2.6: Problemas

1. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Cuando se da una condición inicial, encuentra la solución particular que satisface esa condición.
   1. \(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=0\)
   2. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\).
   3. \(8 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\).
   4. \(x^{\prime \prime}-x^{\prime}-6 x=0\)para\(x=x(t)\).
2. Verificar que la función dada es una solución y usa Reducción de Orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.
   1. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}(x)=x^{4}\).
   2. \(x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 x^{3} y=0, \quad y_{1}(x)=\sin \left(x^{2}\right)\).
   3. \(\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0, \quad y_{1}(x)=x\). [Nota: Esta es una solución de la ecuación diferencial de Legendre en el Ejemplo 4.4.]
   4. \((x-1) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0, \quad y_{1}(x)=e^{x} .\)
3. Demostrar eso\(y_{1}(x)=\sinh x\) y\(y_{2}(x)=3 \sinh x-2 \cosh x\) son soluciones linealmente independientes de\(y^{\prime \prime}-y=0 .\) Write\(y_{3}(x)=\cosh x\) como una combinación lineal de\(y_{1}\) y\(y_{2}\).
4. Considera la ecuación diferencial no homogénea\(x^{\prime \prime}-3 x^{\prime}+2 x=6 e^{3 t}\).
   1. Encuentra la solución general de la ecuación homogénea.
   2. Encuentra una solución particular usando el Método de Coeficientes Indeterminados adivinando\(x_{p}(t)=A e^{3 t}\).
   3. Usa tus respuestas en las partes anteriores para anotar la solución general para este problema.
5. Encuentra la solución general de la ecuación dada por el método dado.
   1. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=10\), Coeficientes indeterminados.
   2. \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5+10 \sin 2 x\), Coeficientes indeterminados.
   3. \(y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{x}\), Reducción de Orden.
   4. \(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=3 e^{x}\), Reducción de Orden.
   5. \(y^{\prime \prime}+y=\sec ^{3} x\), Reducción de Orden.
   6. \(y^{\prime \prime}+y^{\prime}=3 x^{2}\), Variación de Parámetros.
   7. \(y^{\prime \prime}-y=e^{x}+1\), Variación de Parámetros.
6. Utilice el Método de Variación de Parámetros para determinar la solución general para los siguientes problemas.
   1. \(y^{\prime \prime}+y=\tan x\).
   2. \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=6 x e^{2 x}\).
   3. \(y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\dfrac{e^{2 x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\).
   4. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\cos \left(e^{x}\right)\).
7. En lugar de suponer que\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=0\) en la derivación de la solución usando Variación de Parámetros, asuma que\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=h(x)\) para una función arbitraria\(h(x)\) y mostrar que uno obtiene la misma solución particular.
8. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para\(x>\) 0. Cuando se da una condición inicial, encuentra la solución particular que satisface esa condición.
   1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+2 y=0\).
   2. \(x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=0\).
   3. \(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0\).
   4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=0, \quad y(1)=3, y^{\prime}(1)=0\).
   5. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0\).
9. Otro enfoque para resolver ecuaciones de Cauchy-Euler es transformar la ecuación en una con coeficientes constantes.
   1. \[\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}\left(\dfrac{d^{2} v}{d t^{2}}-\dfrac{d v}{d t}\right) \nonumber \]

   2. Utilice la transformación anterior para resolver las siguientes ecuaciones:
      1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0\).
      2. \(2 x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+y=0\).
      3. \(4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0\).
      4. \(x^{3} y^{\prime \prime \prime}+x y^{\prime}-y=0\).
10. Resuelve las siguientes ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Euler para\(x>0\).
    1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=3 x^{2}\).
    2. \(2 x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+y=x^{2}+x\).
    3. \(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=2 x^{3}\).
    4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=5 x^{2}, \quad y(1)=3, y^{\prime}(1)=0\).
11. Un resorte fijado en su extremo superior se estira seis pulgadas por un peso de 1 libra unido en su extremo inferior. El sistema de masa de resorte se suspende en un medio viscoso para que el sistema se someta a una fuerza de amortiguación de\(5 \dfrac{d x}{d t}\) lbs. Describa el movimiento del sistema si el peso se estira hacia abajo 4 pulgadas adicionales y se libera. ¿Qué pasaría si cambiaras el coeficiente "5" a "4 “? [Es posible que deba consultar su texto introductorio a la física. Por ejemplo, el peso y la masa están relacionados por\(W=m g\), donde la masa está en babosas y\(g=32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\).]
12. Considere un circuito LRC con\(L=1.00 \mathrm{H}, R=1.00 \times 10^{2} \Omega, C=\)\(1.00 \times 10^{-4} \mathrm{f}\), y\(V=1.00 \times 10^{3}\) V. Supongamos que no hay carga presente y no fluye corriente en el\(t=0\) momento en que\(V\) se inserta una batería de voltaje. Encuentra la corriente y la carga en el condensador como funciones del tiempo. Describir cómo se comporta el sistema a lo largo del tiempo.
13. Considerar el problema de las oscilaciones forzadas como se describe en la sección\(2.4.2.\)
    1. Trazar las soluciones en Ecuación\((2.4.35)\) para los siguientes casos: Let\(c_{1}=0.5, c_{2}=0, F_{0}=1.0 \mathrm{~N}\), y\(m=1.0 \mathrm{~kg}\) para\(t \in[0,100] .\)
       1. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=0.1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
       2. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=0.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
       3. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
       4. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=2.2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
       5. \(\omega_{0}=1.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
       6. \(\omega_{0}=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
    2. Confirmar que la solución en Ecuación\((2.4.36)\) es la misma que la solución en Ecuación\((2.4.35)\) para\(F_{0}=2.0 \mathrm{~N}, m=10.0 \mathrm{~kg}, \omega_{0}=1.5\)\(\mathrm{rad} / \mathrm{s}\)\(\omega=1.25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\), y, trazando ambas soluciones para\(t \in\)\([0,100]\).
14. Un cierto modelo de la bola de plástico de luz de movimiento lanzada al aire viene dado por

\(m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+m g=0, \quad x(0)=0, \quad x^{\prime}(0)=v_{0}\)

Aquí\(m\) está la masa de la bola,\(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) es la aceleración por gravedad y\(c\) es una medida de la amortiguación. Como no hay\(x\) término, podemos escribir esto como una ecuación de primer orden para la velocidad\(v(t)=x^{\prime}(t)\):

\(m v^{\prime}+c v+m g=0\)

1. Encuentre la solución general para la velocidad\(v(t)\) de la ecuación diferencial lineal de primer orden anterior.
2. Utilice la solución de la parte a para encontrar la solución general para el puesto\(x(t)\).
3. ¿Encuentra una expresión para determinar cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
4. Supongamos que\(c / m=5 \mathrm{~s}^{-1}\). Para\(v_{0}=5,10,15,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), trazar la solución,\(x(t)\) versus el tiempo, usando software de computadora.
5. A partir de sus parcelas y la expresión en parte\(c\), determine el tiempo de subida. ¿Estas respuestas están de acuerdo?
6. ¿Qué puedes decir sobre el tiempo que tarda la pelota en caer en comparación con el tiempo de subida?

15. Encuentre la solución de cada problema de valor inicial utilizando la función de valor inicial apropiado de Green.
    1. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\)
    2. \(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x, \quad y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=0\).
    3. \(y^{\prime \prime}+y=1+2 \cos x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0\).
    4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}-x, \quad y(1)=\pi, \quad y^{\prime}(1)=0\).
16. Utilice el valor inicial La función de Green para\(x^{\prime \prime}+x=f(t), x(0)=4\),\(x^{\prime}(0)=0\), para resolver los siguientes problemas.
    1. \(x^{\prime \prime}+x=5 t^{2}\).
    2. \(x^{\prime \prime}+x=2 \tan t\).
17. Para el problema\(y^{\prime \prime}-k^{2} y=f(x), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\),
    1. Encuentra el valor inicial Función de Green.
    2. Usa la función de Green para resolver\(y^{\prime \prime}-y=e^{-x}\).
    3. Usa la función de Green para resolver\(y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}\).
18. Encuentra y usa el valor inicial de la función de Green para resolver

\(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-15 y=x^{4} e^{x}, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=0\)