4: Soluciones en serie
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“En la mayoría de las ciencias una generación derriba lo que otra ha construido y lo que uno ha establecido a otra deshace. Solo en matemáticas cada generación agrega una nueva historia a la vieja estructura.” - Hermann Hankel (1839-1873)
- 4.1: Introducción a la serie Power
- Como se señaló UNAS VECES, no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones exactas. Entonces, necesitamos recurrir a buscar soluciones aproximadas, o soluciones i el barrio del valor inicial. Antes de describir estos métodos, necesitamos recordar series de potencia.
- 4.2: Método de la serie de potencia
- EN EL ÚLTIMO EJEMPLO PODEMOS utilizar la condición inicial para producir una solución en serie a la ecuación diferencial dada. Incluso si especificamos condiciones iniciales más generales, ¿existen otras formas de obtener soluciones en serie? ¿Podemos encontrar una solución general en forma de serie de potencia?
- 4.3: Puntos Singulares
- El método de series de potencia no siempre nos da la solución general completa a una ecuación diferencial. Pueden surgir problemas cuando la ecuación diferencial tiene puntos singulares. Las ecuaciones más simples que tienen puntos singulares son las ecuaciones de Cauchy-Euler.
- 4.5: Polinomios de Legendre
- Los polinomios de Legendre son uno de un conjunto de polinomios ortogonales clásicos. Estos polinomios satisfacen una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta ecuación diferencial ocurre naturalmente en la solución de problemas iniciales de valores límite en tres dimensiones que poseen cierta simetría esférica.
- 4.6: Funciones de Bessel
- Las funciones de BESSEL surgen en muchos problemas en la física que poseen simetría cilíndrica, como las vibraciones de los cabezales de tambor circulares y los modos radiales en las fibras ópticas. También nos proporcionan otro conjunto ortogonal de funciones básicas.
- 4.7: Función Gamma
- Una función que a menudo ocurre en el estudio de las funciones especiales es la función Gamma. Necesitaremos la función Gamma en la siguiente sección sobre la serie Fourier-Bessel.
- 4.8: Funciones hipergeométricas
- Las funciones hipergeométricas son probablemente la clase de funciones más útil, pero menos entendida. Por lo general, no entran en el plan de estudios de pregrado y rara vez en el currículo de posgrado. La mayoría de las funciones que conoces se pueden expresar usando funciones hipergeométricas.