4.1: Introducción a la serie Power
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Como se señaló UNAS VECES, no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones exactas. Entonces, necesitamos recurrir a buscar soluciones aproximadas, o soluciones i el barrio del valor inicial. Antes de describir estos métodos, necesitamos recordar series de potencia. Una expansión de la serie de potencia sobre\(x=a\) con la secuencia de coeficientes\(c_{n}\) viene dada por\(\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\). Por ahora consideraremos que todas las constantes son números reales con\(x\) en algún subconjunto del conjunto de números reales. Revisamos series de potencia en el apéndice.
Los dos tipos de series que se encuentran en el cálculo son las series Taylor y Maclaurin. Una expansión de la serie Taylor de\(f(x)\) aproximadamente\(x=a\) es la serie
(Expansión de la serie Taylor.)
\[f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n} \nonumber \]
donde
\[c_{n}=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n !} . \nonumber \]
Tenga en cuenta que usamos\(\sim\) para indicar que aún tenemos que determinar cuándo la serie puede converger a la función dada.
(Expansión de la serie Maclaurin.) Una expansión de la serie Maclaurin de\(f(x)\) es una expansión de la serie Taylor de\(f(x)\) aproximadamente\(x=0\), o
\[f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \nonumber \]
donde
\[c_{n}=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n !} \nonumber \]
Observamos que las series Maclaurin son un caso especial de la serie Taylor para la cual Observamos que las series Maclaurin son un caso especial de la serie Taylor para la que la expansión es sobre la serie\(x=0 .\) Típica de Maclaurin, que debes conocer, se dan en Figura\(\PageIndex{1}\).
Un ejemplo sencillo de desarrollar una solución en serie para una ecuación diferencial se da en el siguiente ejemplo.
\(y^{\prime}(x)=x+y(x), y(0)=1\).
Nos interesa buscar soluciones a este problema de valor inicial. Observamos que esto ya se resolvió en el Ejemplo 3.1. Supongamos que podemos escribir la solución como la serie Maclaurin
\[\begin{equation} \begin{aligned} y(x) &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{y^{(n)}(x)}{n !} x^{n} \\ &=y(0)+y^{\prime}(0) x+\dfrac{1}{2} y^{\prime \prime}(0) x^{2}+\dfrac{1}{6} y^{\prime \prime \prime}(0) x^{3}+\ldots \end{aligned}\end{equation} \label{4.5} \]
Ya sabemos eso\(y(0)=1 .\) Entonces, conocemos el primer término en la expansión de la serie. Podemos encontrar el valor de\(y^{\prime}(0)\) a partir de la ecuación diferencial:
\[y^{\prime}(0)=0+y(0)=1 \nonumber \]
Para obtener valores de las derivadas de orden superior en\(x=0\), diferenciamos la ecuación diferencial varias veces:
\[ \begin{aligned} y^{\prime \prime}(x) &=1+y^{\prime}(x) \\ y^{\prime \prime}(0) &=1+y^{\prime}(0)=2 \\ y^{\prime \prime \prime}(x) &=y^{\prime \prime}(x)=2 \end{aligned} \label{4.6} \]
Todos los demás valores de las derivadas son iguales. Por lo tanto, tenemos
\[y(x)=1+x+2\left(\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{3 !} x^{3}+\ldots\right) \nonumber. \nonumber \]
Esta solución se puede sumar como
\[y(x)=2\left(1+x+\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{3 !} x^{3}+\ldots\right)-1-x=2 e^{x}-x-1 .\nonumber \]
Este es el mismo resultado que habíamos obtenido antes.