+4=0 .\) Las raíces
son raíces imaginarias puras,\(r=\pm 2 i\), y la solución general consiste
puramente en funciones sinusoidales,\(y(x)=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)\), ya que
\(\alpha=0\) y \(\beta=2\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=0 .\)
La ecuación característica en este caso es\(r^{2}+2 r+4=0 .\) Las raíces La ecuación característica en este caso es\(r^{2}+2 r+4=0 .\) Las raíces se
vuelven complejas,\(r=-1 \pm \sqrt{3} i\) y la solución general puede escribirse como

\(y(x)=\left[c_{1} \cos (\sqrt{3} x)+c_{2} \sin (\sqrt{3} x)\right] e^{-x}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(y^{\prime \prime}+4 y=\sin x\).

Este es un ejemplo de un problema no homogéneo. El problema homogéneo en realidad se resolvió en Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Según la teoría, solo necesitamos buscar una solución particular al problema no homogéneo y agregarlo a la solución del último ejemplo para obtener la solución general.

La solución particular se puede obtener simplemente adivinando, haciendo una suposición educada o usando el Método de Variación de Parámetros. No vamos a revisar todas estas técnicas en este momento. Debido a la forma simple del término de manejo, haremos una suposición inteligente\(y_{p}(x)=A \sin x\) y determinaremos lo que\(A\) debe ser. Insertar esta conjetura en la ecuación diferencial da\((-A+4 A) \sin x=\sin x .\) Entonces, vemos que\(A=1 / 3\) funciona. Por lo tanto, la solución general del problema no homogéneo es\(y(x)=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)+\dfrac{1}{3} \sin x\).

Los tres casos para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficiente constante se resumen a continuación.

Clasificación de Raíces de la Ecuación Característica para ODEs de Coeficiente Constante de Segundo Orden

1. Raíces reales, distintas\(r_{1}, r_{2} .\) En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general es simplemente\(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x} .\)
2. Raíces reales e iguales\(r_{1}=r_{2}=r\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente dependientes. Para encontrar una segunda solución linealmente independiente, se utiliza el Método de Reducción del Orden. Esto da la segunda solución como\(x e^{r x}\). Por lo tanto, la solución general se encuentra como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{r x}\)
3. Raíces conjugadas complejas\(r_{1}, r_{2}=\alpha \pm i \beta .\) En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Haciendo uso de la identidad de Euler\(e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)\), estos exponenciales complejos pueden ser reescritos en términos de funciones trigonométricas. A saber, uno tiene eso\(e^{\alpha x} \cos (\beta x)\) y\(e^{\alpha x} \sin (\beta x)\) son dos soluciones linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general se convierte\(y(x)=e^{\alpha x}\left(c_{1} \cos (\beta x)+\right.\)\(\left.c_{2} \sin (\beta x)\right)\).

Como veremos, una de las aplicaciones más importantes de tales ecuaciones está en el estudio de las oscilaciones. Los sistemas típicos son una masa en un resorte, o un simple péndulo. Para una masa\(m\) en un resorte con constante de resorte\(k>0\), se tiene de la ley de Hooke que la posición en función del tiempo\(x(t)\),, satisface la ecuación

\(m \ddot{x}+k x=0\)

Esta ecuación de coeficiente constante tiene raíces imaginarias puras\((\alpha=0)\) y las soluciones son funciones simples de seno y coseno, lo que lleva a un movimiento armónico simple.

2.2.1: Reducción de Orden

HEMOS VISTO EL MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN Fue útil para obtener una segunda solución de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes cuando se conocía una solución. También se puede utilizar para resolver otras ecuaciones diferenciales de segundo orden. Primero, revisamos el método con el ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Verificar que\(y_{1}(x)=x e^{2 x}\) sea una solución de\(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0\) y utilice el Método de Reducción de Orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

Tomamos nota de que

\(\begin{aligned} &y_{1}^{\prime}(x)=(1+2 x) e^{2 x} \\ &y_{1}^{\prime \prime}(x)=[2+2(1+2 x)] e^{2 x}=(4+4 x) e^{2 x} \end{aligned}\)

Sustituyendo el\(y_{1}(x)\) y sus derivadas en la ecuación diferencial, tenemos

\[\begin{equation} \begin{aligned} y_{1}^{\prime \prime}-4 y_{1}^{\prime}+4 y_{1} &=(4+4 x) e^{2 x}-4(1+2 x) e^{2 x}+4 x e^{2 x} \\ &=0 \end{aligned}\end{equation} \label{2.15} \]

Para encontrar una segunda solución linealmente independiente,\(y_{2}(x)\), necesitamos una solución que no sea un múltiplo constante de\(y_{1}(x) .\) Entonces, adivinamos la forma\(y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)\). Para este ejemplo, la función y sus derivadas están dadas por

\(\begin{aligned} y_{2} &=v y_{1} \\ y_{2}^{\prime} &=\left(v y_{1}\right)^{\prime} \\ &=v^{\prime} y_{1}+v y_{1}^{\prime} \\ y_{2}^{\prime \prime} &=\left(v^{\prime} y_{1}+v y_{1}^{\prime}\right)^{\prime} \\ &=v^{\prime \prime} y_{1}+2 v^{\prime} y_{1}^{\prime}+v y_{1}^{\prime \prime} \end{aligned}\)

Sustituyendo\(y_{2}\) y sus derivadas en la ecuación diferencial, tenemos

\[\begin{equation} \begin{aligned} 0 &=y_{2}^{\prime \prime}-4 y_{2}^{\prime}+4 y_{2} \\ &=\left(v^{\prime \prime} y_{1}+2 v^{\prime} y_{1}^{\prime}+v y_{1}^{\prime \prime}\right)-4\left(v^{\prime} y_{1}+v y_{1}^{\prime}\right)+4 v y_{1} \\ &=v^{\prime \prime} y_{1}+2 v^{\prime} y_{1}^{\prime}-4 v^{\prime} y_{1}+v\left[y_{1}^{\prime \prime}-4 y_{1}^{\prime}+4 y_{1}\right] \\ &=v^{\prime \prime} y_{1}+2 v^{\prime} y_{1}^{\prime}-4 v^{\prime} y_{1} \\ &=v^{\prime \prime} x e^{2 x}+2 v^{\prime}(1+2 x) e^{2 x}-4 v^{\prime} x e^{2 x} \\ &=\left[v^{\prime \prime} x+2 v^{\prime}\right] e^{2 x} \end{aligned} \end{equation} \label{2.16} \]

Por lo tanto,\(v(x)\) satisface la ecuación

\(v^{\prime \prime} x+2 v^{\prime}=0\)

Esta es una ecuación de primer orden para\(v^{\prime}(x)\), que se puede ver introduciendo\(z(x)=v^{\prime}(x)\), que conduce a la ecuación de primer orden separable

\(x \dfrac{d z}{d x}=-2 z .\)

Esto se resuelve fácilmente para encontrar\(z(x)=\dfrac{A}{x^{2}}\). Esto da

\(z=\dfrac{d v}{d x}=\dfrac{A}{x^{2}}\)

Una mayor integración conduce a

\(v(x)=-\dfrac{A}{x}+C\)

Esto da

\(\begin{aligned} y_{2}(x) &=\left(-\dfrac{A}{x}+C\right) x e^{2 x} \\ &=-A e^{2 x}+C x e^{2 x} \end{aligned}\)

Tenga en cuenta que el segundo término es el original\(y_{1}(x)\), por lo que no necesitamos este término y podemos fijarlo\(C=0\). Dado que la segunda solución linealmente independiente se puede determinar hasta una constante multiplicativa, podemos establecer\(A=-1\) para obtener la respuesta\(y_{2}(x)=e^{2 x} .\) Tenga en cuenta que este argumento para obtener la forma simple es razón suficiente para ignorar las constantes de integración al emplear el Método de Reducción de Orden.

Para un ejemplo sin coeficientes constantes, considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Verificar que\(y_{1}(x)=x\) sea una solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=\) 0 y utilizar el Método de Reducción de Orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

Sustituyendo el\(y_{1}(x)=x\) y sus derivadas en la ecuación diferencial, tenemos

\[\begin{equation} \begin{aligned} x^{2} y_{1}^{\prime \prime}-4 x y_{1}^{\prime}+4 y_{1} &=0-4 x+4 x \\ &=0 \end{aligned} \end{equation}\label{2.17} \]

Para encontrar una segunda solución linealmente independiente,\(y_{2}(x)\), necesitamos una solución que no sea un múltiplo constante de\(y_{1}(x) .\) Entonces, adivinamos la forma\(y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)\). Para este ejemplo, la función y sus derivadas están dadas por

\(\begin{aligned} y_{2} &=x v \\ y_{2}^{\prime} &=(x v)^{\prime} \\ &=v+x v^{\prime} \\ y_{2}^{\prime \prime} &=\left(v+x v^{\prime}\right)^{\prime} \\ &=2 v^{\prime}+x v^{\prime \prime} \end{aligned}\)

Sustituyendo\(y_{2}=x v(x)\) y sus derivadas en la ecuación diferencial, tenemos

\[ \begin{aligned} 0 &=x^{2} y_{2}^{\prime \prime}-4 x y_{2}^{\prime}+4 y_{2} \\ &=x^{2}\left(2 v^{\prime}+x v^{\prime \prime}\right)-4 x\left(v+x v^{\prime}\right)+4 x v \\ &=x^{3} v^{\prime \prime}-2 x^{2} v^{\prime} \end{aligned} \label{2.18} \]

Observe cómo los\(v\) -términos cancelan, dejando

\(x v^{\prime \prime}=2 v^{\prime}\)

Esta ecuación se resuelve introduciendo\(z(x)=v^{\prime}(x) .\) Entonces, la ecuación se convierte

\(x \dfrac{d z}{d x}=2 z .\)

Usando la separación de variables, tenemos

\(z=\dfrac{d v}{d x}=A x^{2}\)

Integrando, obtenemos

\(v=\dfrac{1}{3} A x^{3}+B\)

Esto lleva a la segunda solución en la forma

\(y_{2}(x)=x\left(\dfrac{1}{3} A x^{3}+B\right)=\dfrac{1}{3} A x^{4}+B x .\)

Dado que la solución general es

\(y(x)=c_{1} x+c_{2}\left(\dfrac{1}{3} A x^{4}+B x\right)\)

vemos que podemos elegir\(B=0\) y\(A=3\) obtian la solución general como

\(y(x)=c_{1} x+c_{2} x^{4}\)

Por lo tanto, normalmente no necesitamos las constantes arbitrarias que se encuentran en el uso de reducción de orden y simplemente reportar eso\(y_{2}(x)=x^{4}\).