8.8: La expansión binomial

Otra expansión en serie que ocurre a menudo en ejemplos y aplicaciones es la expansión binomial. Esto es simplemente la expansión de la expresión\((a + b)^p\) en poderes de\(a\) y\(b\). Investigaremos esta expansión primero para potencias enteras no negativas\(p\) y luego derivaremos la expansión para otros valores de\(p\). Si bien la expansión binomial se puede obtener usando la serie Taylor, proporcionaremos una derivación más intuitiva para demostrar que

\[(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} C_{r}^{n} a^{n-r} b^{r} \nonumber \]

donde\(C_{r}^{n}\) se llaman los coeficientes binomiales.

La expansión binomial es una expansión de serie especial utilizada para aproximar expresiones de la forma\((a + b)^p\) para\(b \ll a\), o\((1 + x)^p\) para\(|x| \ll 1\).

Vamos a enumerar algunas de las expansiones comunes para potencias enteras no negativas.

\[ \begin{aligned} &(a+b)^{0}=1 \\ &(a+b)^{1}=a+b \\ &(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ &(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ &(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} \label{A.105} \]

\[\begin{aligned} & \cdots \end{aligned} \nonumber \]

Ahora miramos los patrones de los términos en las expansiones. Primero, observamos que cada término consiste en un producto de un poder de\(a\) y un poder de\(b\). Los poderes de\(a\) están disminuyendo de\(n\) a 0 en la expansión de\((a+b)^{n}\). De igual manera, las facultades de\(b\) incremento de 0 a\(n\). Las sumas de los exponentes en cada término es\(n\). Entonces, podemos escribir el\((k+1)\) st término en la expansión como\(a^{n-k} b^{k}\). Por ejemplo, en la expansión\((a+b)^{51}\) del 6º término se encuentra\(a^{51-5} b^{5}=a^{46} b^{5}\). Sin embargo, aún no conocemos los coeficientes numéricos en la expansión.

El triángulo de Pascal lleva el nombre de Blaise Pascal (1623-1662). Si bien dichas configuraciones de números se conocían antes en la historia, Pascal las publicó y las aplicó a la teoría de la probabilidad. El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades inusuales y una variedad de usos:

• Las filas horizontales se suman a potencias de 2.
• Las filas horizontales son potencias de 11 (1, 11, 121, 1331, etc.).
• Sumando dos números sucesivos cualesquiera en la diagonal 1-3-6-10-15-21-28... da como resultado un cuadrado perfecto.
• Cuando el primer número a la derecha del 1 en cualquier fila es un número primo, todos los números de esa fila son divisibles por ese número primo. El lector puede verificar esto fácilmente para las filas n = 5 y n = 7.
• Las sumas a lo largo de ciertas diagonales conducen a la secuencia de Fibonacci. Estas diagonales son paralelas a la línea que conecta la primera 1 para la fila n = 3 y la 2 en la fila n = 2

Vamos a enumerar los coeficientes para las expansiones anteriores.

\ [\ begin {array} {cccccccccc}
&n=0: & & & & & & 1 & & & & &\\ &
n=1: & & & 1 & & & & &\\ &
n=2: & & 1 & & &\\ & n=2: & & 1 & &\\
&n=3: & 1 & & & 3 & & 3 & & 1 &\\
&n=4:1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1
\ end {array}\ nonumber\]

Este patrón es el famoso triángulo de Pascal. Hay muchos interesantes el\(I\) en cualquier fila es un número primo, características de este triángulo. Pero primero nos preguntaremos cómo se puede generar cada fila.

Vemos que cada fila comienza y termina con una una. El segundo término y puede comprobarlo fácilmente para el\(n=5\) siguiente al último término tienen un coeficiente de\(n\). A continuación observamos que pares y\(n=7\) filas. consecutivas en cada fila se pueden sumar para obtener entradas en la siguiente fila. Por ejemplo, tenemos para filas\(n=2\) y\(n=3\) eso\(1+2=3\) y\(2+1=3\):

\ [\ begin {array} {lllllllllll}
&n=2:1 & & & & & & 2 & &
& & 1\ & &\ searrow &\ swarrow &\ searrow & &\ swarrow &\\\
&n=3:1 & &3 & & & 3 & & 1
\ end {array}\ nonumber\]

Con esto en mente, podemos generar las siguientes varias filas de nuestro triángulo.

\[\begin{array}{llllllllllll} n & =3: & & & & 1 & &3 & & 3 & & 1 & & \\ n & =4: & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ n & =5: & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ n & =6: & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 \end{array} \nonumber \]

Entonces, usamos los números en fila\(n=4\) para generar entradas en fila\(n=5\):\(1+4=5,4+6=10\). Luego usamos fila\(n=5\) para obtener fila\(n=6\), etc.

Por supuesto, tardaría un tiempo en computar cada fila hasta la deseada\(n\). Afortunadamente, existe una expresión simple para computar un coeficiente específico. Considerar el término\(k\) th en la expansión de\((a+b)^{n}\). Vamos\(r=k-1\), para\(k=1, \ldots, n+1\). Entonces este término es de la forma\(C_{r}^{n} a^{n-r} b^{r}\). Hemos visto que los coeficientes satisfacen

\[C_{r}^{n}=C_{r}^{n-1}+C_{r-1}^{n-1}. \nonumber \]

En realidad, se ha encontrado que los coeficientes binomiales\(C_{r}^{n}\),, toman una forma simple,

\[C_{r}^{n}=\dfrac{n !}{(n-r) ! r !} \equiv\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right).\nonumber \]

Esto no es otra cosa que el símbolo combinatorio para determinar cómo elegir\(n\) objetos\(r\) a la vez. En las expansiones binomiales esto tiene sentido. Tenemos que contar la cantidad de formas en las que podemos organizar\(r\) productos\(b\) con\(n-r\) productos de\(a\). Hay\(n\) ranuras para colocar el\(b^{\prime}\) s. Por ejemplo, el\(r=2\) caso para\(n=4\) involucra los seis productos:\(a a b b, a b a b, a b b a, b a a b, b a b a\), y bbaa. Por lo tanto, es natural usar esta notación.

Andreas Freiherr von Ettingshausen (1796-1878) fue un matemático y físico alemán que en 1826 introdujo la notación\(\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)\). Sin embargo, los coeficientes binomiales fueron conocidos por los hindúes siglos antes.

Entonces, hemos encontrado que

\[(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right) a^{n-r} b^{r} \nonumber \]

Ahora considere la serie geométrica\(1+x+x^{2}+\ldots\) Hemos visto que tal esta serie geométrica converge para\(|x|<1\), dando

\[1+x+x^{2}+\ldots=\dfrac{1}{1-x}\nonumber \]

Pero,\(\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\). Esto es un binomio a un poder, pero el poder no es un entero.

Resulta que los coeficientes de tal expansión binomial pueden escribirse de manera similar a la forma en Ecuación\(\PageIndex{5}\). Este ejemplo sugiere que nuestra suma puede que ya no sea finita. Entonces, para\(p\) un número real,\(a=1\) y\(b=x\), generalizamos Ecuación\(\PageIndex{5}\) como

\[(1+x)^{p}=\sum_{r=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l} p \\ r \end{array}\right) x^{r} \nonumber \]

y ver si la serie resultante tiene sentido. Sin embargo, rápidamente nos encontramos con problemas con los coeficientes de la serie.

Considerar el coeficiente para\(r=1\) en una expansión de\((1+x)^{-1}\). Esto viene dado por

\[\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)=\dfrac{(-1) !}{(-1-1) ! 1 !}=\dfrac{(-1) !}{(-2) ! 1 !} \nonumber \]

Pero lo que es\((-1) ! ?\) Por definición, es

\[(-1) !=(-1)(-2)(-3) \cdots \nonumber \]

¡Este producto no parece existir! Pero con un poco de cuidado, observamos que

\[\dfrac{(-1) !}{(-2) !}=\dfrac{(-1)(-2) !}{(-2) !}=-1 \nonumber \]

Entonces, hay que tener cuidado de no interpretar el coeficiente combinatorio literalmente. Hay mejores formas de escribir la expansión binomial general. Podemos escribir el coeficiente general como

\[ \begin{aligned} \left(\begin{array}{l} p \\ r \end{array}\right) &=\dfrac{p !}{(p-r) ! r !} \\ &=\dfrac{p(p-1) \cdots(p-r+1)(p-r) !}{(p-r) ! r !} \\ &=\dfrac{p(p-1) \cdots(p-r+1)}{r !} \end{aligned} \label{A.112} \]

Con esto en mente exponemos ahora el teorema:

Expansión binomial general

La expansión binomial general para\((1+x)^{p} \) es una simple generalización de Ecuación\(\PageIndex{5}\). De\(p\) verdad, tenemos las siguientes series binomiales:

\[(1+x)^{p}=\sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{p(p-1) \cdots(p-r+1)}{r !} x^{r}, \quad|x|<1 . \nonumber \]

Muchas veces en física solo necesitamos los primeros términos para el caso de que\(x \ll 1:\)

\[(1+x)^{p}=1+p x+\dfrac{p(p-1)}{2} x^{2}+O\left(x^{3}\right) \nonumber \]

El factor\(\gamma=\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1 / 2}\) es importante en la relatividad especial. A saber, este es el factor que relaciona las diferencias en las mediciones de tiempo y longitud por observadores que mueven marcos inerciales relativos. Para las velocidades terrestres, esto da una aproximación apropiada.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para\(v \ll c\) la primera aproximación se encuentra insertando\(v / c=0\). Así, se obtiene\(\gamma = 1\). Esta es la aproximación newtoniana y no proporciona suficiente aproximación para las velocidades terrestres. Por lo tanto, necesitamos expandirnos\(\gamma\) en poderes de\(v/c\).

Primero, reescribimos\(\gamma\) como

\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=\left[1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}\right]^{-1 / 2} \nonumber \]

Usando la expansión binomial para\(p=-1 / 2\), tenemos

\[\gamma \approx 1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=1+\dfrac{v^{2}}{2 c^{2}} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Time Dilation Example

La velocidad promedio de un gran avión comercial a reacción es de aproximadamente 500 mph. Si volaste durante una hora (medido desde el suelo), entonces ¿cuánto más joven serías que si no hubieras tomado el vuelo, asumiendo que estos marcos de referencia obedecían los postulados de la relatividad especial?

Este es el problema de la dilatación del tiempo. Dejar\(\Delta t\) ser el tiempo transcurrido en un marco de referencia estacionario en el suelo y\(\Delta \tau\) ser ese en el marco del plano móvil. Entonces de la Teoría de la Relatividad Especial estos se relacionan por

\[\Delta t=\gamma \Delta \tau \nonumber \]

Las diferencias de tiempo serían entonces

\[\begin{aligned} \Delta t-\Delta \tau &=\left(1-\gamma^{-1}\right) \Delta t \\ &=\left(1-\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}\right) \Delta t \end{aligned}\label{A.115} \]

La velocidad del avión,\(500 \mathrm{mph}\), es aproximadamente\(225 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) y\(c=3.00 \times 10^{8}\)\(\mathrm{m} / \mathrm{s}\). Ya que\(V \ll c\), necesitaríamos usar la aproximación binomial para obtener un resultado distinto de cero.

\[\begin{aligned} \Delta t-\Delta \tau &=\left(1-\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}\right) \Delta t \\ &=\left(1-\left(1-\dfrac{v^{2}}{2 c^{2}}+\ldots\right)\right) \Delta t \\ & \approx \dfrac{v^{2}}{2 c^{2}} \Delta t \\ &=\dfrac{(225)^{2}}{2\left(3.00 \times 10^{8}\right)^{2}}(1 \mathrm{~h})=1.01 \mathrm{~ns} \end{aligned}\label{A.116} \]

Así, has envejecido un nanosegundo menos que si no tomaste el vuelo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Small differences in large numbers:

Calcular\(f(R, h)=\)\(\sqrt{R^{2}+h^{2}}-R\) para\(R=6378.164 \mathrm{~km}\) y\(h=1.0 \mathrm{~m}\).

Insertando estos valores en una calculadora científica, uno encuentra que

\[f(6378164,1)=\sqrt{6378164^{2}+1}-6378164=1 \times 10^{-7} \mathrm{~m} \nonumber \]

En algunas calculadoras uno podría obtener o, en otras calculadoras, o sistemas de álgebra computacional como Maple, uno podría obtener otras respuestas. ¿Qué respuesta obtienes y qué tan precisa es tu respuesta?

El problema con este cómputo es ese\(R \gg h\). Por lo tanto, el cálculo de\(f(R, h)\) depende de cuántos dígitos pueda manejar el dispositivo informático. La mejor manera de obtener una respuesta es usar la aproximación binomial. Escribiendo\(h=R x\)\(x=\dfrac{h}{R}\), o, tenemos

\[ \begin{aligned} f(R, h) &=\sqrt{R^{2}+h^{2}}-R \\ &=R \sqrt{1+x^{2}}-R \\ & \simeq R\left[1+\dfrac{1}{2} x^{2}\right]-R \end{aligned} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} &=\dfrac{1}{2} R x^{2} \\ &=\dfrac{1}{2} \dfrac{h}{R^{2}}=7.83926 \times 10^{-8} \mathrm{~m} \end{aligned} \label{A.117} \]

Por supuesto, debes verificar cuántos dígitos se deben mantener al informar del resultado.

En los siguientes ejemplos, generalizamos este ejemplo. Dichos cálculos generales aparecen en pruebas que involucran expansiones generales sin valores numéricos específicos dados.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Obtener una aproximación a\((a+b)^{p}\) cuando\(a\) es mucho mayor que\(b\), denotado por\(a \gg b\).

Si descuidamos\(b\) entonces\((a+b)^{p} \simeq a^{p} .\) ¿Qué tan buena aproximación es esta? Aquí es donde estaría bien conocer el orden del próximo mandato en la expansión. Es decir, ¿cuál es el poder\(b / a\) del primer término descuidado en esta expansión?

Para hacer esto primero dividimos\(a\) como

\[(a+b)^{p}=a^{p}\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{p}\nonumber \]

Ahora tenemos un pequeño parámetro,\(\dfrac{b}{a}\). Según lo que hemos visto antes, podemos usar la expansión binomial para escribir

\[\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l} p \\ r \end{array}\right)\left(\dfrac{b}{a}\right)^{r} \nonumber \]

Así, tenemos una suma de términos que involucran poderes de\(\dfrac{b}{a} .\) Since\(a \gg b\), la mayoría de estos términos se pueden descuidar. Entonces, podemos escribir

\[\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{p}=1+p \dfrac{b}{a}+O\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right)\nonumber \]

Aquí se utilizó\(O()\),\(O h\) notación grande, para indicar el tamaño del primer término descuidado.

Resumiendo, tenemos

\[ \begin{aligned} (a+b)^{p} &=a^{p}\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{p} \\ &=a^{p}\left(1+p \dfrac{b}{a}+O\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right)\right) \\ &=a^{p}+p a^{p} \dfrac{b}{a}+a^{p} O\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right) \end{aligned} \label{A.119} \]

Por lo tanto, podemos aproximar\((a+b)^{p} \simeq a^{p}+p b a^{p-1}\), con un error del orden de\(b^{2} a^{p-2}\). Tenga en cuenta que el orden del error no incluye el factor constante de la expansión. También podríamos usar la aproximación que\((a+b)^{p} \simeq a^{p}\), pero normalmente no es lo suficientemente buena en aplicaciones porque el error en este caso es del orden\(b a^{p-1} .\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Aproximado\(f(x)=(a+x)^{p}-a^{p}\) para\(x \ll a .\)

En un ejemplo anterior calculamos\(f(R, h)=\sqrt{R^{2}+h^{2}}-R\) para\(R=6378.164 \mathrm{~km}\) y\(h=1.0 \mathrm{~m}\). Podemos hacer uso de la expansión binomial para determinar el comportamiento de funciones similares en la forma\(f(x)=(a+x)^{p}-a^{p} .\) Inserción de la expresión binomial en\(f(x)\), tenemos como\(\dfrac{x}{a} \rightarrow 0\) eso

\[ \begin{aligned} f(x) &=(a+x)^{p}-a^{p} \\ &=a^{p}\left[\left(1+\dfrac{x}{a}\right)^{p}-1\right] \\ &=a^{p}\left[\dfrac{p x}{a}+O\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}\right)\right] \\ &=O\left(\dfrac{x}{a}\right) \quad \text { as } \dfrac{x}{a} \rightarrow 0 \end{aligned} \label{A.120} \]

Este resultado podría no ser la aproximación que deseamos. Entonces, podríamos retroceder un paso en la derivación para escribir una mejor aproximación como

\[(a+x)^{p}-a^{p}=a^{p-1} p x+O\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}\right) \quad \text { as } \dfrac{x}{a} \rightarrow 0 \nonumber \]

Ahora usamos esta aproximación\(f(R, h)=\sqrt{R^{2}+h^{2}}-R\) para calcular para\(R=6378.164 \mathrm{~km}\) y\(h=1.0 \mathrm{~m}\) en el ejemplo anterior. Dejamos\(a=R^{2}, x=1\) y\(p=\dfrac{1}{2}\). Entonces, la aproximación del orden principal sería de orden

\[O\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}\right)=O\left(\left(\dfrac{1}{6378164^{2}}\right)^{2}\right) \sim 2.4 \times 10^{-14} \nonumber \]

Por lo tanto, tenemos

\[\sqrt{6378164^{2}+1}-6378164 \approx a^{p-1} p x \nonumber \]

donde

\[a^{p-1} p x=\left(6378164^{2}\right)^{-1 / 2}(0.5) 1=7.83926 \times 10^{-8}\nonumber \]

Este es el mismo resultado que habíamos obtenido antes. Sin embargo, también tenemos una estimación del tamaño del error y esto podría ser útil para indicar cuántos dígitos debemos confiar en la respuesta.