7.1: Introducción

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Algunos de los fenómenos más interesantes del mundo son modelados por sistemas no lineales. Estos sistemas pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales cuando el tiempo se considera como una variable continua o ecuaciones de diferencia cuando el tiempo se trata en pasos discretos. Las aplicaciones que involucran ecuaciones diferenciales se pueden encontrar en muchos sistemas físicos como sistemas planetarios, predicción meteorológica, circuitos eléctricos y cinética. Incluso en algunos sistemas dinámicos simples, una combinación de amortiguación y una fuerza impulsora puede conducir a un comportamiento caótico. A saber, pequeños cambios en las condiciones iniciales podrían conducir a resultados muy diferentes. En este capítulo exploraremos algunos sistemas no lineales diferentes e introduciremos algunas de las herramientas necesarias para investigarlos. Estas herramientas se basan en parte del material de los Capítulos 2 y 3 para sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales no lineales son integrables, pero difíciles de resolver, o no son integrables y solo pueden resolverse numéricamente. Veremos que a veces podemos aproximar las soluciones de sistemas no lineales con sistemas lineales en pequeñas regiones del espacio de fase y determinar el comportamiento cualitativo del sistema sin conocimiento de la solución exacta.

Los problemas no lineales ocurren de forma natural. Veremos problemas de muchos de los mismos campos que exploramos en la Sección 6.2. Nos concentraremos principalmente en sistemas dinámicos continuos. Comenzaremos con un modelo poblacional simple y veremos el comportamiento de soluciones de equilibrio de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden. Luego veremos sistemas no lineales en el plano, como el péndulo no lineal y otras oscilaciones no lineales. Concluiremos discutiendo algunos otros ejemplos físicos interesantes que enfatizan algunas de las ideas clave de la dinámica no lineal.