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LibreTexts Español

4.9: Problemas

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. Encuentre los primeros cuatro términos en la expansión de la serie Taylor de la solución
      a a.\(y^{\prime}(x)=y(x)-x, y(0)=2\)
      b\(y^{\prime}(x)=2 x y(x)-x^{3}, y(0)=1\).
      \((1+x) y^{\prime}(x)=p y(x), y(0)=1\)c.
      d\(y^{\prime}(x)=\sqrt{x^{2}+y^{2}(x)}, y(0)=1\).
      e\(y^{\prime \prime}(x)-2 x y^{\prime}(x)+2 y(x)=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\).

    2. Utilice el método de la serie de potencia para obtener soluciones de series de potencia sobre el punto dado.
      a\(y^{\prime}=y-x, y(0)=2, x_{0}=0\).
      b\((1+x) y^{\prime}(x)=p y(x), x_{0}=0\).
      \(y^{\prime \prime}+9 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0, x_{0}=0\)c.
      d\(y^{\prime \prime}+2 x^{2} y^{\prime}+x y=0, x_{0}=0\).
      e\(y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+3 y=0, y(0)=2, x_{0}=0\).
      f\(x y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=e^{x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2, x_{0}=0\).
      g\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0, x_{0}=1\).

    3. En Ejemplo\(4.3\) encontramos la solución general de la serie Maclaurin para

    \[y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0 \nonumber \]

    1. Demostrar que una solución de este problema es\(y_{1}(x)=e^{x^{2} / 2}\).
    2. Encuentre los primeros cinco términos distintos de cero de la expansión de la serie Maclaurin para\(y_{1}(x)\) y
    3. d. Verificar que esta segunda solución sea consistente con la solución que se encuentra en el Ejemplo\(4.3\).
    1. Encuentre al menos una solución sobre el\(\operatorname{singular}\) punto\(x=0\) usando el método de la serie de potencia. Determinar la segunda solución utilizando el método de reducción de orden.

    a\(x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0\).
    b\(x y^{\prime \prime}+(1-x) y^{\prime}-y=0\).
    \(x^{2} y^{\prime \prime}-x(1-x) y^{\prime}+y=0\)c.

    1. Enumere los puntos singulares en el plano finito de los siguientes:
    1. \(\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+\dfrac{3}{x+2} y^{\prime}+\dfrac{(1-x)^{2}}{x+3} y=0\).
    2. \(\dfrac{1}{x} y^{\prime \prime}+\dfrac{3(x-4)}{x+6} y^{\prime}+\dfrac{x^{2}(x-2)}{x-1} y=0\)
    3. \(y^{\prime \prime}+x y=0\).
    4. \(x^{2}(x-2) y^{\prime \prime}+4(x-2) y^{\prime}+3 y=0\).
    1. A veces uno está interesado en soluciones para grandes\(x\). Esto lleva al concepto del punto en el infinito.

    a. dejar\(z=\dfrac{1}{x}\) y\(y(x)=v(z)\). Usando la regla de la cadena, demuestre que

    \[\begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} &=-z^{2} \dfrac{d v}{d z} \\ \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} &=z^{4} \dfrac{d^{2} v}{d z^{2}}+2 z^{2} \dfrac{d v}{d z} \end{aligned} \nonumber \]

    b. Utilizar la transformación de la parte (a) para transformar la ecuación diferencial\(x^{2} y^{\prime \prime}+y=0\) en una ecuación para\(w(z)\) y clasificar el punto en el infinito determinando si\(w=0\) es un punto ordinario, un punto singular regular o un punto singular irregular.

    c. Clasifique el punto al infinito para las siguientes ecuaciones:

    i\(y^{\prime \prime}+x y=0\).

    ii. \(x^{2}(x-2) y^{\prime \prime}+4(x-2) y^{\prime}+3 y=0\).

    1. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones utilizando el Método de Frobenius en\(x=0\).

    a.\(4 x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0\)

    b.\(y^{\prime \prime}+\dfrac{1}{4 x^{2}} y=0\)

    \(x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+x y=0\)c.

    d\(y^{\prime \prime}+\dfrac{1}{2 x} y^{\prime}-\dfrac{x+1}{2 x^{2}} y=0\).

    d\(4 x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-1\right) y=0\).

    e\(2 x(x+1) y^{\prime \prime}+3(x+1) y^{\prime}-y=0\).

    f\(x^{2} y^{\prime \prime}-x(1+x) y^{\prime}+y=0\).

    g\(x y^{\prime \prime}-(4+x) y^{\prime}+2 y=0\).

    1. Encuentra\(P_{4}(x)\) usando

    a. La Fórmula Rodrigues en la Ecuación 4.5.1.

    b. La fórmula de recursión de tres términos en la Ecuación 4.5.3.

    9. En las Ecuaciones 4.5.13 a través de la Ecuación 4.5.20 proporcionamos varias identidades para polinomios de Legendre. Derivar los resultados en las Ecuaciones 4.5.14 a 4.5.20 como se describe en el texto. A saber,

    a. Ecuación Diferenciante 4.5.13 con respecto a\(x\), derivar la Ecuación 4.5.14.

    b. Derivar la Ecuación 4.5.15\(g(x, t)\) diferenciando\(x\) y reordenando las series infinitas resultantes.

    c. Combinando el resultado anterior con la Ecuación 4.5.13, derivar las Ecuaciones 4.5.16 y 4.5.17.

    d. Sumando y restando las Ecuaciones 4.5.16 y 4.5.17, obtener las Ecuaciones 4.5.18 y 4.5.19.

    e. Derivar la ecuación 4.5.20 usando algunas de las otras identidades.

    1. Utilice la relación de recursión Ecuación 4.5.3 para evaluar\(\int_{-1}^{1} x P_{n}(x) P_{m}(x) d x, n \leq m\).
    2. Considera la ecuación de Hermite

    \[y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0 \nonumber \]

    Determinar la fórmula de recursión para los coeficientes en una solución en serie,\(y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} x^{k} .\) Mostrar que si\(n\) es un entero, entonces una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio.

    1. Usando el método de series de potencia para encontrar la solución general de la ecuación de Airy,

    \[y^{\prime \prime}-x y=0 \nonumber \]

    1. Utilice la integración por partes para mostrar\(\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)\).
    2. Demostrar las identidades factoriales dobles:

    \[(2 n) ! !=2^{n} n ! \nonumber \]

    y

    \[(2 n-1) ! !=\dfrac{(2 n) !}{2^{n} n !} \nonumber \]

    1. Uso de la propiedad\(\Gamma(x+1)=x \Gamma(x), x>0\), y\(\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\), demostrar que

    \[\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(2 n-1) ! !}{2^{n}} \sqrt{\pi} \nonumber \]

    1. Exprese lo siguiente como funciones Gamma. Es decir, tomando nota de la forma\(\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} d t\) y utilizando una sustitución apropiada, cada expresión puede escribirse en términos de una función Gamma.
      a\(\int_{0}^{\infty} x^{2 / 3} e^{-x} d x\).
      b.\(\int_{0}^{\infty} x^{5} e^{-x^{2}} d x\)
      \(\int_{0}^{1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)\right]^{n} d x\) c.

    2. Una solución de la ecuación de Bessel,\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-n^{2}\right) y=0\), se puede encontrar usando la conjetura\(y(x)=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j} x^{j+n} .\) Uno obtiene la relación de recurrencia\(a_{j}=\dfrac{-1}{j(2 n+j)} a_{j-2}\). Demuestre que para\(a_{0}=\left(n ! 2^{n}\right)^{-1}\), obtenemos la función Bessel del primer tipo de orden\(n\) a partir de los valores pares\(j=2 k:\)

    \[J_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{k !(n+k) !}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n+2 k} \nonumber \]

    1. Utilice la serie infinita en Problema 17 para derivar las identidades derivadas Ecuación 4.6.4 y 4.6.5:
      a\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{n} J_{n}(x)\right]=x^{n} J_{n-1}(x)\).
      b\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{-n} J_{n}(x)\right]=-x^{-n} J_{n+1}(x)\).

    2. Demostrar las siguientes identidades con base en las del Problema 18.
    1. \(J_{p-1}(x)+J_{p+1}(x)=\dfrac{2 p}{x} J_{p}(x) .\)
    2. \(J_{p-1}(x)-J_{p+1}(x)=2 J_{p}^{\prime}(x) .\)
    1. Utilizar las identidades derivadas de las funciones de Bessel, Ecuación 4.6.4 y 4.6.5, e integración por partes para mostrar que

    \[\int x^{3} J_{0}(x) d x=x^{3} J_{1}(x)-2 x^{2} J_{2}(x)+C \nonumber \]

    1. Podemos reescribir la solución en serie para las funciones de Bessel,
    2. Ampliar la definición de serie de la función Bessel del primer tipo de orden\(v, J_{v}(x)\), ya que\(v \geq 0\) escribiendo la solución de serie para\(y(x)\) en Problema 17 usando la función Gamma.
    3. Extender la serie a\(J_{-v}(x)\), para\(v \geq 0\). Discutir la serie resultante y lo que sucede cuando\(v\) es un entero positivo.
    4. d. Utilizar los resultados en parte\(c\) con la fórmula de recursión para las funciones de Bessel,

      \[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\dfrac{2 v}{x} J_{v}(x) \nonumber \]

    1. Mostrar ese ajuste\(\alpha=1\) y\(\beta=\gamma\) en\({ }_{2} F_{1}(\alpha, \beta ; \gamma ; x)\) lleva a la serie geométrica.

    2. Demostrar lo siguiente:
      a.\((a)_{n}=(a)_{n-1}(a+n-1), n=1,2, \ldots, a \neq 0\)
      b\((a)_{n}=a(a+1)_{n-1}, n=1,2, \ldots, a \neq 0\).

    3. Verificar las siguientes relaciones transformando la ecuación hipergeométrica en la ecuación satisfecha por cada función.
      a\(P_{n}(x)={ }_{2} F_{1}\left(-n, n+1 ; 1 ; \dfrac{1-x}{2}\right)\).
      b\(\sin ^{-1} x=x_{2} F_{1}\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2} ; x^{2}\right)\).
      \(J_{p}(x)=\dfrac{1}{\Gamma(p+1)}\left(\dfrac{z}{2}\right)^{p} e^{-i z}{ }_{1} F_{1}\left(\dfrac{1}{2}+p, 1+2 p ; 2 i z\right)\)c.

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