2.5: Ecuaciones de Cauchy-Euler
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OTRA CLASE DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES SOLUCIONABLES que es de interés son las ecuaciones del tipo Cauchy-Euler, también referidas en algunos libros como ecuación de Euler. Estos son dados por
\[a x^{2} y^{\prime \prime}(x)+b x y^{\prime}(x)+c y(x)=0 \label{2.95} \]
Obsérvese que en tales ecuaciones la potencia de\(x\) en cada uno de los coeficientes coincide con el orden de la derivada en ese término. Estas ecuaciones se resuelven de manera similar a las ecuaciones de coeficiente constante.
Uno comienza por hacer la conjetura\(y(x)=x^{r}\). Insertando esta función y sus derivadas,
\(y^{\prime}(x)=r x^{r-1}, \quad y^{\prime \prime}(x)=r(r-1) x^{r-2}\)
en Ecuación\(\PageIndex{1}\), tenemos
\([a r(r-1)+b r+c] x^{r}=0\)
Como esto tiene que ser cierto para todos\(x\) en el dominio del problema, obtenemos la ecuación característica
\[a r(r-1)+b r+c=0 \nonumber \]
Las soluciones de las ecuaciones de Cauchy-Euler se pueden encontrar usando la ecuación característica\(ar(r-1)+b r+c=0\)
Al igual que la ecuación diferencial de coeficiente constante, tenemos una ecuación cuadrática y la naturaleza de las raíces vuelve a conducir a tres clases de soluciones. Si hay dos raíces reales y distintas, entonces la solución general toma la forma\(y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}\)
Para dos raíces reales y distintas, la solución general toma la forma\(y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}} .\)
Encuentre la solución general:\(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+12 y=0\)
Al igual que con las ecuaciones de coeficiente constante, comenzamos por anotar la ecuación característica. Haciendo un cómputo simple,
\[ \begin{aligned} & 0=r(r-1)+5 r+12 \\ & =r^{2}+4 r+12 \\ & =(r+2)^{2}+8, \\ & -8=(r+2)^{2}, \end{aligned} \label{2.97} \]
uno determina que las raíces son\(r=-2 \pm 2 \sqrt{2} i\). Por lo tanto, la solución general es\(y(x)=\left[c_{1} \cos (2 \sqrt{2} \ln |x|)+c_{2} \sin (2 \sqrt{2} \ln |x|)\right] x^{-2}\)
Derivar la solución para el Caso 2 para las ecuaciones de Cauchy-Euler funciona de la misma manera que la segunda para las ecuaciones de coeficiente constante, pero es un poco más desordenado. Primero señalar que para la raíz real,\(r=r_{1}\), la ecuación característica tiene que factificar como\(\left(r-r_{1}\right)^{2}=0 .\) Expandiendo, tenemos
\(r^{2}-2 r_{1} r+r_{1}^{2}=0\)
La ecuación característica general es
\(a r(r-1)+b r+c=0\)
Dividiendo esta ecuación\(a\) y reescribiendo, tenemos
\(r^{2}+\left(\dfrac{b}{a}-1\right) r+\dfrac{c}{a}=0\)
Comparando ecuaciones, encontramos
\(\dfrac{b}{a}=1-2 r_{1}, \quad \dfrac{c}{a}=r_{1}^{2}\)
Entonces, la ecuación de Cauchy-Euler para este caso se puede escribir en la forma
\(x^{2} y^{\prime \prime}+\left(1-2 r_{1}\right) x y^{\prime}+r_{1}^{2} y=0\)
Ahora buscamos la segunda solución linealmente independiente en la forma\(y_{2}(x)=\)\(v(x) x^{r_{1}}\). Primero enumeramos esta función y sus derivados,
\[\begin{equation} \begin{aligned} &y_{2}(x)=v x^{r_{1}} \\ &y_{2}^{\prime}(x)=\left(x v^{\prime}+r_{1} v\right) x^{r_{1}-1} \\ &y_{2}^{\prime \prime}(x)=\left(x^{2} v^{\prime \prime}+2 r_{1} x v^{\prime}+r_{1}\left(r_{1}-1\right) v\right) x^{r_{1}-2} \end{aligned}\end{equation}\label{2.98} \]
Insertando estas formas en la ecuación diferencial, tenemos
\[ \begin{aligned} 0 &=x^{2} y^{\prime \prime}+\left(1-2 r_{1}\right) x y^{\prime}+r_{1}^{2} y \\ &=\left(x v^{\prime \prime}+v^{\prime}\right) x^{r_{1}+1} \end{aligned} \label{2.99} \]
Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación
\(x v^{\prime \prime}+v^{\prime}=0\)
O
\(\dfrac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}}=-\dfrac{1}{x}\)
Integrando, tenemos
\(\ln \left|v^{\prime}\right|=-\ln |x|+C\)
donde\(A=\pm e^{C}\) absorbe\(C\) y los signos de los valores absolutos. Exponenciando, obtenemos una última ecuación diferencial para resolver,
\(v^{\prime}=\dfrac{A}{x}\)
Por lo tanto,
\(v(x)=A \ln |x|+k\)
Entonces, hemos encontrado que la segunda ecuación linealmente independiente puede escribirse como
\(y_{2}(x)=x^{r_{1}} \ln |x|.\)
Por lo tanto, la solución general se encuentra como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |x|\right) x^{r}\).
Para una raíz,\(r_{1}=r_{2}=r\), the general solution is of the form \(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |x|\right) x^{r}.\)
Resolver el problema de valor inicial:\(t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0\), Con las condiciones iniciales\(y(1)=0, y^{\prime}(1)=1\).
Para este ejemplo la ecuación característica toma la forma
\(r(r-1)+3 r+1=0\)
o
\(r^{2}+2 r+1=0\)
Sólo hay una raíz real,\(r=-1\). Por lo tanto, la solución general es
\(y(t)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |t|\right) t^{-1}\)
Sin embargo, este problema es un problema de valor inicial. En\(t=1\) conocemos los valores de\(y\) y\(y^{\prime}\). Usando la solución general, primero tenemos eso
\(0=y(1)=c_{1}\)
Así, tenemos hasta el momento eso\(y(t)=c_{2} \ln |t| t^{-1}\).
Ahora, usando la segunda condición y
\(y^{\prime}(t)=c_{2}(1-\ln |t|) t^{-2}\)
tenemos
\(1=y(1)=c_{2}\)
Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es\(y(t)=\ln |t| t^{-1}\).
Pasamos ahora al caso de las raíces conjugadas complejas,\(r=\alpha \pm i \beta .\) Al tratar con las ecuaciones de Cauchy-Euler, tenemos soluciones de la forma\(y(x)=x^{\alpha+i \beta} .\) La clave para obtener soluciones reales es primero reescribir\(x^{y}:\)
\[x^{y}=e^{\ln x^{y}}=e^{y \ln x}\nonumber \]
Así, un poder puede escribirse como exponencial y la solución puede escribirse como
\[y(x)=x^{\alpha+i \beta}=x^{\alpha} e^{i \beta \ln x}, \quad x>0 \nonumber \]
Para raíces conjugadas complejas\(r=\alpha \pm i \beta\),, la solución general toma la forma\(y(x)=x^{\alpha}\left(c_{1} \cos (\beta \ln |x|)+c_{2} \sin (\beta \ln |x|)\right)\)
Recordando que
\(e^{i \beta \ln x}=\cos (\beta \ln |x|)+i \sin (\beta \ln |x|)\),
ahora podemos encontrar dos soluciones reales, linealmente independientes,\(x^{\alpha} \cos (\beta \ln |x|)\) y\(x^{\alpha} \sin (\beta \ln |x|)\) siguiendo los mismos pasos que antes para el caso del coeficiente constante. Esto da la solución general como
\(y(x)=x^{\alpha}\left(c_{1} \cos (\beta \ln |x|)+c_{2} \sin (\beta \ln |x|)\right)\)
Resolver:\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+5 y=0\).
La ecuación característica toma la forma
\(r(r-1)-r+5=0\)
o
\(r^{2}-2 r+5=0\)
Las raíces de esta ecuación son complejas,\(r_{1,2}=1 \pm 2 i\). Por lo tanto, la solución general es\(y(x)=x\left(c_{1} \cos (2 \ln |x|)+c_{2} \sin (2 \ln |x|)\right)\).
Los tres casos se resumen en la siguiente tabla.
Clasificación de raíces de la ecuación característica para ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler
- Raíces reales, distintas\(r_{1}, r_{2} .\) En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general es simplemente\(y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}\).
- Raíces reales e iguales\(r_{1}=r_{2}=r\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente dependientes. Para encontrar una segunda solución linealmente independiente, se utiliza el Método de Reducción del Orden. Esto da la segunda solución como\(x^{r} \ln |x| .\) Por lo tanto, la solución general se encuentra como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |x|\right) x^{r}\).
- Raíces conjugadas complejas\(r_{1}, r_{2}=\alpha \pm i \beta .\) En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Estos exponenciales complejos pueden ser reescritos en términos de funciones trigonométricas. A saber, uno tiene eso\(x^{\alpha} \cos (\beta \ln |x|)\) y\(x^{\alpha} \sin (\beta \ln |x|)\) son dos soluciones linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general se convierte\(y(x)=x^{\alpha}\left(c_{1} \cos (\beta \ln |x|)+c_{2} \sin (\beta \ln |x|)\right)\).
Ecuaciones de Cauchy-Euler no homogéneas
También podemos resolver algunas ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Euler utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados o el Método de Variación de Parámetros. Demostraremos esto con un par de ejemplos.
Encuentra la solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{2}\).
Solución
Primero encontramos la solución de la ecuación homogénea. La ecuación característica es\(r^{2}-2 r-3=0 .\) Entonces, las raíces son\(r=-1,3\) y la solución es\(y_{h}(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}\).
A continuación necesitamos una solución particular. Vamos a adivinar\(y_{p}(x)=A x^{2}\). Insertando la conjetura en la ecuación diferencial no homogénea, tenemos
\[ \begin{aligned} 2 x^{2} &=x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{2} \\ &=2 A x^{2}-2 A x^{2}-3 A x^{2} \\ &=-3 A x^{2} \end{aligned}\label{2.100} \]
Entonces,\(A=-2 / 3\). Por lo tanto, la solución general del problema es
\(y(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}-\dfrac{2}{3} x^{2}\)
Encuentra la solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{3}\).
Solución
En este caso el término no homogéneo es una solución del problema homogéneo, que resolvimos en el último ejemplo. Entonces, necesitaremos una modificación del método. Tenemos un problema de la forma
\(a x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=d x^{r}\)
donde\(r\) esta una solución de\(ar(r-1)+b r+c=0 .\) Vamos a adivinar una solución de la forma\(y=A x^{r} \ln x .\) Entonces uno encuentra que la ecuación diferencial se reduce a\(A x^{r}(2 a r-a+b)=d x^{r}\). [Debes verificar esto por ti mismo.]
Con esto en mente, ahora podemos resolver el problema que nos ocupa. Dejar\(y_{p}=A x^{3} \ln x .\) Insertar en la ecuación, obtenemos\(4 A x^{3}=2 x^{3}\), o\(A=1 / 2 .\) La solución general del problema ahora se puede escribir como
\(y(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{3} \ln x\)
Encuentre la solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{3}\) usar Variación de Parámetros.
Solución
Como se señaló en los ejemplos anteriores, la solución del problema homogéneo tiene dos soluciones linealmente independientes,\(y_{1}(x)=x^{-1}\) y\(y_{2}(x)=x^{3}\). Asumiendo una solución particular de la forma\(y_{p}(x)=\)\(c_{1}(x) y_{1}(x)+c_{2}(x) y_{2}(x)\), necesitamos resolver el sistema\(2.4.25\):
\[ \begin{aligned} c_{1}^{\prime}(x) x^{-1}+c_{2}^{\prime}(x) x^{3} &=0 \\ -c_{1}^{\prime}(x) x^{-2}+3 c_{2}^{\prime}(x) x^{2} &=\dfrac{2 x^{3}}{x^{2}}=2 x . \end{aligned}\label{2.101} \]
De la primera ecuación del sistema tenemos\(c_{1}^{\prime}(x)=-x^{4} c_{2}^{\prime}(x) .\) Sustituyendo esto en la segunda ecuación da\(c_{2}^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 x} .\) Así,\(c_{2}(x)=\)\(\dfrac{1}{2} \ln |x|\) y, por lo tanto,\(c_{1}(x)=\dfrac{1}{8} x^{4}\). La solución particular es
\(y_{p}(x)=c_{1}(x) y_{1}(x)+c_{2}(x) y_{2}(x)=\dfrac{1}{8} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{3} \ln |x|\)
Añadiendo esto a la solución homogénea, obtenemos la misma solución que en el último ejemplo usando el Método de Coeficientes Indeterminados. Sin embargo, como\(\dfrac{1}{8} x^{3}\) es una solución del problema homogéneo, puede ser absorbido en los primeros términos, dejando
\(y(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{3} \ln x\)