8.9: Problemas

1. Demostrar las siguientes identidades utilizando únicamente las definiciones de las funciones trigonométricas, la identidad pitagórica, o las identidades para senos y cosenos de sumas de ángulos.
   a.\(\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1\)
   b.\(\sin 3 x=A \sin ^{3} x+B \sin x\), ¿para qué valores de\(A\) y\(B\)?
   \(\sec \theta+\tan \theta=\tan \left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)c.

2. Determinar los valores exactos
   de a\(\sin \dfrac{\pi}{8}\).
   b\(\tan 15^{\circ}\).
   C.\(\cos 105^{\circ} .\)

3. Denest lo siguiente si es posible.
   a\(\sqrt{3-2 \sqrt{2}}\).
   b\(\sqrt{1+\sqrt{2}}\).
   \(\sqrt{5+2 \sqrt{6}}\)c.
   d\(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\).
   e. encontrar las raíces de\(x^{2}+6 x-4 \sqrt{5}=0\) en forma simplificada.

4. Determinar los valores exactos
   de a\(\sin \left(\cos ^{-1} \dfrac{3}{5}\right)\).
   b\(\tan \left(\sin ^{-1} \dfrac{x}{7}\right)\).
   \(\sin ^{-1}\left(\sin \dfrac{3 \pi}{2}\right)\)c.

5. Haz lo siguiente.
   a. Escribir\((\cosh x-\sinh x)^{6}\) en términos de exponenciales.
   b. Demostrar\(\cosh (x-y)=\cosh x \cosh y-\sinh x \sinh y\) utilizando las formas expo- nenciales de las funciones hiperbólicas.
   c. Probar\(\cosh 2 x=\cosh ^{2} x+\sinh ^{2} x\).
   d. si\(\cosh x=\dfrac{13}{12}\) y\(x<0\), encontrar\(\sinh x\) y\(\tanh x\).
   e. encontrar el valor exacto de\(\sinh (\operatorname{arccosh} 3)\).

6. Demostrar que las funciones hiperbólicas inversas son los siguientes logaritmos:
   a\(\cosh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)\).
   b\(\tanh ^{-1} x=\dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1+x}{1-x}\).

7. Escribe lo siguiente en cuanto a logaritmos:
   a\(\cosh ^{-1} \dfrac{4}{3}\).
   b\(\tanh ^{-1} \dfrac{1}{2}\).
   \(\sinh ^{-1} 2\)c.

8. Resuelve las siguientes ecuaciones para\(x\).
   a\(\cosh (x+\ln 3)=3\).
   b\(2 \tanh ^{-1} \dfrac{x-2}{x-1}=\ln 2\).
   \(\sinh ^{2} x-7 \cosh x+13=0\)c.

9. Compute las siguientes integrales.
   1. \(\int x e^{2 x^{2}} d x\).
   2. \(\int_{0}^{3} \dfrac{5 x}{\sqrt{x^{2}+16}} d x\).
   3. \(\int x^{3} \sin 3 x d x\). (Haga esto usando la integración por partes, el Método Tabular y la diferenciación bajo el signo integral.)
   4. \(\int \cos ^{4} 3 x d x\).
   5. \(\int_{0}^{\pi / 4} \sec ^{3} x d x\).
   6. \(\int e^{x} \sinh x d x\).
   7. \(\int \sqrt{9-x^{2}} d x\)
   8. \(\int \dfrac{d x}{\left(4-x^{2}\right)^{2}}\), utilizando la sustitución\(x=2 \tanh u\).
   9. \(\int_{0}^{4} \dfrac{d x}{\sqrt{9+x^{2}}}\), utilizando una sustitución de función hiperbólica.
   10. \(\int \dfrac{d x}{1-x^{2}}\), utilizando la sustitución\(x=\tanh u\).
   11. \(\int \dfrac{d x}{\left(x^{2}+4\right)^{3 / 2}}\), utilizando las sustituciones\(x=2 \tan \theta\) y\(x=2 \sinh u\)
   12. \(\int \dfrac{d x}{\sqrt{3 x^{2}-6 x+4}}\).

10. Encuentra la suma para cada
    una de las series: a.\(5+\dfrac{25}{7}+\dfrac{125}{49}+\dfrac{625}{343}+\cdots \cdot\)
    b\(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n} 3}{4^{n}}\).
    \(\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{2}{5^{n}}\)c.
    d\(\sum_{n=-1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\dfrac{e}{\pi}\right)^{n}\).
    e\(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{5}{2^{n}}+\dfrac{1}{3^{n}}\right)\).
    f\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n(n+3)}\). g. ¿Qué es\(0.56 \overline{9} ?\)

11. Se cae una superbola desde una\(2.00 \mathrm{~m}\) altura. Después de que rebota, alcanza una nueva altura de\(1.65 \mathrm{~m}\). Asumiendo un coeficiente de restitución constante, encuentra la distancia total (ideal) que recorrerá la pelota ya que sigue rebotando.
12. Aquí hay algunos problemas de series telescópicas.
    2. Encuentra la\(n\) suma parcial de la serie\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}\right)\) y utilízala para determinar la suma de las series telescópicas resultantes.
    3. Suma la serie\(\sum_{n=1}^{\infty}\left[\tan ^{-1} n-\tan ^{-1}(n+1)\right]\) escribiendo primero la\(N\) ésima suma parcial y luego computando\(\lim _{N \rightarrow \infty} s_{N}\).
13. Determine el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series infinitas:
    1. \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \dfrac{(x-1)^{n}}{n}\).
    2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2^{n} n !}\).
    3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{x}{5}\right)^{n}\).
    4. \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \dfrac{x^{n}}{\sqrt{n}}\).
14. Encuentra la serie Taylor centrada en\(x=a\) y su radio de convergencia correspondiente para la función dada. En la mayoría de los casos, no es necesario emplear el método directo de cálculo de los coeficientes de Taylor.
    1. \(f(x)=\sinh x, a=0\).
    2. \(f(x)=\sqrt{1+x}, a=0\).
    3. \(f(x)=\ln \dfrac{1+x}{1-x}, a=0\).
    4. \(f(x)=x e^{x}, a=1\).
    5. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, a=1\).
    6. \(f(x)=x^{4}+x-2, a=2\).
    7. \(f(x)=\dfrac{x-1}{2+x}, a=1\).
15. Considera la expansión de Gregory

    \[\tan ^{-1} x=x-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5}-\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{2 k+1} x^{2 k+1}\nonumber \]

    1. expandiendo el integrando en una serie Maclaurin e integrando la serie resultante término por término.
    2. De este resultado, derivar la serie de Gregory para\(\pi\) insertando un valor apropiado para\(x\) en la expansión de la serie para\(\tan ^{-1} x\).
16. En el caso de que una serie converja de manera uniforme, se puede considerar la derivada de la serie para llegar a la suma de otras series infinitas.
    1. Diferenciar la representación de la serie\(f(x)=\dfrac{1}{1-x}\) para sumar la serie\(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n},|x|<1\).
    2. Utilice el resultado de la parte a para sumar la serie\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{5^{n}}\).
    3. Suma la serie\(\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n},|x|<1\).
    4. Utilice el resultado de la parte c para sumar la serie\(\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{n^{2}-n}{5^{n}}\).
    5. Usa los resultados de este problema para sumar las series\(\sum_{n=4}^{\infty} \dfrac{n^{2}}{5^{n}}\).
17. Evaluar la integral\(\int_{0}^{\pi / 6} \sin ^{2} x d x\) haciendo lo siguiente:
    1. Compute la integral exactamente.
    2. Integre los tres primeros términos de la expansión de la serie Maclaurin del integrando y compare con el resultado exacto.
18. Determinar el siguiente término en el ejemplo de dilatación temporal, A.38. Es decir, encontrar el\(\dfrac{v^{4}}{c^{2}}\) término y determinar una mejor aproximación a la diferencia de tiempo de\(1 \mathrm{~ns}\).
19. Evalúe las siguientes expresiones en el punto dado. Usa tu calculadora o tu computadora (como Maple). Luego usa expansiones de serie para encontrar una aproximación al valor de la expresión a tantos lugares como confíes.
    1. \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{3}}}-\cos x^{2}\)en\(x=0.015\)
    2. \(\ln \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}-\tan x\)en\(x=0.0015\).
    3. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+2 x^{2}}}-1+x^{2}\)en\(x=5.00 \times 10^{-3}\).
    4. \(f(R, h)=R-\sqrt{R^{2}+h^{2}}\)para\(R=1.374 \times 10^{3} \mathrm{~km}\) y\(h=1.00 \mathrm{~m}\).
    5. \(f(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\)para\(x=2.5 \times 10^{-13}\).