6.2.6: Asuntos amorosos

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La siguiente aplicación es una que fue introducida en 1988 por Strogatz como un lindo sistema que involucra relaciones. \({ }^{1}\)Se considera lo que sucede con los afectos que dos personas tienen el uno por el otro a lo largo del tiempo. Que\(R\) denote el cariño que Romeo tiene por Julieta y\(J\) sea el cariño que Julieta tiene por Romeo. Los valores positivos indican amor y los valores negativos indican aversión. ¹

Un posible modelo viene dado por

\[ \begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R \end{aligned} \label{6.56} \]

con\(b>0\) y\(c<0\). En este caso Romeo ama a Julieta cuanto más le gusta a ella. Pero Julieta retrocede cuando encuentra cada vez mayor su amor por ella.

Un sistema típico que relaciona los cambios combinados en el afecto puede modelarse como

\[ \begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=a R+b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R+d J \end{aligned} \label{6.57} \]

Varios escenarios son posibles para diversas elecciones de las constantes. Por ejemplo, si\(a>0\) y\(b>0\), Romeo se emociona cada vez más por el amor de Julieta por él. Si\(c>0\) y\(d<0\), Julieta está siendo cautelosa sobre su relación con Romeo. Para valores específicos de los parámetros y condiciones iniciales, uno puede explorar este partido de un amante demasiado celoso con un amante cauteloso.

¹ Steven H. Strogatz introdujo este problema como un interesante ejemplo de sistemas de ecuaciones diferenciales en la Revista Matemáticas, Vol. 61, No. 1 (febrero de 1988) p. 35. También lo describe en su libro Dinámica no lineal y caos (1994).