Ecuaciones diferenciales de primer orden

Normalmente, las primeras ecuaciones diferenciales encontradas son ecuaciones de primer orden. Una ecuación diferencial de primer orden toma la forma

\[F\left(y^{\prime}, y, x\right)=0 \nonumber \]

Existen dos formas generales para las cuales se puede obtener formalmente una solución. El primero es el caso separable y el segundo es una ecuación de primer orden. Indicamos que podemos obtener soluciones formalmente, ya que se puede mostrar la integración necesaria que conduce a una solución. Sin embargo, las integrales resultantes no siempre son reducibles a funciones elementales ni se obtienen soluciones explícitas cuando las integrales son factibles.

Una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir la forma

\[\dfrac{d y}{d x}=f(x) g(y) \nonumber \]

Los casos especiales resultan cuando cualquiera\(f(x)=1\) o\(g(y)=1\). En el primer caso se dice que la ecuación es autónoma.

La solución general a la ecuación (1.5) se obtiene en términos de dos integrales:

\[\int \dfrac{d y}{g(y)}=\int f(x) d x+C, \nonumber \]

donde\(C\) es una constante de integración. Esto produce una familia de soluciones de 1 parámetro a la ecuación diferencial correspondiente a diferentes valores de\(C\). Si uno puede resolver (1.6) para\(y(x)\), entonces se obtiene una solución explícita. De lo contrario, se tiene una familia de soluciones implícitas. Si también se da una condición inicial, entonces uno podría ser capaz de encontrar un miembro de la familia que satisfaga esta condición, que a menudo se llama una solución particular.

Ejemplo 1.1. \(y^{\prime}=2 x y, y(0)=2\).

Aplicando (1.6), uno tiene

\[\int \dfrac{d y}{y}=\int 2 x d x+C \nonumber \]

Integración de rendimientos

\[\ln |y|=x^{2}+C . \nonumber \]

Exponenciando, se obtiene la solución general,

\[y(x)=\pm e^{x^{2}+C}=A e^{x^{2}} . \nonumber \]

Aquí hemos definido\(A=\pm e^{C}\). Dado que\(C\) es una constante arbitraria,\(A\) es una constante arbitraria. Varias soluciones en esta familia de 1 parámetro se muestran en la Figura 1.1.

A continuación, se busca una solución particular que satisfaga la condición inicial. Porque\(y(0)=2\), uno encuentra eso\(A=2\). Entonces, la solución particular que satisface las condiciones iniciales es\(y(x)=2 e^{x^{2}}\).

Ejemplo 1.2. \(y y^{\prime}=-x\).

Siguiendo el mismo procedimiento que en el último ejemplo, se obtiene:

\[\int y d y=-\int x d x+C \Rightarrow y^{2}=-x^{2}+A, \quad \text { where } \quad A=2 C . \nonumber \]

Así, obtenemos una solución implícita. Escribiendo la solución como\(x^{2}+y^{2}=A\), vemos que esta es una familia de círculos para\(A>0\) y el origen para\(A=0\). Las parcelas de algunas soluciones de esta familia se muestran en la Figura 1.2.

En este caso se busca un factor integrador\(\mu(x)\), que es una función que se puede multiplicar a través de la ecuación haciendo del lado izquierdo una derivada perfecta. De esta manera, obtener,

\[\dfrac{d}{d x}[\mu(x) y(x)]=\mu(x) q(x) . \nonumber \]

El factor integrador que funciona es\(\mu(x)=\exp \left(\int^{x} p(\xi) d \xi\right)\). Se puede mostrar esto expandiendo la derivada en la Ecuación (1.8),

\[\mu(x) y^{\prime}(x)+\mu^{\prime}(x) y(x)=\mu(x) q(x) \nonumber \]

y comparando esta ecuación con la obtenida al multiplicar (1.7) por\(\mu(x)\):

\[\mu(x) y^{\prime}(x)+\mu(x) p(x) y(x)=\mu(x) q(x) . \nonumber \]

Tenga en cuenta que estas dos últimas ecuaciones serían las mismas si

\[\dfrac{d \mu(x)}{d x}=\mu(x) p(x) . \nonumber \]

Se trata de una ecuación separable de primer orden cuya solución es la forma dada anteriormente para el factor integrador,

\[\mu(x)=\exp \left(\int^{x} p(\xi) d \xi\right) \nonumber \]

La ecuación (1.8) se integra fácilmente para obtener

\[y(x)=\dfrac{1}{\mu(x)}\left[\int^{x} \mu(\xi) q(\xi) d \xi+C\right] . \nonumber \]

Ejemplo 1.3. \(x y^{\prime}+y=x, \quad x>0, y(1)=0\).

Uno primero señala que se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolviendo para\(y^{\prime}\), se puede ver que la ecuación original no es separable. Sin embargo, no está en la forma estándar. Entonces, primero reescribimos la ecuación como

\[\dfrac{d y}{d x}+\dfrac{1}{x} y=1 . \nonumber \]

Señalando que\(p(x)=\dfrac{1}{x}\), determinamos el factor integrador

\[\mu(x)=\exp \left[\int^{x} \dfrac{d \xi}{\xi}\right]=e^{\ln x}=x . \nonumber \]

Multiplicando la ecuación (1.13) por\(\mu(x)=x\), ¡en realidad recuperamos la ecuación original! En este caso hemos encontrado que\(x y^{\prime}+y\) debió haber sido el derivado de algo para comenzar. De hecho,\((x y)^{\prime}=x y^{\prime}+x\). Por lo tanto, la ecuación (1.8) se convierte

\[(x y)^{\prime}=x \nonumber \]

Integrando uno obtiene

\[x y=\dfrac{1}{2} x^{2}+C, \nonumber \]

o

\[y(x)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{C}{x} . \nonumber \]

Insertando la condición inicial en esta solución, tenemos\(0=\dfrac{1}{2}+C\). Por lo tanto,\(C=-\dfrac{1}{2}\). Así, la solución del problema del valor inicial es\(y(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\)

Ejemplo 1.4. \((\sin x) y^{\prime}+(\cos x) y=x^{2} \sin x\).

En realidad, este problema es fácil si te das cuenta de que

\[\dfrac{d}{d x}((\sin x) y)=(\sin x) y^{\prime}+(\cos x) y \nonumber \]

Pero, pasaremos por el proceso de encontrar el factor integrador para la práctica.

Primero, reescribe la ecuación diferencial original en forma estándar:

\[y^{\prime}+(\cot x) y=x^{2} \nonumber \]

Luego, compute el factor de integración como

\[\mu(x)=\exp \left(\int^{x} \cot \xi d \xi\right)=e^{-\ln (\sin x)}=\dfrac{1}{\sin x} \nonumber \]

Usando el factor integrador, la ecuación original se convierte en

\[\dfrac{d}{d x}((\sin x) y)=x^{2} . \nonumber \]

Integrando, tenemos

\[y \sin x=\dfrac{1}{3} x^{3}+C \nonumber \]

Entonces, la solución es

\[y=\left(\dfrac{1}{3} x^{3}+C\right) \csc x \nonumber \]

Hay otras ecuaciones de primer orden que se pueden resolver para soluciones de forma cerrada. Sin embargo, muchas ecuaciones no son solucionables, o una simplemente está interesada en el comportamiento de las soluciones. En tales casos se gira a campos de dirección. Volveremos a una discusión sobre el comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales más adelante en el curso.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden suelen ser más duras que las de primer orden. En la mayoría de los casos los estudiantes solo están expuestos a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Una forma general para una ecuación diferencial lineal de segundo orden viene dada por

\[a(x) y^{\prime \prime}(x)+b(x) y^{\prime}(x)+c(x) y(x)=f(x) . \nonumber \]

Se puede reescribir esta ecuación usando la terminología del operador. A saber, uno primero define el operador diferencial\(L=a(x) D^{2}+b(x) D+c(x)\), donde\(D=\dfrac{d}{d x}\). Entonces la ecuación (1.14) se convierte

\[L y=f \nonumber \]

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales se encuentran haciendo uso de la linealidad de\(L\). A saber, consideramos el espacio vectorial\({ }^{1}\) que consiste en funciones realvaluadas sobre algún dominio. Dejar\(f\) y\(g\) ser vectores en este espacio de funciones. \(L\)es un operador lineal si para dos vectores\(f\)\(g\) y y escalar\(a\), tenemos que

a.\(L(f+g)=L f+L g\)

b\(L(a f)=a L f\).

Normalmente se resuelve (1.14) encontrando la solución general del problema homogéneo,

\[L y_{h}=0 \nonumber \]

y una solución particular del problema no homogéneo,

\[L y_{p}=f \text {. } \nonumber \]

Entonces la solución general de (1.14) simplemente se da como\(y=y_{h}+y_{p}\). Esto es cierto por la linealidad de\(L\). A saber,

\[\begin{aligned} L y &=L\left(y_{h}+y_{p}\right) \\ &=L y_{h}+L y_{p} \\ &=0+f=f \end{aligned} \nonumber \]

Existen métodos para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial. Estos van desde la pura adivinación hasta el Método de Coeficientes Indeterminados, o haciendo uso del Método de Variación de Parámetros. Repasaremos algunos de estos métodos más adelante.

Determinar soluciones al problema homogéneo,\(L y_{h}=0\), no siempre es fácil. Sin embargo, otros han estudiado una variedad de ecuaciones lineales de segundo orden

\({ }^{1}\)Suponemos que el lector ha sido introducido a conceptos en álgebra lineal. Al final del texto recordaremos la definición de un espacio vectorial y veremos que el álgebra lineal está en el fondo del estudio de muchos conceptos en la solución de ecuaciones diferentes. y nos han ahorrado el problema para algunas de las ecuaciones diferenciales que suelen aparecer en aplicaciones.

Nuevamente, la linealidad es útil para producir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea. Si\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son soluciones de la ecuación homogénea, entonces la combinación lineal\(y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}\) es también una solución de la ecuación homogénea. De hecho, si\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son linealmente independientes,\({ }^{2}\) entonces\(y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}\) es la solución general del problema homogéneo. Como recordarás, la independencia lineal se establece si el Wronskian de las soluciones no es cero. En este caso, tenemos

\[W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x) \neq 0 \nonumber \]

Ecuaciones de coeficiente constante

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden más simples y vistas son aquellas con coeficientes constantes. La forma general para una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficiente constante homogéneo se da como

\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=0, \nonumber \]

donde\(a, b\), y\(c\) son constantes.

Las soluciones a (1.18) se obtienen haciendo una suposición de\(y(x)=e^{r x}\). Insertar esta suposición en (1.18) conduce a la ecuación característica

\[a r^{2}+b r+c=0 . \nonumber \]

Las raíces de esta ecuación a su vez conducen a tres tipos de solución dependiendo de la naturaleza de las raíces como se muestra a continuación.

Ejemplo 1.5. \(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 y(0)=2, y^{\prime}(0)=0\).

La ecuación característica para este problema es\(r^{2}-r-6=0\). Las raíces de esta ecuación se encuentran como\(r=-2,3\). Por lo tanto, la solución general se puede anotar rápidamente:

\[y(x)=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{3 x} . \nonumber \]

Obsérvese que hay dos constantes arbitrarias en la solución general. Por lo tanto, se necesitan dos piezas de información para encontrar una solución particular. Por supuesto, tenemos la información necesaria en la forma de las condiciones iniciales.

También se necesita evaluar la primera derivada

\[y^{\prime}(x)=-2 c_{1} e^{-2 x}+3 c_{2} e^{3 x} \nonumber \]

\({ }^{2}\)Recordemos, un conjunto de funciones\(\left\{y_{i}(x)\right\}_{i=1}^{n}\) es un conjunto linealmente independiente si y solo si

\[c_{1} y\left(1(x)+\ldots+c_{n} y_{n}(x)=0\right. \nonumber \]

implica\(c_{i}=0\), para\(i=1, \ldots, n\). con el fin de intentar satisfacer las condiciones iniciales. Evaluando\(y\) y\(y^{\prime}\) en\(x=0\) rendimientos

\[\begin{aligned} &2=c_{1}+c_{2} \\ &0=-2 c_{1}+3 c_{2} \end{aligned} \nonumber \]

Estas dos ecuaciones en dos incógnitas se pueden resolver fácilmente para dar\(c_{1}=6 / 5\) y\(c_{2}=4 / 5\). Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial se obtiene como\(y(x)=\dfrac{6}{5} e^{-2 x}+\dfrac{4}{5} e^{3 x}\).

Clasificación de Raíces de la Ecuación Característica para ODEs de Coeficiente Constante de Segundo Orden

1. Raíces reales y distintas\(r_{1}, r_{2}\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general es simplemente\(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}\).
2. Raíces reales e iguales\(r_{1}=r_{2}=r\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente dependientes. Para encontrar una segunda solución linealmente independiente, se utiliza el Método de Reducción del Orden. Esto da la segunda solución como\(x e^{r x}\). Por lo tanto, la solución general se encuentra como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{r x}\). [Esto se recoge en el apéndice de este capítulo.]
3. Raíces conjugadas complejas\(r_{1}, r_{2}=\alpha \pm i \beta\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Haciendo uso de la identidad de Euler\(e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)\), estos exponenciales complejos pueden ser reescritos en términos de funciones trigonométricas. A saber, uno tiene eso\(e^{\alpha x} \cos (\beta x)\) y\(e^{\alpha x} \sin (\beta x)\) son dos soluciones linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general se convierte\(y(x)=e^{\alpha x}\left(c_{1} \cos (\beta x)+c_{2} \sin (\beta x)\right)\). [Esto se recoge en el apéndice de este capítulo.]

Ejemplo 1.6. \(y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0\).

En este ejemplo tenemos\(r^{2}+6 r+9=0\). Sólo hay una raíz,\(r=-3\). Nuevamente, la solución se obtiene fácilmente como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-3 x}\).

Ejemplo 1.7. \(y^{\prime \prime}+4 y=0\).

La ecuación característica en este caso es\(r^{2}+4=0\). Las raíces son raíces imaginarias puras,\(r=\pm 2 i\) y la solución general consiste puramente en funciones sinusoidales:\(y(x)=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)\)

Ejemplo 1.8. \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+4 y=0\).

La ecuación característica en este caso es\(r^{2}+2 r+4=0\). Las raíces son complejas,\(r=-1 \pm \sqrt{3} i\) y la solución general se puede escribir como\(y(x)=\)\(\left[c_{1} \cos (\sqrt{3} x)+c_{2} \sin (\sqrt{3} x)\right] e^{-x}\) Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones en los dos últimos ejemplos está en el estudio de las oscilaciones. Los sistemas típicos son una masa en un resorte, o un simple péndulo. Para una masa\(m\) en un resorte con constante de resorte\(k>0\), se tiene de la ley de Hooke que la posición en función del tiempo\(x(t)\),, satisface la ecuación

\[m x^{\prime \prime}+k x=0 . \nonumber \]

Esta ecuación de coeficiente constante tiene raíces imaginarias puras\((\alpha=0)\) y las soluciones son senos y cosenos puros. Tal movimiento se llama movimiento armónico simple.

Agregar un término de amortiguación y forzamiento periódico complica la dinámica, pero no obstante es solucionable. El siguiente ejemplo muestra un oscilador armónico forzado.

Ejemplo 1.9. \(y^{\prime \prime}+4 y=\sin x\).

Este es un ejemplo de un problema no homogéneo. El problema homogéneo se resolvió realmente en el Ejemplo 1.7. Según la teoría, solo necesitamos buscar una solución particular al problema no homogéneo y agregarlo a la solución del último ejemplo para obtener la solución general.

La solución particular se puede obtener simplemente adivinando, haciendo una suposición educada o usando el Método de Variación de Parámetros. No vamos a revisar todas estas técnicas en este momento. Debido a la forma simple del término de manejo, haremos una suposición inteligente\(y_{p}(x)=A \sin x\) y determinaremos lo que\(A\) debe ser. Recordemos, este es el Método de Coeficientes Indeterminados que revisamos en la siguiente sección. Insertar nuestra conjetura en la ecuación da\((-A+4 A) \sin x=\sin x\). Entonces, vemos que\(A=1 / 3\) funciona. Por lo tanto, la solución general del problema no homogéneo es\(y(x)=\)\(c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)+\dfrac{1}{3} \sin x\)

Método de Coeficientes Indeterminados

A la fecha, sólo sabemos resolver coeficientes constantes, ecuaciones homogéneas. ¿Cómo se resuelve una ecuación no homogénea como esa en la Ecuación\((1.14)\)

\[a(x) y^{\prime \prime}(x)+b(x) y^{\prime}(x)+c(x) y(x)=f(x) \nonumber \]

Recordemos, que se resuelve esta ecuación encontrando la solución general del problema homogéneo,

\[L y_{h}=0 \nonumber \]

y una solución particular del problema no homogéneo,

\[L y_{p}=f \nonumber \]

Entonces la solución general de (1.14) simplemente se da como\(y=y_{h}+y_{p}\). Entonces, ¿cómo encontramos la solución particular? Se podría adivinar una solución, pero eso no suele ser posible sin un poco de experiencia. Entonces necesitamos algunos otros métodos. Hay dos métodos principales. En el primer caso, el Método de Coeficientes Indeterminados, se hace una suposición inteligente basada en la forma de\(f(x)\). En el segundo método, uno puede desarrollar sistemáticamente la solución particular. Volveremos a este método el Método de Variación de Parámetros, más adelante en el libro.

Resolvamos una ecuación diferencial simple destacando cómo podemos manejar ecuaciones no homogéneas.

Ejemplo 1.10. Considera la ecuación

\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=4 \nonumber \]

El primer paso es determinar la solución de la ecuación homogénea. Así, resolvemos

\[y_{h}^{\prime \prime}+2 y_{h}^{\prime}-3 y_{h}=0 . \nonumber \]

La ecuación característica es\(r^{2}+2 r-3=0\). Las raíces son\(r=1,-3\). Entonces, podemos escribir de inmediato la solución

\[y_{h}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x} . \nonumber \]

El segundo paso es encontrar una solución particular de (1.22). ¿Qué función posible podemos insertar en esta ecuación de tal manera que solo quede un 4? Si intentamos algo proporcional a\(x\), entonces nos quedamos con una función lineal después de insertar\(x\) y sus derivadas. Quizás una función constante se podría pensar. \(y=4\)no funciona. Pero, podríamos intentar una constante arbitraria,\(y=A\).

A ver. \(y=A\)Insertando en\((1.22)\), obtenemos

\[-3 A=4 . \nonumber \]

¡Ah, ja! Vemos que podemos elegir\(A=-\dfrac{4}{3}\) y esto funciona. Entonces, tenemos una solución particular,\(y_{p}(x)=-\dfrac{4}{3}\). Este paso está hecho.

Combinando nuestras dos soluciones, tenemos la solución general a la ecuación original no homogénea (1.22). A saber,

\[y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}-\dfrac{4}{3} \nonumber \]

Inserte esta solución en la ecuación y verifique que efectivamente sea una solución. Si se nos hubieran dado condiciones iniciales, ahora podríamos utilizarlas para determinar nuestras constantes arbitrarias.

¿Y si tuviéramos un término fuente diferente? Considera la ecuación

\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=4 x . \nonumber \]

Lo único que cambiaría es nuestra solución particular. Entonces, necesitamos una conjetura. Sabemos que una función constante no funciona por el último ejemplo. Entonces, vamos a intentarlo\(y_{p}=A x\). Insertando esta función en la ecuación (??) , obtenemos

\[2 A-3 A x=4 x . \nonumber \]

Picking\(A=-4 / 3\) se desharía de los\(x\) términos, pero no lo cancelará todo. Todavía tenemos una izquierda constante. Entonces, necesitamos algo más general.

Probemos una función lineal,\(y_{p}(x)=A x+B\). Luego obtenemos después de la sustitución\(\operatorname{into}(1.24)\)

\[2 A-3(A x+B)=4 x . \nonumber \]

Igualando los coeficientes de las diferentes potencias de ambos\(x\) lados, encontramos un sistema de ecuaciones para los coeficientes indeterminados:

\[\begin{array}{r} 2 A-3 B=0 \\ -3 A=4 . \end{array} \nonumber \]

Estos se resuelven fácilmente para obtener

\[\begin{aligned} &A=-\dfrac{4}{3} \\ &B=\dfrac{2}{3} A=-\dfrac{8}{9} \end{aligned} \nonumber \]

Entonces, nuestra solución particular es

\[y_{p}(x)=-\dfrac{4}{3} x-\dfrac{8}{9} . \nonumber \]

Esto da la solución general al problema no homogéneo como

\[y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}-\dfrac{4}{3} x-\dfrac{8}{9} \nonumber \]

Hay formas generales que puedes adivinar con base en la forma del término de conducción,\(f(x)\). Algunos ejemplos se dan en el Cuadro 1.1.4. Aplicaciones más generales están cubiertas en un texto estándar sobre ecuaciones diferenciales. No obstante, el procedimiento es sencillo. Dado\(f(x)\) en una forma particular, haces una conjetura apropiada hasta algunos parámetros desconocidos, o coeficientes. Insertar la conjetura conduce a un sistema de ecuaciones para los coeficientes desconocidos. Resuelve el sistema y tienes tu solución. Esta solución se agrega luego a la solución general de la ecuación diferencial homogénea.

Ejemplo 1.11. Como ejemplo final, consideremos la ecuación

\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=2 e^{-3 x} \nonumber \]

De acuerdo con lo anterior, adivinaríamos una solución de la forma\(y_{p}=A e^{-3 x}\). Insertando nuestra conjetura, encontramos

\[0=2 e^{-3 x} \nonumber \]

¡Uy! ¡El coeficiente,\(A\), desapareció! No podemos resolverlo. ¿Qué salió mal?

La respuesta está en la solución general del problema homogéneo. Tenga en cuenta que\(e^{x}\) y\(e^{-3 x}\) son soluciones al problema homogéneo. Entonces, un múltiplo de no nos\(e^{-3 x}\) llevará a ningún lado. Resulta que hay una modificación más del método. Si nuestro término de conducción contiene términos que son soluciones del problema homogéneo, entonces necesitamos hacer una conjetura consistente en la menor potencia posible de\(x\) veces la función que ya no es una solución del problema homogéneo. A saber, adivinamos\(y_{p}(x)=A x e^{-3 x}\). Calculamos la derivada de nuestra conjetura,\(y_{p}^{\prime}=A(1-3 x) e^{-3 x}\) y\(y_{p}^{\prime \prime}=A(9 x-6) e^{-3 x}\). Insertando estos en la ecuación, obtenemos

\[[(9 x-6)+2(1-3 x)-3 x] A e^{-3 x}=2 e^{-3 x} \nonumber \]

\[-4 A=2 . \nonumber \]

Entonces,\(A=-1 / 2\) y\(y_{p}(x)=-\dfrac{1}{2} x e^{-3 x}\).

Ecuaciones de Cauchy-Euler

Otra clase de ecuaciones diferenciales lineales solucionables que es de interés son las ecuaciones de tipo Cauchy-Euler. Estos son dados por

\[a x^{2} y^{\prime \prime}(x)+b x y^{\prime}(x)+c y(x)=0 . \nonumber \]

Obsérvese que en tales ecuaciones la potencia de\(x\) en cada uno de los coeficientes coincide con el orden de la derivada en ese término. Estas ecuaciones se resuelven de manera similar a las ecuaciones de coeficiente constante.

Uno comienza por hacer la conjetura\(y(x)=x^{r}\). Insertando esta función y sus derivadas,

\[y^{\prime}(x)=r x^{r-1}, \quad y^{\prime \prime}(x)=r(r-1) x^{r-2}, \nonumber \]

en la Ecuación (1.28), tenemos

\[[a r(r-1)+b r+c] x^{r}=0 \nonumber \]

Dado que esto tiene que ser cierto para todos\(x\) en el dominio del problema, obtenemos la ecuación característica

\[a r(r-1)+b r+c=0 \nonumber \]

Al igual que la ecuación diferencial de coeficiente constante, tenemos una ecuación cuadrática y la naturaleza de las raíces vuelve a conducir a tres clases de soluciones. Estos se muestran a continuación. Algunos de los detalles se proporcionan en la siguiente sección.

Clasificación de raíces de la ecuación característica para ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler

1. Raíces reales y distintas\(r_{1}, r_{2}\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general es simplemente\(y(x)=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}\).
2. Raíces reales e iguales\(r_{1}=r_{2}=r\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente dependientes. Para encontrar una segunda solución linealmente independiente, se utiliza el Método de Reducción del Orden. Esto da la segunda solución como\(x^{r} \ln |x|\). Por lo tanto, la solución general se encuentra como\(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |x|\right) x^{r}\).
3. Raíces conjugadas complejas\(r_{1}, r_{2}=\alpha \pm i \beta\). En este caso las soluciones correspondientes a cada raíz son linealmente independientes. Estos exponenciales complejos pueden ser reescritos en términos de funciones trigonométricas. A saber, uno tiene eso\(x^{\alpha} \cos (\beta \ln |x|)\) y\(x^{\alpha} \sin (\beta \ln |x|)\) son dos soluciones linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general se convierte\(y(x)=\)\(x^{\alpha}\left(c_{1} \cos (\beta \ln |x|)+c_{2} \sin (\beta \ln |x|)\right)\).

Ejemplo 1.12. \(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+12 y=0\)

Al igual que con las ecuaciones de coeficiente constante, comenzamos por anotar la ecuación característica. Haciendo un simple cómputo,

\[\begin{aligned} 0 &=r(r-1)+5 r+12 \\ &=r^{2}+4 r+12 \\ &=(r+2)^{2}+8 \\ -8 &=(r+2)^{2} \end{aligned} \nonumber \]

uno determina que las raíces son\(r=-2 \pm 2 \sqrt{2} i\). Por lo tanto, la solución general es el\(y(x)=\left[c_{1} \cos (2 \sqrt{2} \ln |x|)+c_{2} \sin (2 \sqrt{2} \ln |x|)\right] x^{-2}\) Ejemplo 1.13. \(t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0, \quad y(1)=0, y^{\prime}(1)=1\).

Para este ejemplo la ecuación característica toma la forma

\[r(r-1)+3 r+1=0, \nonumber \]

\[r^{2}+2 r+1=0 . \nonumber \]

Sólo hay una raíz real,\(r=-1\). Por lo tanto, la solución general es

\[y(t)=\left(c_{1}+c_{2} \ln |t|\right) t^{-1} . \nonumber \]

Sin embargo, este problema es un problema de valor inicial. En\(t=1\) conocemos los valores de\(y\) y\(y^{\prime}\). Usando la solución general, primero tenemos eso

\[0=y(1)=c_{1} \nonumber \]

Así, tenemos hasta el momento eso\(y(t)=c_{2} \ln |t| t^{-1}\). Ahora, usando la segunda condición y

\[y^{\prime}(t)=c_{2}(1-\ln |t|) t^{-2}, \nonumber \]

tenemos

\[1=y(1)=c_{2} \text {. } \nonumber \]

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es\(y(t)=\ln |t| t^{-1}\).

Ecuaciones de Cauchy-Euler no homogéneas También podemos resolver algunas ecuaciones de Cauchy-Euler no homogéneas utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados. Demostraremos esto con un par de ejemplos.

Ejemplo 1.14. Encuentra la solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{2}\).

Primero encontramos la solución de la ecuación homogénea. La ecuación característica es\(r^{2}-2 r-3=0\). Entonces, las raíces son\(r=-1,3\) y la solución es\(y_{h}(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}\)

A continuación necesitamos una solución particular. Vamos a adivinar\(y_{p}(x)=A x^{2}\). Insertando la conjetura en la ecuación diferencial no homogénea, tenemos

\[\begin{aligned} 2 x^{2} &=x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{2} \\ &=2 A x^{2}-2 A x^{2}-3 A x^{2} \\ &=-3 A x^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Entonces,\(A=-2 / 3\). Por lo tanto, la solución general del problema es

\[y(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}-\dfrac{2}{3} x^{2} . \nonumber \]

Ejemplo 1.15. Encuentra la solución de\(x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=2 x^{3}\).

En este caso el término no homogéneo es una solución del problema homogéneo, que resolvimos en el último ejemplo. Entonces, necesitaremos una modificación del método. Tenemos un problema de la forma

\[a x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=d x^{r} \nonumber \]

donde\(r\) es una solución de\(a r(r-1)+b r+c=0\). Adivina una solución de la forma\(y=A x^{r} \ln x\). Entonces uno encuentra que la ecuación diferencial se reduce a\(A x^{r}(2 a r-a+b)=d x^{r}\). [Debes verificar esto por ti mismo.]

Con esto en mente, ahora podemos resolver el problema que nos ocupa. Vamos\(y_{p}=\)\(A x^{3} \ln x\). Insertando en la ecuación, obtenemos\(4 A x^{3}=2 x^{3}\), o\(A=1 / 2\). La solución general del problema ahora puede escribirse como

\[y(x)=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{3} \ln x . \nonumber \]

Visión general del curso

En su mayor parte, tu primer curso en ecuaciones diferenciales fue sobre resolver problemas de valor inicial. Cuando las ecuaciones de segundo orden no cayeron en los casos anteriores, entonces es posible que hayas aprendido a obtener soluciones aproximadas usando métodos de series de potencia, o incluso encontrando nuevas funciones a partir de estos métodos. En este curso exploraremos dos temas amplios: sistemas de ecuaciones diferenciales y problemas de valor límite.

Veremos que existen problemas de valor inicial interesantes a la hora de estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales. De hecho, muchas de las ecuaciones de segundo orden que has visto en el pasado se pueden escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden. Por ejemplo, la ecuación para el movimiento armónico simple,

\[x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0 \nonumber \]

se puede escribir como el sistema

\[\begin{gathered} x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=-\omega^{2} x \end{gathered} . \nonumber \]

Sólo tenga en cuenta eso\(x^{\prime \prime}=y^{\prime}=-\omega^{2} x\). Por supuesto, se puede generalizar esto a sistemas con lados derechos más complicados. El comportamiento de tales sistemas puede ser bastante interesante y estos sistemas resultan de una variedad de modelos físicos.

En la segunda parte del curso exploraremos problemas de valor límite. A menudo estos problemas evolucionan a partir del estudio de ecuaciones diferenciales parciales. Tales ejemplos provienen de cuerdas vibratorias, distribuciones de temperatura, vigas de flexión, etc. Las condiciones de contorno son condiciones que se imponen en más de un punto, mientras que para los problemas de valor inicial las condiciones se especifican en un punto. Por ejemplo, podríamos tomar la ecuación de oscilación anterior y preguntar cuándo las soluciones de la ecuación satisfarían las condiciones\(x(0)=0\) y\(x(1)=0\). La solución general, como hemos determinado anteriormente, es

\[x(t)=c_{1} \cos \omega t+c_{2} \sin \omega t \nonumber \]

Exigiendo\(x(0)=0\), nos encontramos con eso\(c_{1}=0\), saliendo\(x(t)=c_{2} \sin \omega t\). También imponiendo eso\(0=x(1)=c_{2} \sin \omega\), nos vemos obligados a hacer\(\omega=n \pi\), para\(n=1,2, \ldots\). (Hacer no\(c_{2}=0\) daría una solución distinta de cero del problema.) Así, hay un número infinito de soluciones posibles, si tenemos la libertad de elegir nuestra\(\omega\). En la segunda mitad del curso investigaremos técnicas para resolver problemas de valor límite y veremos varias aplicaciones, entre ellas ver las conexiones con ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier.

Apéndice: Reducción de orden y raíces complejas

En esta sección proporcionamos algunos de los detalles que conducen a las formas generales para el coeficiente constante y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler. En la primera subsección revisamos cómo se utiliza el Método de Reducción del Orden para obtener las segundas soluciones linealmente independientes para el caso de una raíz repetida. En la segunda subsección revisamos cómo se pueden utilizar las soluciones complejas para producir dos soluciones reales linealmente independientes.

Introducción

En este capítulo comenzaremos nuestro estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales. Después de definir los sistemas de primer orden, veremos los sistemas de coeficientes constantes y el comportamiento de las soluciones para estos sistemas. Además, la mayor parte de la discusión se centrará en sistemas planos o bidimensionales. Para tales sistemas podremos observar una variedad de representaciones gráficas de la familia de soluciones y discutir las características cualitativas de los sistemas que podemos resolver en preparación para el estudio de sistemas cuyas soluciones no se pueden encontrar en una forma algebraica.

Una forma general para los sistemas de primer orden en el plano viene dada por un sistema de dos ecuaciones para incógnitas\(x(t)\) y\(y(t)\):

\[\begin{aligned} &x^{\prime}(t)=P(x, y, t) \\ &y^{\prime}(t)=Q(x, y, t) \end{aligned} \nonumber \]

Un sistema autónomo es aquel en el que no existe una dependencia explícita del tiempo:

\[\begin{aligned} &x^{\prime}(t)=P(x, y) \\ &y^{\prime}(t)=Q(x, y) \end{aligned} \nonumber \]

De lo contrario el sistema se llama no autónomo.

Un sistema lineal toma la forma

\[\begin{aligned} x^{\prime} &=a(t) x+b(t) y+e(t) \\ y^{\prime} &=c(t) x+d(t) y+f(t) \end{aligned} \nonumber \]

Un sistema lineal homogéneo da como resultado cuándo\(e(t)=0\) y\(f(t)=0\).

Un sistema lineal de coeficientes constantes de ecuaciones diferenciales de primer orden viene dado por

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=a x+b y+e \\ &y^{\prime}=c x+d y+f \end{aligned} \nonumber \]

Nos centraremos en sistemas lineales y homogéneos de ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes constantes:

Como veremos más adelante, tales sistemas pueden resultar por una simple traducción de las funciones desconocidas. Se dice que estas ecuaciones están acopladas si cualquiera\(b \neq 0\) o\(c \neq 0\).

Comenzamos por señalar que el sistema (2.5) puede reescribirse como una ecuación diferencial lineal de coeficiente constante de segundo orden, que ya sabemos resolver. Diferenciamos la primera ecuación en sistema sistema (2.5) y reemplazamos sistemáticamente las ocurrencias de\(y\) y\(y^{\prime}\), ya que también sabemos por la primera ecuación que\(y=\dfrac{1}{b}\left(x^{\prime}-a x\right)\). Así, tenemos

\[\begin{aligned} x^{\prime \prime} &=a x^{\prime}+b y^{\prime} \\ &=a x^{\prime}+b(c x+d y) \\ &=a x^{\prime}+b c x+d\left(x^{\prime}-a x\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Reescribiendo la última línea, tenemos

\(x^{\prime \prime}-(a+d) x^{\prime}+(a d-b c) x=0 .\)

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria lineal, homogénea, de coeficiente constante. Sabemos que podemos resolver esto mirando primero las raíces de la ecuación característica

\[r^{2}-(a+d) r+a d-b c=0 \nonumber \]

y anotar la solución general apropiada para\(x(t)\). Entonces podemos encontrar\(y(t)\) usando la ecuación (2.5):

\[y=\dfrac{1}{b}\left(x^{\prime}-a x\right) . \nonumber \]

Ahora demostramos esto para un ejemplo específico.

Ejemplo 2.1. Considerar el sistema de ecuaciones diferenciales

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=-x+6 y \\ &y^{\prime}=x-2 y . \end{aligned} \nonumber \]

Llevando a cabo los pasos antes señalados, tenemos eso\(x^{\prime \prime}+3 x^{\prime}-4 x=0\). Esto se puede mostrar de la siguiente manera:

\[\begin{aligned} x^{\prime \prime} &=-x^{\prime}+6 y^{\prime} \\ &=-x^{\prime}+6(x-2 y) \\ &=-x^{\prime}+6 x-12\left(\dfrac{x^{\prime}+x}{6}\right) \\ &=-3 x^{\prime}+4 x \end{aligned} \nonumber \]

La ecuación diferencial resultante tiene una ecuación característica de\(r^{2}+3 r-\)\(4=0\). Las raíces de esta ecuación son\(r=1,-4\). Por lo tanto,\(x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} .\) Pero, todavía necesitamos\(y(t)\). Desde la primera ecuación del sistema tenemos

\[y(t)=\dfrac{1}{6}\left(x^{\prime}+x\right)=\dfrac{1}{6}\left(2 c_{1} e^{t}-3 c_{2} e^{-4 t}\right) . \nonumber \]

Así, la solución a nuestro sistema es

\[\begin{aligned} &x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t}, \\ &y(t)=\dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{aligned} \nonumber \]

A veces uno necesita condiciones iniciales. Para estos sistemas especificaríamos condiciones como\(x(0)=x_{0}\) y\(y(0)=y_{0}\). Estos permitirían la determinación de las constantes arbitrarias como antes.

Ejemplo 2.2. Resolver

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=-x+6 y \\ &y^{\prime}=x-2 y \end{aligned} \nonumber \]

dado\(x(0)=2, y(0)=0\).

Ya tenemos la solución general de este sistema en (2.11). Insertando las condiciones iniciales, tenemos

\[\begin{aligned} &2=c_{1}+c_{2}, \\ &0=\dfrac{1}{3} c_{1}-\dfrac{1}{2} c_{2} . \end{aligned} \nonumber \]

Resolviendo\(c_{1}\) y\(c_{2}\) da\(c_{1}=6 / 5\) y\(c_{2}=4 / 5\). Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

\[\begin{aligned} &x(t)=\dfrac{2}{5}\left(3 e^{t}+2 e^{-4 t}\right) \\ &y(t)=\dfrac{2}{5}\left(e^{t}-e^{-4 t}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Representación Polar de Espirales

En los ejemplos con un centro o una espiral, uno podría ser capaz de escribir las soluciones en coordenadas polares. Recordemos que un punto en el plano puede ser descrito por\((r, \theta)\) coordenadas cartesianas\((x, y)\) o polares. Dada la forma polar, se pueden encontrar los componentes cartesianos usando

\[x=r \cos \theta \text { and } y=r \sin \theta . \nonumber \]

Dadas las coordenadas cartesianas, se pueden encontrar las coordenadas polares usando

\[r^{2}=x^{2}+y^{2} \text { and } \tan \theta=\dfrac{y}{x} . \nonumber \]

Ya que\(x\) y\(y\) son funciones de\(t\), entonces naturalmente podemos pensar en\(r\) y\(\theta\) como funciones de\(t\). Las ecuaciones que satisfacen se obtienen diferenciando las relaciones anteriores con respecto a\(t\).

Diferenciar la primera ecuación en\((2.27)\) da

\[r r^{\prime}=x x^{\prime}+y y^{\prime} . \nonumber \]

Insertando las expresiones para\(x^{\prime}\) y\(y^{\prime}\) desde el sistema\(2.5\), tenemos

\[r r^{\prime}=x(a x+b y)+y(c x+d y) . \nonumber \]

En algunos casos esto puede estar escrito enteramente en términos de\(r\)'s. Del mismo modo, tenemos que

\[\theta^{\prime}=\dfrac{x y^{\prime}-y x^{\prime}}{r^{2}} \nonumber \]

que el lector puede probar para la tarea.

En resumen, al convertir ecuaciones de primer orden de forma rectangular a polar, se necesitan las siguientes relaciones.

Formulación Matriz

Hemos investigado varios sistemas lineales en el plano y en el próximo capítulo usaremos algunas de estas ideas para investigar sistemas no lineales. Necesitamos una visión más profunda de las soluciones de los sistemas planos. Entonces, en esta sección refundiremos los sistemas lineales de primer orden en forma de matriz. Esto conducirá a una mejor comprensión de los sistemas de primer orden y permitirá extensiones a dimensiones superiores y la solución de ecuaciones no homogéneas más adelante en este capítulo.

Comenzamos con el sistema homogéneo habitual en la Ecuación (2.5). Que las incógnitas sean representadas por el vector

\[\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array}\right) \nonumber \]

Entonces tenemos eso

\[\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a x+b y \\ c x+d y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \equiv A \mathbf{x} \nonumber \]

Aquí hemos introducido la matriz de coeficientes\(A\). Esta es una ecuación diferencial vectorial de primer orden,

\[\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x} \nonumber \]

Anteriormente, podemos escribir la solución como

\[\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0} e^{A t} \nonumber \]

\(\overline{1}\)El exponencial de una matriz se define usando la expansión de la serie Maclaurin Nos gustaría investigar la solución de nuestro sistema. Nuestras investigaciones conducirán a nuevas técnicas para resolver sistemas lineales utilizando métodos matriciales.

Comenzamos recordando la solución al problema específico (2.12). Obtuvimos la solución a este sistema como

\[\begin{gathered} x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t}, \\ y(t)=\dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{gathered} \nonumber \]

Esto se puede reescribir usando operaciones matriciales. A saber, primero escribimos la solución en forma de vector.

\[\begin{aligned} \mathbf{x} &=\left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} \\ \dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} c_{1} e^{t} \\ \dfrac{1}{3} c_{1} e^{t} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} c_{2} e^{-4 t} \\ -\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array}\right) \\ &=c_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \dfrac{1}{3} \end{array}\right) e^{t}+c_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\dfrac{1}{2} \end{array}\right) e^{-4 t} \end{aligned} \nonumber \]

Vemos que nuestra solución está en forma de una combinación lineal de vectores de la forma

\[\mathbf{x}=\mathbf{v} e^{\lambda t} \nonumber \]

con\(\mathbf{v}\) un vector constante y\(\lambda\) un número constante. Esto es similar a cómo comenzamos a encontrar soluciones a las ecuaciones de coeficientes constantes de segundo orden. Entonces, para el problema general (2.3) insertamos esta suposición. Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \mathbf{x}^{\prime} &=A \mathbf{x} \Rightarrow \\ \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t} &=A \mathbf{v} e^{\lambda t} . \end{aligned} \nonumber \]

Para que esto sea cierto para todos\(t\), tenemos que

\[A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} . \nonumber \]

Este es un problema de valor propio. \(A\)es una\(2 \times 2\) matriz para nuestro problema, pero fácilmente podría generalizarse a un sistema de ecuaciones diferenciales de\(n\) primer orden. Vamos a confinar nuestras observaciones por ahora a sistemas planos. Sin embargo, necesitamos recordar cómo resolver problemas de valor propio y luego ver cómo las soluciones de problemas de autovalor pueden ser utilizadas para obtener soluciones a nuestros sistemas de ecuaciones diferenciales.

\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2 !}+\dfrac{x^{3}}{3 !}+\cdots \nonumber \]

Entonces, definimos

\[e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty}=I+A+\dfrac{A^{2}}{2 !}+\dfrac{A^{3}}{3 !}+\cdots \nonumber \]

En general, es difícil calcular\(e^{A}\) a menos que\(A\) sea diagonal.

Resolviendo Sistemas de Coeficientes Constantes\(2 \mathrm{D}\)

Antes de proceder a los ejemplos, primero indicamos los tipos de soluciones que podrían resultar de la solución de un sistema de coeficientes homogéneos y constantes de ecuaciones diferenciales de primer orden. Comenzamos con el sistema lineal de ecuaciones diferenciales en forma de matriz.

\[\dfrac{d \mathbf{x}}{d t}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \mathbf{x}=A \mathbf{x} . \nonumber \]

El tipo de comportamiento depende de los valores propios de la matriz\(A\). El procedimiento consiste en determinar los valores propios y los vectores propios y utilizarlos para construir la solución general.

Si tenemos una condición inicial,\(\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\mathbf{x}_{0}\), podemos determinar las dos constantes arbitrarias en la solución general para obtener la solución particular. Así, si\(\mathbf{x}_{1}(t)\) y\(\mathbf{x}_{2}(t)\) son dos soluciones linealmente independientes\({ }^{2}\), entonces la solución general se da como

\[\mathbf{x}(t)=c_{1} \mathbf{x}_{1}(t)+c_{2} \mathbf{x}_{2}(t) \nonumber \]

Luego, configurando\(t=0\), obtenemos dos ecuaciones lineales para\(c_{1}\) y\(c_{2}\):

\[c_{1} \mathbf{x}_{1}(0)+c_{2} \mathbf{x}_{2}(0)=\mathbf{x}_{0} \nonumber \]

El trabajo principal es encontrar las soluciones linealmente independientes. Esto depende de los diferentes tipos de valores propios que se obtienen al resolver la ecuación del valor propio,\(\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\). La naturaleza de estas raíces indica la forma de la solución general. En la siguiente página resumimos la clasificación de soluciones en términos de los valores propios de la matriz de coeficientes. Primero hacemos algunas observaciones generales sobre la plausibilidad de estas soluciones y luego proporcionamos ejemplos en la siguiente sección para aclarar los métodos matriciales para nuestros sistemas bidimensionales.

La construcción de la solución general en el Caso I es sencilla. Sin embargo, los otros dos casos necesitan un poco de explicación.

\({ }^{2}\)Recordemos que la independencia lineal significa\(c_{1} \mathbf{x}_{1}(t)+c_{2} \mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{0}\) si y sólo si\(c_{1}, c_{2}=\) 0. El lector debe derivar la condición sobre\(\mathbf{x}_{i}\) la independencia lineal.

1. Caso I: Dos raíces reales, distintas.

Resolver el problema del valor propio\(A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\) para cada valor propio obteniendo dos vectores propios\(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\). Luego escribe la solución general como una combinación lineal\(\mathbf{x}(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} \mathbf{v}_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \mathbf{v}_{2}\)

Ejemplos del Método Matrix

Aquí vamos a dar algunos ejemplos de sistemas típicos para los tres casos mencionados en la última sección.

Ejemplo 2.14. \(A=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right)\).

Valores propios: Primero determinamos los valores propios.

\[0=\left|\begin{array}{cc} 4-\lambda & 2 \\ 3 & 3-\lambda \end{array}\right| \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} &0=(4-\lambda)(3-\lambda)-6 \\ &0=\lambda^{2}-7 \lambda+6 \\ &0=(\lambda-1)(\lambda-6) \end{aligned} \nonumber \]

Los valores propios son entonces\(\lambda=1,6\). Este es un ejemplo del Caso I.

Autovectores: A continuación determinamos los vectores propios asociados a cada uno de estos autovalores. Tenemos que resolver el sistema\(A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\) en cada caso. Caso\(\lambda=1\)

\[\begin{gathered} \left(\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{gathered} \nonumber \]

Esto da\(3 v_{1}+2 v_{2}=0\). Una posible solución produce un vector propio de

\[\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right) \nonumber \]

Caso\(\lambda=6\)

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=6\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \\ &\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Para este caso tenemos que resolver\(-2 v_{1}+2 v_{2}=0\). Esto rinde

\[\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \nonumber \]

Solución General: Ahora podemos construir la solución general.

\[\begin{aligned} \mathbf{x}(t) &=c_{1} e^{\lambda_{1} t} \mathbf{v}_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \mathbf{v}_{2} \\ &=c_{1} e^{t}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right)+c_{2} e^{6 t}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} 2 c_{1} e^{t}+c_{2} e^{6 t} \\ -3 c_{1} e^{t}+c_{2} e^{6 t} \end{array}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Ejemplo 2.15. \(A=\left(\begin{array}{ll}3 & -5 \\ 1 & -1\end{array}\right)\).

Valores propios: Una vez más, se resuelve la ecuación del valor propio.

\[0=\left|\begin{array}{cc} 3-\lambda & -5 \\ 1 & -1-\lambda \end{array}\right| \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} &0=(3-\lambda)(-1-\lambda)+5 \\ &0=\lambda^{2}-2 \lambda+2 \\ &\lambda=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{4-4(1)(2)}}{2}=1 \pm i \end{aligned} \nonumber \]

Los valores propios son entonces\(\lambda=1+i, 1-i\). Este es un ejemplo del Caso III.

Autovectores: Para encontrar la solución general, solo necesitamos encontrar el vector propio asociado con\(1+i\).

\[\begin{gathered} \left(\begin{array}{l} 3-5 \\ 1-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=(1+i)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{cc} 2-i & -5 \\ 1 & -2-i \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{gathered} \nonumber \]

Tenemos que resolver\((2-i) v_{1}-5 v_{2}=0\). Por lo tanto,

\[\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array}\right) \nonumber \]

Solución compleja: Para obtener las dos soluciones reales linealmente independientes, necesitamos calcular las partes real e imaginaria de\(\mathbf{v} e^{\lambda t}\).

\[\begin{aligned} e^{\lambda t}\left(\begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array}\right) &=e^{(1+i) t}\left(\begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array}\right) \\ &=e^{t}(\cos t+i \sin t)\left(\begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array}\right) \\ &=e^{t}\left(\begin{array}{c} (2+i)(\cos t+i \sin t) \\ \cos t+i \sin t \end{array}\right) \\ &=e^{t}\left(\begin{array}{c} (2 \cos t-\sin t)+i(\cos t+2 \sin t) \\ \cos t+i \sin t \end{array}\right)+i e^{t}\left(\begin{array}{c} \cos t+2 \sin t \\ \sin t \end{array}\right) \\ &=e^{t}\left(\begin{array}{c} 2 \cos t-\sin t \\ \cos t \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Solución General: Ahora podemos construir la solución general.

\[\begin{aligned} \mathbf{x}(t) &=c_{1} e^{t}\left(\begin{array}{l} 2 \cos t-\sin t \\ \cos t \end{array}\right)+c_{2} e^{t}\left(\begin{array}{c} \cos t+2 \sin t \\ \sin t \end{array}\right) \\ &=e^{t}\left(\begin{array}{c} c_{1}(2 \cos t-\sin t)+c_{2}(\cos t+2 \sin t) \\ c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Nota: Esto se puede reescribir como

\[\mathbf{x}(t)=e^{t} \cos t\left(\begin{array}{c} 2 c_{1}+c_{2} \\ c_{1} \end{array}\right)+e^{t} \sin t\left(\begin{array}{c} 2 c_{2}-c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right) \nonumber \]

Ejemplo 2.16. \(A=\left(\begin{array}{cc}7 & -1 \\ 9 & 1\end{array}\right)\).

Valores propios:

\[0=\left|\begin{array}{cc} 7-\lambda & -1 \\ 9 & 1-\lambda \end{array}\right| \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} &0=(7-\lambda)(1-\lambda)+9 \\ &0=\lambda^{2}-8 \lambda+16 \\ &0=(\lambda-4)^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Sólo hay un valor propio real,\(\lambda=4\). Este es un ejemplo del Caso II.

Autovectores: En este caso primero resolvemos para\(\mathbf{v}_{1}\) y luego obtenemos el segundo vector linealmente independiente.

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc} 7 & -1 \\ 9 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=4\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right) \\ &\left(\begin{array}{ll} 3 & -1 \\ 9 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto, tenemos

\[3 v_{1}-v_{2}=0, \quad \Rightarrow \quad\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Segunda solución linealmente independiente:

Ahora tenemos que resolver\(A \mathbf{v}_{2}-\lambda \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{1}\).

Ampliando el producto matriz, obtenemos el sistema de ecuaciones

\[\begin{array}{r} 3 u_{1}-u_{2}=1 \\ 9 u_{1}-3 u_{2}=3 . \end{array} \nonumber \]

La solución de este sistema es\(\left(\begin{array}{l}u_{1} \\ u_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)\).

Solución general: Construimos la solución general como

\[\begin{aligned} \mathbf{y}(t) &=c_{1} e^{\lambda t} \mathbf{v}_{1}+c_{2} e^{\lambda t}\left(\mathbf{v}_{2}+t \mathbf{v}_{1}\right) \\ &=c_{1} e^{4 t}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right)+c_{2} e^{4 t}\left[\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right)\right] \\ &=e^{4 t}\left(\begin{array}{c} c_{1}+c_{2}(1+t) \\ 3 c_{1}+c_{2}(2+3 t) \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

\[\begin{aligned} & \left(\begin{array}{cc}7 & -1 \\9 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}u_{1} \\u_{2}\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{l}u_{1} \\u_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\3\end{array}\right) \\ & \left(\begin{array}{ll}3 & -1 \\9 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}u_{1} \\u_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\3\end{array}\right) \text {. } \end{aligned} \nonumber \]

Teoría de sistemas homogéneos de coeficiente constante

Existe una teoría general para resolver sistemas de coeficientes homogéneos y constantes de ecuaciones diferenciales de primer orden. Comenzamos recordando una vez más el problema específico (2.12). Obtuvimos la solución a este sistema como

\[\begin{gathered} x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t}, \\ y(t)=\dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{gathered} \nonumber \]

Cuadro 2.2. Tres ejemplos de sistemas con una raíz repetida de\(\lambda=2\).

Esta vez reescribimos la solución como

\[\begin{aligned} \mathbf{x} &=\left(\begin{array}{c} c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} \\ \dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} e^{t} & e^{-4 t} \\ \dfrac{1}{3} e^{t}-\dfrac{1}{2} e^{-4 t} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right) \\ & \equiv \Phi(t) \mathbf{C} \end{aligned} \nonumber \]

Así, podemos escribir la solución general como una\(2 \times 2\) matriz\(\Phi\) multiplicada por un vector constante arbitrario. La matriz\(\Phi\) consta de dos columnas que son soluciones linealmente independientes del sistema original. Esta matriz es un ejemplo de lo que vamos a definir como la Matriz Fundamental de soluciones del sistema. Entonces, determinar la Matriz Fundamental nos permitirá encontrar la solución general del sistema tras la multiplicación por una matriz constante. De hecho, veremos que también conducirá a una representación simple de la solución del problema de valor inicial para nuestro sistema. Vamos a esbozar la teoría general.

Considerar el sistema de coeficientes homogéneos y constantes de las ecuaciones diferenciales de primer orden

\[\begin{aligned} \dfrac{d x_{1}}{d t} &=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n} \\ \dfrac{d x_{2}}{d t} &=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n} \\ & \vdots \\ \dfrac{d x_{n}}{d t} &=a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\ldots+a_{n n} x_{n} \end{aligned} \nonumber \]

Como hemos visto, esto se puede escribir en forma de matriz\(\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}\), donde

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \nonumber \]

y

\[A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right) \nonumber \]

Ahora, considere soluciones\(m\) vectoriales de este sistema:\(\phi_{1}(t), \phi_{2}(t), \ldots \phi_{m}(t)\). Se dice que estas soluciones son linealmente independientes en algún dominio si

\[c_{1} \phi_{1}(t)+c_{2} \phi_{2}(t)+\ldots+c_{m} \phi_{m}(t)=0 \nonumber \]

para todos\(t\) en el dominio implica eso\(c_{1}=c_{2}=\ldots=c_{m}=0\).

\(\phi_{1}(t), \phi_{2}(t), \ldots \phi_{n}(t)\)Sea un conjunto de soluciones\(n\) linealmente independientes de nuestro sistema, llamado conjunto fundamental de soluciones. Construimos una matriz a partir de estas soluciones utilizando estas soluciones como la columna de esa matriz. Definimos esta matriz como la solución matriz fundamental. Esta matriz toma la forma

\[\Phi=\left(\begin{array}{lll} \phi_{1} & \ldots & \phi_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \phi_{11} & \phi_{12} & \cdots & \phi_{1 n} \\ \phi_{21} & \phi_{22} & \cdots & \phi_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{n 1} & \phi_{n 2} & \cdots & \phi_{n n} \end{array}\right) \nonumber \]

¿Qué entendemos por una solución “matricial”? Hemos asumido que cada uno\(\phi_{k}\) es una solución de nuestro sistema. Por lo tanto, tenemos eso\(\phi_{k}^{\prime}=A \phi_{k}\), para\(k=1, \ldots, n\). Decimos que\(\Phi\) es una solución matricial porque podemos demostrar que\(\Phi\) también satisface la formulación matricial del sistema de ecuaciones diferenciales. Podemos mostrar esto usando las propiedades de las matrices.

\[\begin{aligned} \dfrac{d}{d t} \Phi &=\left(\phi_{1}^{\prime} \ldots \phi_{n}^{\prime}\right) \\ &=\left(A \phi_{1} \ldots A \phi_{n}\right) \\ &=A\left(\phi_{1} \ldots \phi_{n}\right) \\ &=A \Phi \end{aligned} \nonumber \]

Dado un conjunto de soluciones vectoriales del sistema, ¿cuándo son linealmente independientes? Consideramos una solución matricial\(\Omega(t)\) del sistema en el que tenemos soluciones\(n\) vectoriales. Entonces, definimos el Wronskian\(\Omega(t)\) de ser

\[W=\operatorname{det} \Omega(t) \nonumber \]

Si\(W(t) \neq 0\), entonces\(\Omega(t)\) es una solución matriz fundamental. Antes de continuar, enumeramos las soluciones de matriz fundamental para el conjunto de ejemplos en la última sección. (Consulte las soluciones de esos ejemplos.) Además, tenga en cuenta que las soluciones de matriz fundamental no son únicas ya que se puede multiplicar cualquier columna por una constante distinta de cero y aún así tener una solución de matriz fundamental.

Ejemplo 2.14\(A=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right)\).

\[\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 e^{t} & e^{6 t} \\ -3 e^{t} & e^{6 t} \end{array}\right) \nonumber \]

Debemos señalar en este caso que el Wronskian se encuentra como

\[\begin{aligned} W &=\operatorname{det} \Phi(t) \\ &=\left|\begin{array}{cc} 2 e^{t} & e^{6 t} \\ -3 e^{t} & e^{6 t} \end{array}\right| \\ &=5 e^{7 t} \neq 0 . \end{aligned} \nonumber \]

Ejemplo 2.15\(A=\left(\begin{array}{ll}3 & -5 \\ 1 & -1\end{array}\right)\).

\[\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} e^{t}(2 \cos t-\sin t) & e^{t}(\cos t+2 \sin t) \\ e^{t} \cos t & e^{t} \sin t \end{array}\right) \nonumber \]

Ejemplo\(2.16 A=\left(\begin{array}{cc}7 & -1 \\ 9 & 1\end{array}\right)\).

\[\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} e^{4 t} & e^{4 t}(1+t) \\ 3 e^{4 t} & e^{4 t}(2+3 t) \end{array}\right) \nonumber \]

Hasta el momento sólo hemos determinado la solución general. Esto se realiza mediante los siguientes pasos:

Sistemas no homogéneos

Antes de abandonar la teoría de sistemas de sistemas lineales, de coeficientes constantes, discutiremos los sistemas no homogéneos. Nos gustaría resolver sistemas de la forma

\[\begin{aligned} & \mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{cc}e^{-t} & e^{2 t} \\-2 e^{-t} & -e^{2 t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\2\end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{cc}e^{-t} & e^{2 t} \\-2 e^{-t} & -e^{2 t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3 \\4\end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{c}-3 e^{-t}+4 e^{2 t} \\6 e^{-t}-4 e^{2 t}\end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

\[\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}+\mathbf{f}(t) \nonumber \]

Supondremos que hemos encontrado la solución matriz fundamental de la ecuación homogénea. Además, vamos a suponer que\(A(t)\) y\(\mathbf{f}(t)\) son continuos en algún dominio común.

Al igual que con las ecuaciones de segundo orden, podemos buscar soluciones que sean una suma de la solución general al problema homogéneo más una solución particular del problema no homogéneo. A saber, podemos escribir la solución general como

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\mathbf{x}_{p}(t), \nonumber \]

donde\(\mathbf{C}\) es un vector constante arbitrario,\(\Phi(t)\) es la solución matriz fundamental de\(\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}\), y

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}_{p}+\mathbf{f}(t) . \nonumber \]

Tal representación es fácilmente verificada.

Tenemos que encontrar la solución particular,\(\mathbf{x}_{p}(t)\). Podemos hacer esto aplicando El Método de Variación de Parámetros para Sistemas. Consideramos una solución en la forma de la solución del problema homogéneo, pero reemplazamos el vector constante por funciones de parámetros desconocidos. A saber, suponemos que

\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \mathbf{c}(t) . \nonumber \]

Diferenciando, tenemos que

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}=\Phi^{\prime} \mathbf{c}+\Phi \mathbf{c}^{\prime}=A \Phi \mathbf{c}+\Phi \mathbf{c}^{\prime} \nonumber \]

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}-A \mathbf{x}_{p}=\Phi \mathbf{c}^{\prime} . \nonumber \]

Pero el lado izquierdo es\(\mathbf{f}\). Entonces, tenemos eso,

\[\Phi \mathbf{c}^{\prime}=\mathbf{f} \nonumber \]

o, ya que\(\Phi\) es invertible (¿por qué?) ,

\[\mathbf{c}^{\prime}=\Phi^{-1} \mathbf{f} \nonumber \]

En principio, esto se puede integrar para dar c. Por lo tanto, la solución particular puede escribirse como

\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s . \nonumber \]

Esta es la fórmula de variación de parámetros.

La solución general de la Ecuación (2.70) se ha encontrado como

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s . \nonumber \]

Podemos usar la solución general para encontrar la solución particular de un problema de valor inicial consistente en la Ecuación (2.70) y la condición inicial\(\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\)\(\mathbf{x}_{0}\). Esta condición se cumple para una solución del formulario

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

siempre

\[\mathbf{x}_{0}=\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\Phi\left(t_{0}\right) \mathbf{C} . \nonumber \]

Esto se puede resolver\(\mathbf{C}\) como en la última sección. Insertando la solución de nuevo en la solución general\((2.73)\), tenemos

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right) \mathbf{x}_{0}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

Esta solución se puede escribir un poco más ordenada en términos de la solución matriz principal,\(\Psi(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right)\):

\[\mathbf{x}(t)=\Psi(t) \mathbf{x}_{0}+\Psi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Psi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

Por último, se produce una simplificación más cuando\(A\) es una matriz constante, que son los únicos tipos de problemas que hemos resuelto en este capítulo. En este caso, tenemos eso\(\Psi^{-1}(t)=\Psi(-t)\). Entonces, la computación\(\Psi^{-1}(t)\) es relativamente fácil.

Ejemplo 2.18. \(x^{\prime \prime}+x=2 \cos t, x(0)=4, x^{\prime}(0)=0\). Este ejemplo se puede resolver utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados. Sin embargo, utilizaremos el método matricial descrito en esta sección.

Primero, escribimos el problema en forma de matriz. El sistema se puede escribir como

\[\begin{gathered} x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=-x+2 \cos t \end{gathered} \nonumber \]

Así, tenemos un sistema no homogéneo de la forma

\[\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}+\mathbf{f}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

A continuación necesitamos la matriz fundamental de soluciones del problema homogéneo. Tenemos eso

\[A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Los valores propios de esta matriz son\(\lambda=\pm i\). Un vector propio asociado con\(\lambda=i\) se encuentra fácilmente como\(\left(\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right)\). Esto lleva a una solución compleja

\[\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{i t}=\left(\begin{array}{c} \cos t+i \sin t \\ i \cos t-\sin t \end{array}\right) . \nonumber \]

A partir de esta solución podemos construir la matriz de solución fundamental

\[\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

Entonces, la solución general al problema homogéneo es

\[\mathbf{x}_{h}=\Phi(t) \mathbf{C}=\left(\begin{array}{c} c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \\ -c_{1} \sin t+c_{2} \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

A continuación buscamos una solución particular al problema no homogéneo. De la Ecuación (2.73) vemos que necesitamos\(\Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s)\). Así, tenemos

\[\begin{aligned} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) &=\left(\begin{array}{cc} \cos s & -\sin s \\ \sin s & \cos s \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \cos s \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} -2 \sin s \cos s \\ 2 \cos ^{2} s \end{array}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Ahora calculamos

por lo tanto, la solución general es

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \\ -c_{1} \sin t+c_{2} \cos t \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} t \sin t \\ \sin t+t \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

La solución al problema del valor inicial es

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} t \sin t \\ \sin t+t \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \cos t+t \sin t \\ -3 \sin t+t \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

Sistemas Muelles-Masa

Hay muchos problemas en la física que resultan en sistemas de ecuaciones. Esto se debe a que la ley más básica de la física la da la Segunda Ley de Newton, que establece que si un cuerpo experimenta una fuerza neta, se acelerará. En particular, la fuerza neta es proporcional a la aceleración con una constante de proporcionalidad llamada masa,\(m\). Esto se resume como

\[\sum \mathbf{F}=m \mathbf{a} \nonumber \]

Ya que\(\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{x}}\), la Segunda Ley de Newton es matemáticamente un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden para problemas tridimensionales, o una ecuación diferencial de segundo orden para problemas unidimensionales. Si hay varias masas, entonces, naturalmente, terminaríamos con sistemas sin importar cuántas dimensiones se involucren.

Un problema estándar que se encuentra en un primer curso en ecuaciones diferenciales es el de un solo bloque en un resorte como se muestra en la Figura 2.18. La fuerza neta en este caso es la fuerza restauradora de la primavera dada por la Ley de Hooke,

\[F_{s}=-k x \nonumber \]

donde\(k>0\) esta la constante primaveral. Aquí\(x\) está el alargamiento del resorte, o el desplazamiento del bloque del equilibrio. Cuando\(x\) es positivo, la fuerza del resorte es negativa y cuando\(x\) es negativa la fuerza del resorte es positiva. Hemos representado un sistema horizontal sentado sobre una superficie sin fricción.

Se puede proporcionar un modelo similar para muelles orientados verticalmente. Coloca el bloque sobre un muelle que cuelga verticalmente. Se trata de equilibrio, estirando la primavera por\(\ell_{0}\). La Segunda Ley de Newton da

\[-m g+k \ell_{0}=0 . \nonumber \]

Ahora, tirando más de la masa\(x_{0}\), y liberándola, la masa comienza a oscilar. Dejando\(x\) ser el desplazamiento del nuevo equilibrio, da ahora la Segunda Ley de Newton\(m \ddot{x}=-m g+k\left(\ell_{0}-x\right)=-k x\).

En ambos ejemplos (una masa oscilante horizontal o véticamente) la Segunda Ley del movimiento de Newton se reulta en la ecuación diferencial

\[m \ddot{x}+k x=0 . \nonumber \]

Esta es la ecuación para el movimiento armónico simple que ya hemos encontrado en el Capítulo\(1 .\)

Esta ecuación de segundo orden puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones de primer orden.

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=y \\ &y^{\prime}=-\dfrac{k}{m} x \end{aligned} \nonumber \]

La matriz de coeficientes para este sistema es

\[A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega^{2} & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

donde\(\omega^{2}=\dfrac{k}{m}\). Los valores propios de este sistema son\(\lambda=\pm i \omega\) y las soluciones son simples senos y cosenos,

\[\begin{aligned} &x(t)=c_{1} \cos \omega t+c_{2} \sin \omega t, \\ &y(t)=\omega\left(-c_{1} \sin \omega t+c_{2} \cos \omega t\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Observamos además que\(\omega\) se llama la frecuencia angular de oscilación y se da en\(\mathrm{rad} / \mathrm{s}\). La frecuencia de oscilación es

\[f=\dfrac{\omega}{2 \pi} \nonumber \]

Normalmente tiene unidades de\(\mathrm{s}^{-1}\), cps o Hz. El inverso multiplicativo tiene unidades de tiempo y se llama el período,

\[T=\dfrac{1}{f} . \nonumber \]

Así, el período de oscilación para una masa\(m\) en un resorte con constante de resorte\(k\) viene dado por

\[T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \nonumber \]

Por supuesto, no necesitábamos convertir el último problema en un sistema. De hecho, habíamos visto esta ecuación en el Capítulo 1. Sin embargo, cuando se considera

sistemas de masa-resorte más complicados, los sistemas de ecuaciones diferenciales ocurren naturalmente. Considere dos bloques unidos con dos resortes como se muestra en la Figura 2.19. En este caso aplicamos la segunda ley de Newton para cada bloque.

Primero, considere las fuerzas que actúan sobre el primer bloque. El primer resorte se estira por\(x_{1}\). Esto da una fuerza de\(F_{1}=-k_{1} x_{1}\). El segundo resorte también puede ejercer una fuerza sobre el bloque dependiendo de si se estira, o no. Si ambos bloques son desplazados en la misma cantidad, entonces el resorte no se desplaza. Entonces, la cantidad en la que se desplaza el resorte depende de los desplazamientos relativos de las dos masas. Esto resulta en una segunda fuerza de\(F_{2}=k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\).

Solo hay un resorte conectado a la masa dos. Nuevamente la fuerza depende del desplazamiento relativo de las masas. Simplemente se dirige de manera opositora a la fuerza que uno siente de esta primavera.

Combinando estas fuerzas y usando la Segunda Ley de Newton para ambas masas, tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

\[\begin{aligned} &m_{1} \ddot{x}_{1}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ &m_{2} \ddot{x}_{2}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Se puede reescribir este sistema de dos ecuaciones de segundo orden como un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden. Esto se hace introduciendo dos nuevas variables\(x_{3}=\dot{x}_{1}\) y\(x_{4}=\dot{x}_{2}\). Tenga en cuenta que estas físicamente son las velocidades de los dos bloques.

El sistema resultante de ecuaciones de primer orden se da como

\[\begin{aligned} \dot{x}_{1} &=x_{3} \\ \dot{x}_{2} &=x_{4} \\ \dot{x}_{3} &=-\dfrac{k_{1}}{m_{1}} x_{1}+\dfrac{k_{2}}{m_{1}}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ \dot{x}_{4} &=-\dfrac{k_{2}}{m_{2}}\left(x_{2}-x_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Podemos escribir nuestro nuevo sistema en forma de matriz como

\[\left(\begin{array}{c} \dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3} \\ \dot{x}_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\dfrac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}} & \dfrac{k_{2}}{m_{1}} & 0 & 0 \\ \dfrac{k_{2}}{m_{2}} & -\dfrac{k_{2}}{m_{2}} & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \nonumber \]

Circuitos Eléctricos

Otro problema que a menudo se encuentra en una clase de física de primer año es el de un circuito en serie LRC. Este circuito se representa en la Figura\(2.20\). La resistencia es un elemento de circuito que satisface la Ley de Ohm. El condensador es un dispositivo que almacena energía eléctrica y un inductor, o bobina, almacena energía magnética.

La física para este problema proviene de las Reglas para circuitos de Kirchoff. Como solo hay un bucle, solo necesitaremos la Regla Loop de Kirchoff. A saber, la suma de las caídas en el potencial eléctrico se establece igual a las subidas en el potencial eléctrico. Las caídas potenciales a través de cada elemento del circuito están dadas por

1. Resistor:\(V_{R}=I R\).
2. Capacitor:\(V_{C}=\dfrac{q}{C}\).
3. Inductor:\(V_{L}=L \dfrac{d I}{d t}\).

Sumando estas caídas de potencial y ajustando la suma igual al voltaje suministrado por la fuente de voltaje\(V(t)\),, obtenemos

\[I R+\dfrac{q}{C}+L \dfrac{d I}{d t}=V(t) \nonumber \]

Además, recordamos que la corriente se define como\(I=\dfrac{d q}{d t}\). donde\(q\) esta la carga en el circuito. Ya que ambos\(q\) y\(I\) son desconocidos, podemos sustituir la corriente por su expresión en términos de la carga para obtener

\[L \ddot{q}+R \dot{q}+\dfrac{1}{C} q=V(t) . \nonumber \]

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden para\(q(t)\). Se puede establecer un sistema de ecuaciones y proceder a resolverlas. Sin embargo, esta es una ecuación diferencial de coeficiente constante y también se puede resolver usando los métodos del Capítulo\(1 .\)

En los siguientes ejemplos veremos casos especiales que surgen para la ecuación del circuito LRC en serie. Estos incluyen\(R C\) circuitos, solucionables por métodos de primer orden y\(L C\) circuitos, que conducen a un comportamiento oscilatorio.

Asuntos amorosos

La siguiente aplicación es aquella que ha sido estudiada por varios autores como un lindo sistema que involucra relaciones. Se considera lo que sucede con los afectos que dos personas tienen el uno por el otro a lo largo del tiempo. Que\(R\) denote el cariño que Romeo tiene por Julieta y\(J\) sea el cariño que Julieta tiene por Romeo. los valores positivos indican amor y los valores negativos indican disgusto.

Un posible modelo viene dado por

\[\begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R \end{aligned} \nonumber \]

con\(b>0\) y\(c<0\). En este caso Romeo ama a Julieta cuanto más le gusta a ella. Pero Julieta retrocede cuando encuentra cada vez mayor su amor por ella.

Se puede modelar un sistema típico que relaciona los cambios combinados en el afecto

\[\begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=a R+b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R+d J \end{aligned} \nonumber \]

Varios escenarios son posibles para diversas elecciones de las constantes. Por ejemplo, si\(a>0\) y\(b>0\), Romeo se emociona cada vez más por el amor de Julieta por él. Si\(c>0\) y\(d<0\), Julieta está siendo cautelosa sobre su relación con Romeo. Para valores específicos de los parámetros y condiciones iniciales, uno puede explorar este partido de un amante demasiado celoso con un amante cauteloso.

Predator Prey Modelos

Otro modelo común estudiado es el de especies competidoras. Por ejemplo, podríamos considerar una población de conejos y zorros. Dejados a sí mismos, los conejos tenderían a multiplicarse, así

\[\dfrac{d R}{d t}=a R, \nonumber \]

con\(a>0\). En tal modelo la población de conejos crecería exponencialmente. De igual manera, una población de zorros se descompondría sin que los conejos se alimentaran. Entonces, tenemos que

\[\dfrac{d F}{d t}=-b F \nonumber \]

para\(b>0\).

Ahora bien, si juntamos a estas poblaciones en una isla desierta, ellas interactuarían. Cuantos más zorros, la población de conejos disminuiría. Sin embargo, cuantos más conejos, los zorros tendrían mucho para comer y la población prosperaría. Así, podríamos modelar las poblaciones competidoras como

\[\begin{gathered} \dfrac{d R}{d t}=a R-c F, \\ \dfrac{d F}{d t}=-b F+d R, \end{gathered} \nonumber \]

donde todas las constantes son números positivos. El estudio de este sistema acoplado conduciría como estudio de la dinámica de estas poblaciones. Discutiremos otros sistemas (no lineales) en el próximo capítulo.

Problemas de mezcla

Hay muchos tipos de problemas de mezcla. Tales problemas son estándar en un primer curso sobre ecuaciones diferenciales como ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Típicamente estos ejemplos consisten en un tanque de salmuera, agua que contiene una cantidad específica de sal con agua pura entrando y saliendo la mezcla, o el flujo de un contaminante dentro o fuera de un lago.

En general se tiene un caudal de cierta concentración de mezcla entrando en una región y una mezcla que sale de la región. El objetivo es determinar la cantidad de cosas que hay en la región en un momento dado. Esto se rige por la ecuación

\[\text { Rate of change of substance }=\text { Rate In }-\text { Rate Out. } \nonumber \]

Esto puede generalizarse al caso de dos tanques interconectados. Ponemos algunos ejemplos.

Cinética Química

Son muchos los problemas que provienen del estudio de las reacciones químicas. La reacción más simple es cuando un químico\(A\) se convierte en químico\(B\). Esto sucede a cierto ritmo,\(k>0\). Esto puede ser representado por la fórmula química

En este caso tenemos que las tasas de cambio de las concentraciones de\(A,[A]\), y\(B,[B]\), están dadas por

\[\begin{aligned} &\dfrac{d[A]}{d t}=-k[A] \\ &\dfrac{d[B]}{d t}=k[A] \end{aligned} \nonumber \]

Piense en esto ya que es clave para entender las próximas reacciones.

Una reacción más complicada viene dada por

\[A \underset{k_{1}}{\longrightarrow} B \underset{k_{2}}{\longrightarrow} C \text {. } \nonumber \]

En este caso podemos agregar a la ecuación anterior las tasas de cambio de concentraciones\([B]\) y\([C]\). El sistema resultante de ecuaciones es

\[\begin{aligned} \dfrac{d[A]}{d t} &=-k_{1}[A] \\ \dfrac{d[B]}{d t} &=k_{1}[A]-k_{2}[B] \\ \dfrac{d[C]}{d t} &=k_{2}[B] \end{aligned} \nonumber \]

Se pueden considerar adicionalmente reacciones en las que es posible una reacción inversa. Por lo tanto, se produce una generalización adicional para la reacción

\[A \underset{k_{1}}{\stackrel{k_{3}}{\longrightarrow}} B \underset{k_{2}}{\longrightarrow} C \text {. } \nonumber \]

El sistema resultante de ecuaciones es

\[\begin{aligned} &\dfrac{d[A]}{d t}=-k_{1}[A]+k_{3}[B] \\ &\dfrac{d[B]}{d t}=k_{1}[A]-k_{2}[B]-k_{3}[B] \\ &\dfrac{d[C]}{d t}=k_{2}[B] \end{aligned} \nonumber \]

Las reacciones químicas más complicadas se discutirán en un momento posterior.

Epidemias

Otra área interesante de aplicación de la ecuación diferencial es en la predicción de la propagación de la enfermedad. Por lo general, se tiene una población de personas o animales susceptibles. Varios individuos infectados se introducen en la población y uno está interesado en cómo se propaga la infección y si el número de personas infectadas aumenta drásticamente o muere. Dichos modelos suelen ser no lineales y veremos lo que se llama el modelo SIR en el siguiente capítulo. En esta sección modelaremos un modelo lineal simple.

Vamos a romper a la población en tres clases. Primero,\(S(t)\) están las personas sanas, que son susceptibles a la infección. \(I(t)\)Sea el número de personas infectadas. De estas personas infectadas, algunas morirán por la infección y otras se recuperarán. Supongamos que inicialmente ahí en una persona infectada y el resto, digamos\(N\), obviamente están sanos. ¿Podemos predecir cuántas muertes han ocurrido en el tiempo t?

Intentemos modelar este problema usando el análisis compartimental que habíamos visto en los problemas de mezcla. La tasa total de cambio de cualquier población se debiría a quienes ingresan al grupo menos a los que abandonan el grupo. Por ejemplo, el número de personas sanas disminuye debido a la infección y puede aumentar cuando parte del grupo infectado se recupera. Supongamos que la tasa de infección es proporcional al número de personas sanas,\(a S\). También, suponemos que el número que se recuperan es proporcional al número de infectados,\(r I\). Así, la tasa de cambio de las personas sanas se encuentra como

\[\dfrac{d S}{d t}=-a S+r I . \nonumber \]

Que el número de muertes sea\(D(t)\). Entonces, la tasa de mortalidad podría tomarse como proporcional al número de personas infectadas. Entonces,

\[\dfrac{d D}{d t}=d I \nonumber \]

Por último, la tasa de cambio de los infecciosos se debe a que las personas sanas se infectan y a los infecciosos que se recuperan o mueren. Usando los términos correspondientes en las otras ecuaciones, podemos escribir

\[\dfrac{d I}{d t}=a S-r I-d I . \nonumber \]

Este sistema lineal se puede escribir en forma de matriz.

\[\dfrac{d}{d t}\left(\begin{array}{c} S \\ I \\ D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -a & r & 0 \\ a & -d-r & 0 \\ 0 & d & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} S \\ I \\ D \end{array}\right) \nonumber \]

La ecuación de valor propio para este sistema es

\[\lambda\left[\lambda^{2}+(a+r+d) \lambda+a d\right]=0 . \nonumber \]

El lector puede encontrar las soluciones de este sistema y determinar si se trata de un modelo realista.

Apéndice: Diagonalización y Sistemas Lineales

Como hemos visto, la formulación matricial para sistemas lineales puede ser poderosa, especialmente para ecuaciones\(n\) diferenciales que involucran funciones\(n\) desconocidas. Nuestra capacidad para avanzar hacia soluciones dependía de la solución de problemas de autovalor. Sin embargo, en el caso de valores propios repetidos vimos algunas complicaciones adicionales. Todo esto depende profundamente del álgebra lineal de fondo. A saber, confiamos en poder diagonalizar la matriz de coeficientes dada. En esta sección discutiremos las limitaciones de la diagonalización e introduciremos la forma canónica de Jordania.

Comenzamos con la noción de similitud. Matrix\(A\) es similar a la matriz\(B\) si y solo si existe una matriz no singular\(P\) tal que

\[B=P^{-1} A P . \nonumber \]

Recordemos que una matriz no singular tiene un determinante distinto de cero y es invertible.

Observamos que la relación de similitud es una relación de equivalencia. A saber, satisface lo siguiente

1. \(A\)es similar a sí mismo.
2. Si\(A\) es similar a\(B\), entonces\(B\) es similar a\(A\).
3. Si\(A\) es similar a\(B\) y\(B\) es similar a\(C\), el\(A\) es similar a\(C\).

Además, si\(A\) es similar a\(B\), entonces tienen los mismos valores propios. Esto se deduce de un simple cálculo de la ecuación de valor propio. A saber,

\[\begin{aligned} 0 &=\operatorname{det}(B-\lambda I) \\ &=\operatorname{det}\left(P^{-1} A P-\lambda P^{-1} I P\right) \\ &=\operatorname{det}(P)^{-1} \operatorname{det}(A-\lambda I) \operatorname{det}(P) \\ &=\operatorname{det}(A-\lambda I) \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\) y\(\lambda\) es un valor propio de ambos\(A\) y\(B\).

Una\(n \times n\) matriz\(A\) es diagonalizable si y solo si\(A\) es similar a una matriz diagonal\(D\); es decir, existe una matriz no singular\(P\) tal que

\[D=P^{-1} A P . \nonumber \]

Uno de los teoremas más importantes en álgebra lineal es el Teorema Espectral. Este teorema nos dice cuándo se puede diagonalizar una matriz. De hecho, va más allá de las matrices a la diagonalización de operadores lineales. Aprendemos en álgebra lineal que los operadores lineales pueden ser representados por matrices una vez que elegimos una base de representación particular. La diagonalización es más simple para espacios vectoriales dimensionales finitos y requiere cierta generalización para espacios vectoriales dimensionales infinitos. Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoanexos (más generalmente operadores normales en espacios Hilbert). Exploraremos algunas de estas ideas más adelante en el curso. El teorema espectral proporciona una descomposición canónica, llamada descomposición espectral, o descomposición propia, del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa.

El siguiente teorema nos dice cómo diagonalizar una matriz:

Teorema 2.23. \(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Entonces\(A\) es diagonalizable si y sólo si\(A\) tiene vectores propios\(n\) linealmente independientes. Si es así, entonces

\[D=P^{-1} A P . \nonumber \]

Si\(\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}\) son los vectores propios de\(A\) y\(\left\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right\}\) son los valores propios correspondientes, entonces\(v_{j}\) es la columna jésima de\(P\) y\(D_{j j}=\lambda_{j}\).

Una determinación más simple resulta al anotar

Teorema 2.24. Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz con valores propios\(n\) reales y distintos. Entonces\(A\) es diagonalizable.

Por lo tanto, solo necesitamos mirar los valores propios y determinar la diagonalizabilidad. De hecho, también se tiene a partir del álgebra lineal el siguiente resultado.

Teorema 2.25. \(A\)Sea una\(n \times n\) verdadera matriz simétrica. Entonces\(A\) es diagonalizable.

Recordemos que una matriz simétrica es aquella cuya transposición es la misma que la matriz, o\(A_{i j}=A_{j i}\).

Ejemplo 2.26. Considerar la matriz

\[A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right) \nonumber \]

Esta es una matriz simétrica real. Se encuentra que el polinomio característico es

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=-(\lambda-5)(\lambda-3)(\lambda+1)=0 \nonumber \]

Como antes, podemos determinar los vectores propios correspondientes (para\(\lambda=-1,3,5\), respectivamente) como

\[\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Podemos utilizarlos para construir la matriz diagonalizadora\(P\). A saber, tenemos

\[P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \nonumber \]

Ahora la diagonalización es una idea importante en la resolución de sistemas lineales de ecuaciones de primer orden, como hemos visto para sistemas simples. Si nuestro sistema es originalmente diagonal, eso significa que nuestras ecuaciones están completamente desacopladas. Deje que nuestro sistema tome la forma

\[\dfrac{d \mathbf{y}}{d t}=D \mathbf{y} \nonumber \]

donde\(D\) es diagonal con entradas\(\lambda_{i}, i=1, \ldots, n\). El sistema de ecuaciones,\(y_{i}^{\prime}=\lambda_{i} y_{i}\), tiene soluciones

\[y_{i}(t)=c_{c} e^{\lambda_{i} t} \nonumber \]

Por lo tanto, es fácil resolver un sistema diagonal.

Dejar\(A\) ser similar a esta matriz diagonal. Entonces

\[\dfrac{d \mathbf{y}}{d t}=P^{-1} A P \mathbf{y} \nonumber \]

Esto se puede reescribir como

\[\dfrac{d P \mathbf{y}}{d t}=A P \mathbf{y} \nonumber \]

Definiendo\(\mathbf{x}=P \mathbf{y}\), tenemos

\[\dfrac{d \mathbf{x}}{d t}=A \mathbf{x} \nonumber \]

Esta simple derivación muestra que si\(A\) es diagonalizable, entonces una transformación del sistema original en\(\mathbf{x}\) nuevas coordenadas, o una nueva base, da como resultado un sistema más simple en\(\mathbf{y}\).

Sin embargo, no siempre es posible diagonalizar una matriz cuadrada dada. Esto se debe a que algunas matrices no tienen suficientes vectores linealmente independientes, o tenemos valores propios repetidos. Sin embargo, tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.27. Cada\(n \times n\) matriz\(A\) es similar a una matriz de la forma

\[J=\operatorname{diag}\left[J_{1}, J_{2}, \ldots, J_{n}\right] \nonumber \]

donde

\[J_{i}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{i} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{i} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{i} & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{i} \end{array}\right) \nonumber \]

No entraremos en los detalles de cómo se encuentra esta Forma Canónica Jordana o probar el teorema. En la práctica se puede utilizar un sistema de álgebra computacional para determinar esta y la matriz de similitud. Sin embargo, todavía necesitaríamos saber cómo usarlo para resolver nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Ejemplo 2.28. Consideremos un sistema sencillo con el bloque\(3 \times 3\) Jordan

\[A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \nonumber \]

El sistema correspondiente de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden toma la forma

\[\begin{aligned} &\dfrac{d x_{1}}{d t}=2 x_{1}+x_{2}, \\ &\dfrac{d x_{2}}{d t}=2 x_{2}+x_{3}, \\ &\dfrac{d x_{3}}{d t}=2 x_{3} . \end{aligned} \nonumber \]

La última ecuación es simple de resolver, dando\(x_{3}(t)=c_{3} e^{2 t}\). Insertando en la segunda ecuación, tienes un

\[\dfrac{d x_{2}}{d t}=2 x_{2}+c_{3} e^{2 t} \nonumber \]

Usando el factor integrador\(e^{-2 t}\),, uno puede resolver esta ecuación para obtener\(x_{2}(t)=\)\(\left(c_{2}+c_{3} t\right) e^{2 t}\). Del mismo modo, se puede resolver la primera ecuación para obtener\(x_{1}(t)=\)\(\left(c_{1}+c_{2} t+\dfrac{1}{2} c_{3} t^{2}\right) e^{2 t}\)

Esto debería recordarle un problema que habíamos resuelto anteriormente que lleva al problema del valor propio generalizado en (2.43). Esto sugiere que existe una teoría más general cuando hay múltiples valores propios y relacionados con formas canónicas jordanas.

Escribamos la solución que acabamos de obtener en forma vectorial. Tenemos

\[\mathbf{x}(t)=\left[c_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{l} t \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_{3}\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{2} t^{2} \\ t \\ 1 \end{array}\right)\right] e^{2 t} \nonumber \]

Parece que esta solución es una combinación lineal de tres soluciones linealmente independientes,

\[\begin{aligned} &\mathbf{x}=\mathbf{v}_{1} e^{2 \lambda t} \\ &\mathbf{x}=\left(t \mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}\right) e^{\lambda t} \\ &\mathbf{x}=\left(\dfrac{1}{2} t^{2} \mathbf{v}_{1}+t \mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}\right) e^{\lambda t} \end{aligned} \nonumber \]

donde\(\lambda=2\) y los vectores satisfacen las ecuaciones

\[\begin{aligned} &(A-\lambda I) \mathbf{v}_{1}=0 \\ &(A-\lambda I) \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{1} \\ &(A-\lambda I) \mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{2} \end{aligned} \nonumber \]

y

\[\begin{aligned} (A-\lambda I) \mathbf{v}_{1} &=0 \\ (A-\lambda I)^{2} \mathbf{v}_{2} &=0 \\ (A-\lambda I)^{3} \mathbf{v}_{3} &=0 \end{aligned} \nonumber \]

Es fácil generalizar este resultado para construir soluciones linealmente independientes correspondientes a múltiples raíces (valores propios) de la ecuación característica.

Introducción

La mayoría de sus estudios de ecuaciones diferenciales hasta la fecha han sido el estudio de ecuaciones diferenciales lineales y métodos comunes para resolverlas. Sin embargo, el mundo real es muy no lineal. Entonces, ¿por qué estudiar ecuaciones lineales? Porque se resuelven más fácilmente. Como recordará, podemos usar la propiedad de superposición lineal de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales para obtener soluciones generales. Veremos que a veces podemos aproximar las soluciones de sistemas no lineales con sistemas lineales en pequeñas regiones de espacio de fase.

En general, las ecuaciones no lineales no pueden resolverse obteniendo soluciones generales. Sin embargo, a menudo podemos investigar el comportamiento de las soluciones sin poder encontrar expresiones simples en términos de funciones elementales. Cuando queremos seguir la evolución de estas soluciones, recurrimos a resolver numéricamente nuestras ecuaciones diferenciales. Tales métodos numéricos necesitan ser ejecutados con cuidado y hay muchas técnicas que se pueden utilizar. No entraremos en estas técnicas en este curso. Sin embargo, podemos hacer uso de sistemas de álgebra computacional, o programas de computadora, ya desarrollados para obtener tales soluciones.

Los problemas no lineales ocurren de forma natural. Veremos problemas de muchos de los mismos campos que exploramos en la Sección 2.9. Un ejemplo es el de la dinámica poblacional. Por lo general, tenemos una determinada población\(y(t)\), y la ecuación diferencial que rige el comportamiento de crecimiento de esta población se desarrolla de manera similar a la utilizada anteriormente para problemas de mezcla. Observamos que la tasa de cambio de la población viene dada por la Tasa In menos la Tasa de Salida. El Rate In viene dado por el número de especies nacidas por unidad de tiempo. El Rate Out viene dado por el número que muere por unidad de tiempo.

Se puede obtener un modelo poblacional simple si se asume que estas tasas son lineales en la población. Por lo tanto, asumimos que el Rate In\(=b y\) y el Rate Out\(=m y\). Aquí hemos denotado la tasa de natalidad como\(b\) y la tasa de mortalidad como\(m\),. Esto da la tasa de cambio de la población como

\[\dfrac{d y}{d t}=b y-m y \nonumber \]

Generalmente, estas tasas podrían depender del tiempo. En el caso de que ambas sean tasas constantes, podemos definir\(k=b-m\) y obtener el modelo exponencial familiar:

\[\dfrac{d y}{d t}=k y . \nonumber \]

Esto se resuelve fácilmente y se obtiene crecimiento\((k>0)\) o decaimiento exponencial\((k<\)\(0)\). Este modelo lleva el nombre de Malthus 1, un clérigo que utilizó este modelo para advertir de la inminente fatalidad de la raza humana si sus prácticas reproductivas continuaban.

Sin embargo, cuando las poblaciones se vuelven lo suficientemente grandes, hay competencia por recursos, como el espacio y la comida, lo que puede llevar a una mayor tasa de mortalidad. Así, la tasa de mortalidad puede ser una función del tamaño de la población,\(m=m(y)\). El modelo más simple sería una dependencia lineal,\(m=\tilde{m}+c y\). Entonces, el modelo exponencial anterior toma la forma

\[\dfrac{d y}{d t}=k y-c y^{2} \nonumber \]

Esto se conoce como el modelo logístico de crecimiento poblacional. Por lo general,\(c\) es pequeño y el término no lineal agregado realmente no entra en acción hasta que la población se vuelve lo suficientemente grande.

Si bien se puede resolver esta ecuación en particular, es instructivo estudiar el comportamiento cualitativo de las soluciones sin anotar realmente las soluciones explícitas. Dichos métodos son útiles para ecuaciones no lineales más difíciles. Investigaremos algunas ecuaciones simples de primer orden en la siguiente sección. En la siguiente sección presentamos la solución analítica para la completitud.

Reanudaremos nuestros estudios de sistemas de ecuaciones y diversas aplicaciones a lo largo del resto de este capítulo. Veremos que podemos obtener bastante información sobre el comportamiento de las soluciones mediante el uso de algunos de nuestros métodos anteriores para sistemas lineales.

Ecuaciones Autónomas de Primer Orden

En esta sección revisaremos las técnicas para estudiar la estabilidad de las ecuaciones autónomas no lineales de primer orden. Luego ampliaremos este estudio para observar familias de ecuaciones de primer orden que están conectadas a través de un parámetro.

Recordemos que se da una ecuación autónoma de primer orden en la forma

\({ }^{1}\)Malthus, Thomas Robert. Un ensayo sobre el principio de población. Biblioteca de Economía y Libertad. Recuperado el 2 de agosto de 2007 de la World Wide Web: http://www.econlib.org/library/Malthus/malPop1.html

\[\dfrac{d y}{d t}=f(y) . \nonumber \]

Asumiremos que\(f\) y\(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) son funciones continuas de\(y\), para que sepamos que existen soluciones de problemas de valor inicial y son únicas.

Recordaremos los métodos cualitativos para estudiar ecuaciones autónomas considerando el ejemplo

\[\dfrac{d y}{d t}=y-y^{2} . \nonumber \]

Esto es sólo un ejemplo de una ecuación logística.

Primero, se determina el equilibrio, o constante, soluciones dadas por\(y^{\prime}=\) 0. Para este caso, tenemos\(y-y^{2}=0\). Entonces, las soluciones de equilibrio son\(y=0\) y\(y=1\). Al esbozar estas soluciones, dividimos el\(t y\) plano en tres regiones. Las soluciones que se originan en una de estas regiones\(t=t_{0}\) permanecerán en esa región para todos\(t>t_{0}\) ya que las soluciones no pueden cruzarse. [Tenga en cuenta que si dos soluciones se cruzan entonces tienen valores comunes\(y_{1}\) a la vez\(t_{1}\). Usando esta información, podríamos establecer un problema de valor inicial para el cual es la condición inicial\(y\left(t_{1}\right)=y_{1}\). Dado que las dos soluciones diferentes se cruzan en este punto en el plano de fase, tendríamos un problema de valor inicial con dos soluciones diferentes correspondientes a la misma condición inicial. Esto contradice la suposición de singularidad señalada anteriormente. Dejaremos al lector para que explore esto más a fondo en la tarea.]

A continuación, determinamos el comportamiento de las soluciones en las tres regiones. Al señalar que\(d y / d t\) da la pendiente de cualquier solución en el plano, entonces encontramos que las soluciones son monótonas en cada región. Es decir, en regiones donde\(d y / d t>0\), tenemos funciones monótonamente crecientes. Esto lo determinamos desde el lado derecho de nuestra ecuación.

Por ejemplo, en este problema\(y-y^{2}>0\) sólo para la región media y\(y-y^{2}<0\) para las otras dos regiones. Así, la pendiente es positiva en la región media, dando una solución ascendente como se muestra en la Figura 3.1. Tenga en cuenta que esta solución no cruza las soluciones de equilibrio. Se pueden hacer declaraciones similares sobre las soluciones en las otras regiones.

Observamos además que las soluciones a ambos lados de\(y=1\) tienden a acercarse a esta solución de equilibrio para grandes valores de\(t\). De hecho, no importa lo cerca que esté uno\(y=1\), eventualmente uno se acercará a esta solución como\(t \rightarrow \infty\). Entonces, la solución de equilibrio es una solución estable. De igual manera, vemos que\(y=0\) es una solución de equilibrio inestable.

Si solo nos interesa el comportamiento de las soluciones de equilibrio, podríamos simplemente construir una línea de fase. En la Figura\(3.2\) colocamos una línea vertical a la derecha de la gráfica\(t y\) -plano. En esta línea, primero se colocan puntos en las soluciones de equilibrio correspondientes y se etiquetan las soluciones. Estos puntos en las soluciones de equilibrio son puntos finales para tres intervalos. En cada intervalo se colocan entonces flechas apuntando hacia arriba (hacia abajo) indicando soluciones con pendientes positivas (negativas). Mirando la línea de fase, ahora se puede determinar si un equilibrio dado es estable (flechas apuntando hacia el punto) o inestable

(flechas que apuntan lejos del punto). En Figura\(3.3\) dibujamos la línea de fase final por sí misma.

Solución de la Ecuación Logística

Hemos visto que no se necesita una solución explícita de la ecuación logística (3.2) para estudiar el comportamiento de sus soluciones. Sin embargo, la ecuación logística es un ejemplo de una ecuación no lineal de primer orden que es solucionable. Es un ejemplo de una ecuación de Riccati.

La forma general de la ecuación de Riccati es

\[\dfrac{d y}{d t}=a(t)+b(t) y+c(t) y^{2} \nonumber \]

Siempre y cuando\(c(t) \neq 0\), esta ecuación se pueda reducir a una ecuación diferencial lineal de segundo orden a través de la transformación

\[y(t)=-\dfrac{1}{c(t)} \dfrac{\dot{x}(t)}{x(t)} . \nonumber \]

Demostraremos esto usando el caso simple de la ecuación logística,

\[\dfrac{d y}{d t}=k y-c y^{2} . \nonumber \]

Dejamos

\[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x} \nonumber \]

Entonces

\[\begin{aligned} \dfrac{d y}{d t} &=\dfrac{1}{c}\left[\dfrac{\ddot{x}}{x}-\left(\dfrac{\dot{x}}{x}\right)^{2}\right] \\ &=\dfrac{1}{c}\left[\dfrac{\ddot{x}}{x}-(c y)^{2}\right] \\ &=\dfrac{1}{c} \dfrac{\ddot{x}}{x}-c y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Insertando esto en la ecuación logística (3.5), tenemos

\[\dfrac{1}{c} \dfrac{\ddot{x}}{x}-c y^{2}=k \dfrac{1}{c}\left(\dfrac{\dot{x}}{x}\right)-c y^{2}, \nonumber \]

o

\[\ddot{x}=k \dot{x} . \nonumber \]

Esta ecuación se resuelve fácilmente para dar

\[x(t)=A+B e^{k t} . \nonumber \]

Por lo tanto, tenemos la solución a la ecuación logística es

\[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x}=\dfrac{k B e^{k t}}{c\left(A+B e^{k t}\right)} \nonumber \]

Parece que tenemos dos constantes arbitrarias. Pero, empezamos con una ecuación diferencial de primer orden y esperamos sólo una constante arbitraria. Sin embargo, podemos resolver esto dividiendo el numerador y el denominador por\(k B e^{k t}\) y definiendo\(C=\dfrac{A}{B}\). Entonces tenemos

\[y(t)=\dfrac{k / c}{1+C e^{-k t}}, \nonumber \]

demostrando que en realidad sólo hay una constante arbitraria en la solución.

Cabe señalar que esta no es la única manera de obtener la solución a la ecuación logística, aunque sí proporciona una introducción a las ecuaciones de Riccati. Un enfoque más directo sería utilizar la separación de variables en la ecuación logística. El lector debe verificar esto.

Péndulo no lineal

En esta sección presentaremos el péndulo no lineal como nuestro primer ejemplo de movimiento periódico en un sistema no lineal. Las oscilaciones son importantes en muchas áreas de la física. Ya hemos visto el movimiento de una masa en un resorte, lo que lleva a movimientos armónicos simples, amortiguados y forzados. Posteriormente exploraremos estos efectos en un sistema simple no lineal. En esta sección introduciremos el péndulo no lineal y determinaremos su periodo de oscilación.

Comenzamos por derivar la ecuación del péndulo. El péndulo simple consiste en una masa puntual\(m\) colgada de una cuerda de longitud\(L\) de algún soporte. [Ver Figura 3.11.] Uno tira de la masa hacia atrás a algún ángulo inicial\(\theta_{0}\),, y la libera. El objetivo es encontrar la posición angular en función del tiempo,\(\theta(t)\).

Hay un par de derivaciones posibles. Podríamos usar la Segunda Ley de Movimiento de Newton\(F=m a\), o su análogo rotacional en términos de torque. Usaremos el primero solo para limitar la cantidad de antecedentes físicos necesarios.

Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa puntual, el peso y la tensión en la cuerda. El peso apunta hacia abajo y tiene una magnitud de\(m g\), donde\(g\) está el símbolo estándar para la aceleración debido a la gravedad. En la superficie de la tierra podemos tomar esto para ser\(9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) o\(32.2 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\). En la Figura\(3.12\) se muestra tanto el peso como la tensión que actúa sobre la masa. También se muestra la fuerza neta.

La tensión equilibra la proyección del vector de peso, dejando un componente desequilibrado del peso en la dirección del movimiento. Así, la magnitud de la suma de las fuerzas se encuentra fácilmente a partir de este componente desequilibrado como\(F=m g \sin \theta\).

La Segunda Ley del Movimiento de Newton nos dice que la fuerza neta es la masa multiplicada por la aceleración. Entonces, podemos escribir

\[m \ddot{x}=-m g \sin \theta . \nonumber \]

A continuación, necesitamos relacionarnos\(x\) y\(\theta . x\) es la distancia recorrida, que es la longitud del arco trazada por nuestra masa puntual. La longitud del arco está relacionada con el ángulo, siempre que el ángulo se mida en radianes. A saber,\(x=r \theta\) para\(r=L\). Así, podemos escribir

\[m L \ddot{\theta}=-m g \sin \theta \nonumber \]

Cancelando las masas, conduce a la ecuación de péndulo no lineal

\[L \ddot{\theta}+g \sin \theta=0 . \nonumber \]

Existen varias variaciones de la Ecuación (3.8) las cuales serán utilizadas en este texto. El primero es el péndulo lineal. Esto se obtiene haciendo una pequeña aproximación de ángulo. Para ángulos pequeños lo sabemos\(\sin \theta \approx \theta\). Bajo esta aproximación (3.8) se convierte en

\[L \ddot{\theta}+g \theta=0 . \nonumber \]

También podemos hacer que el sistema sea más realista agregando amortiguación. Esto podría deberse a la pérdida de energía en la forma en que la cuerda se une al soporte o debido al arrastre sobre la masa, etc. Suponiendo que la amortiguación es proporcional a la velocidad angular, tenemos ecuaciones para la péndula amortiguada no lineal y lineal amortiguada:

\[\begin{gathered} L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta=0 . \\ L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \theta=0 . \end{gathered} \nonumber \]

Por último, podemos agregar el forzamiento. Imagínese que el soporte está unido a un dispositivo para hacer que el sistema oscile horizontalmente con alguna frecuencia. Entonces podríamos tener ecuaciones como

\[L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta=F \cos \omega t . \nonumber \]

Analizaremos estos y otros problemas de oscilación más adelante en los ejercicios. Estos se resumen en la siguiente tabla.

En busca de soluciones

Antes de volver a estudiar las soluciones de equilibrio del péndulo no lineal, veremos hasta dónde podemos llegar para obtener soluciones analíticas. Primero, investigamos el péndulo lineal simple.

La ecuación de péndulo lineal (3.9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficiente constante. Las raíces de las ecuaciones características son\(r=\)\(\pm \sqrt{\dfrac{g}{L}} i\). Así, la solución general toma la forma

\[\theta(t)=c_{1} \cos \left(\sqrt{\dfrac{g}{L}} t\right)+c_{2} \sin \left(\sqrt{\dfrac{g}{L}} t\right) \nonumber \]

Observamos que esto suele simplificarse introduciendo la frecuencia angular

\[\omega \equiv \sqrt{\dfrac{g}{L}} . \nonumber \]

Una consecuencia de esta solución, que se utiliza a menudo en la física introductoria, es una expresión para el período de oscilación de un simple péndulo. Recordemos que el periodo es el tiempo que se tarda en completar un ciclo de la oscilación. Se encuentra que el periodo es

\[T=\dfrac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} \nonumber \]

Este valor para el periodo de un péndulo simple se basa en la ecuación del péndulo lineal, la cual se derivó asumiendo una pequeña aproximación de ángulo. ¿Qué tan buena es esta aproximación? ¿Qué se entiende por un ángulo pequeño? Recordamos la aproximación de la serie Taylor de\(\sin \theta\) aproximadamente\(\theta=0\):

\[\sin \theta=\theta-\dfrac{\theta^{3}}{3 !}+\dfrac{\theta^{5}}{5 !}+\ldots \nonumber \]

Se puede obtener un límite sobre el error al truncar esta serie a un término después de tomar un curso de análisis numérico. Pero podemos simplemente trazar el error relativo, que se define como Error relativo\(=\left|\dfrac{\sin \theta-\theta}{\sin \theta}\right| \times 100 \%\).

Una gráfica del error relativo se da en la Figura 3.13. Observamos que un error relativo del uno por ciento corresponde a aproximadamente\(0.24\) radianes, que es menor que catorce grados. Se brinda mayor discusión al respecto al final de esta sección.

Pasamos ahora al péndulo no lineal. Primero reescribimos la ecuación (3.8) en la forma más simple

\[\ddot{\theta}+\omega^{2} \sin \theta=0 . \nonumber \]

A continuación empleamos una técnica que es útil para ecuaciones de la forma

\[\ddot{\theta}+F(\theta)=0 \nonumber \]

cuando es fácil integrar la función\(F(\theta)\). A saber, observamos que

\[\dfrac{d}{d t}\left[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}+\int^{\theta(t)} F(\phi) d \phi\right]=[\ddot{\theta}+F(\theta)] \dot{\theta} \nonumber \]

Para nuestro problema, multiplicamos la Ecuación (3.17) por\(\dot{\theta}\),

\[\ddot{\theta} \dot{\theta}+\omega^{2} \sin \theta \dot{\theta}=0 \nonumber \]

y tenga en cuenta que el lado izquierdo de esta ecuación es una derivada perfecta. Por lo tanto,

\[\dfrac{d}{d t}\left[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta\right]=0 \nonumber \]

Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis es una constante. Entonces, podemos escribir

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta=c . \nonumber \]

Resolviendo para\(\dot{\theta}\), obtenemos

\[\dfrac{d \theta}{d t}=\sqrt{2\left(c+\omega^{2} \cos \theta\right)} \nonumber \]

Esta ecuación es una ecuación separable de primer orden y podemos reorganizar e integrar los términos para encontrar que

\[t=\int d t=\int \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\left(c+\omega^{2} \cos \theta\right)}} . \nonumber \]

Por supuesto, uno necesita ser capaz de hacer la integral. Cuando uno obtiene una solución en esta forma implícita, se dice que el problema ha sido resuelto por cuadraturas. Es decir, la solución se da en términos de alguna integral. En el apéndice de este capítulo mostramos que esta solución puede escribirse en términos de integrales elípticas y derivar correcciones a la fórmula para el periodo de un péndulo.

La estabilidad de los puntos fijos en sistemas no lineales

Ahora nos interesa estudiar la estabilidad de las soluciones de equilibrio del péndulo no lineal. En el camino desarrollaremos algunos métodos básicos para estudiar la estabilidad de los equilibrios en sistemas no lineales.

Comenzamos con la ecuación diferencial lineal para oscilaciones amortiguadas como se dio anteriormente en la Ecuación (3.9). En este caso, tenemos una ecuación de segundo orden de la forma

\[x^{\prime \prime}+b x^{\prime}+\omega^{2} x . \nonumber \]

Usando los métodos del Capítulo 2, esta ecuación de segundo orden puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones de primer orden:

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=y \\ &y^{\prime}=-b y-\omega^{2} x . \end{aligned} \nonumber \]

Este sistema tiene sólo una solución de equilibrio,\(x=0, y=0\).

Volviendo al péndulo no lineal amortiguado, tenemos el sistema

\[\begin{aligned} x^{\prime} &=y \\ y^{\prime} &=-b y-\omega^{2} \sin x . \end{aligned} \nonumber \]

Este sistema también tiene la solución de equilibrio,\(x=0, y=0\). Sin embargo, en realidad hay un número infinito de soluciones. Los equilibrios se determinan a partir de\(y=0\) y\(-b y-\omega^{2} \sin x=0\). Esto implica que\(\sin x=0\). Hay un número infinito de soluciones:\(x=n \pi, n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) Entonces, tenemos un número infinito de equilibrios,\((n \pi, 0), n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)

A continuación, tenemos que determinar su estabilidad. Para ello necesitamos una teoría más general para los sistemas no lineales. Comenzamos con el sistema\(n\) -dimensional

\[\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathrm{x} \in \mathrm{R}^{n} \nonumber \]

Aquí\(\mathbf{f}: \mathrm{R}^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{n}\). Definimos puntos fijos, o soluciones de equilibrio, de este sistema como puntos\(\mathrm{x}^{*}\) satisfactorios\(\mathbf{f}\left(\mathrm{x}^{*}\right)=\mathbf{0}\).

Ahora se puede determinar la estabilidad en la vecindad de los puntos fijos. Nos interesa lo que sucede con las soluciones de nuestro sistema con condiciones iniciales comenzando cerca de un punto fijo. Podemos representar un punto cerca de un punto fijo en la forma\(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\), donde la longitud de\(\boldsymbol{\xi}\) da una indicación de lo cerca que estamos del punto fijo. Entonces, consideramos que inicialmente,\(|\boldsymbol{\xi}| \ll 1\).

A medida que el sistema evolucione,\(\boldsymbol{\xi}\) cambiará. El cambio\(\boldsymbol{\xi}\) en el tiempo se rige a su vez por un sistema de ecuaciones. Podemos aproximar esta evolución de la siguiente manera. En primer lugar, observamos que

\[\mathbf{x}^{\prime}=\boldsymbol{\xi}^{\prime} \nonumber \]

A continuación, tenemos que

\[\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\right) \nonumber \]

Podemos expandir el lado derecho sobre el punto fijo usando una versión multidimensional del Teorema de Taylor. Así, tenemos que

\[\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\right)=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)+D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right) \boldsymbol{\xi}+O\left(|\boldsymbol{\xi}|^{2}\right) \nonumber \]

Aquí Df es la matriz jacobiana, definida como

\[D \mathbf{f}=\left(\begin{array}{cccc} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \cdots & \cdots & \dfrac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}\right) \nonumber \]

Señalando que\(\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{0}\), entonces tenemos ese sistema (3.22) se convierte

\[\xi^{\prime} \approx D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right) \boldsymbol{\xi} \nonumber \]

Es esta ecuación la que describe el comportamiento del sistema cerca del punto fijo. Decimos que el sistema (3.22) se ha linealizado o que la Ecuación (3.23) es la linealización del sistema\((3.22)\). Ejemplo 3.4. Como ejemplo de la aplicación de esta linealización, observamos el sistema

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=-2 x-3 x y \\ &y^{\prime}=3 y-y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Primero determinamos los puntos fijos:

\[\begin{aligned} &0=-2 x-3 x y=-x(2+3 y) \\ &0=3 y-y^{2}=y(3-y) \end{aligned} \nonumber \]

A partir de la segunda ecuación, tenemos eso\(y=0\) o bien\(y=3\). La primera ecuación da entonces\(x=0\) en cualquiera de los casos. Entonces, hay dos puntos fijos:\((0,0)\) y\((0,3)\)

A continuación, linealizamos sobre cada punto fijo por separado. Primero, escribimos la matriz jacobiana.

\[D \mathbf{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} -2-3 y & -3 x \\ 0 & 3-2 y \end{array}\right) \nonumber \]

1. Caso\((0,0)\) I.

En este caso nos encontramos con que

\[D \mathbf{f}(0,0)=\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \nonumber \]

Por lo tanto, la ecuación linealizada se convierte

\[\xi^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \boldsymbol{\xi} \nonumber \]

Esto se escribe equivalentemente como el sistema

\[\begin{aligned} &\xi_{1}^{\prime}=-2 \xi_{1} \\ &\xi_{2}^{\prime}=3 \xi_{2} \end{aligned} \nonumber \]

Este es el sistema linealizado sobre el origen. Anote la similitud con el sistema original. Destacamos que las ecuaciones linealizadas son ecuaciones de coeficiente constante y podemos usar métodos de matriz anteriores para determinar la naturaleza del punto de equilibrio. Los valores propios del sistema son obviamente\(\lambda=-2,3\). Por lo tanto, tenemos que el origen es un punto de silla de montar.

3. Caso II\((0,3)\).

En este caso procedemos como antes. Escribimos la matriz jacobiana y observamos sus valores propios para determinar el tipo de punto fijo. Entonces, tenemos que la matriz jacobiana es

\[D \mathbf{f}(0,3)=\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right) \nonumber \]

Aquí, tenemos los valores propios\(\lambda=-2,-3\). Entonces, este punto fijo es un nodo estable. Este análisis nos ha dado una silla de montar y un nodo estable. Sabemos cómo es el comportamiento cerca de cada punto fijo, pero tenemos que recurrir a otros medios para decir algo sobre el comportamiento lejos de estos puntos. El retrato de fase para este sistema se da en la Figura 3.14. Deberías poder encontrar el punto de sillín y el nodo. Observe cómo se comportan las soluciones en regiones alejadas de estos puntos.

Podemos esperar poder realizar una linealización bajo condiciones generales. Estos se dan en el Teorema de Hartman-Großman:

Teorema 3.5. Existe un mapa continuo entre los sistemas lineales y no lineales cuando\(D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)\) no tiene ningún valor propio con parte real cero.

Generalmente, hay varios tipos de comportamiento que se pueden ver en sistemas no lineales. Se pueden ver sumideros o fuentes, puntos hiperbólicos (sillín), puntos elípticos (centros) o focos. Hemos definido algunos de estos para sistemas planos. En general, si al menos dos valores propios tienen partes reales con signos opuestos, entonces el punto fijo es un punto hiperbólico. Si la parte real de un valor propio distinto de cero es cero, entonces tenemos un centro, o punto elíptico.

Modelos de población no lineales

Ya nos hemos encontrado con varios modelos de dinámica poblacional. Por supuesto, uno podría soñar con varios otros ejemplos. Hay dos tipos estándar de modelos: depredador-presa y especies competidoras. En el modelo depredador-presa, una suele tener una especie, el depredador, alimentándose de la otra, la presa. Veremos el modelo estándar Lotka-Volterra en esta sección. El modelo de especies competidoras se ve similar, excepto que hay algunos cambios de signos, ya que una especie no se alimenta de la otra. Además, podemos construir en términos logísticos en nuestro modelo. Vamos a guardar este último tipo de modelo para la tarea.

El modelo Lotka-Volterra toma la forma

\[\begin{aligned} &\dot{x}=a x-b x y, \\ &\dot{y}=-d y+c x y \end{aligned} \nonumber \]

En este caso, podemos pensar en la población de conejos (presas) y\(y\) es la población de zorros (depredadores).\(x\) Eligiendo todas las constantes para que sean positivas, podemos describir los términos.

• hacha: Cuando se deja sola, la población de conejos crecerá. Así\(a\) es la tasa de crecimiento natural sin depredadores.
• \(-d y\): Cuando no hay conejos, la población de zorros debe decaer. Por lo tanto, el coeficiente necesita ser negativo.

• \(-b x y\): Añadimos un término no lineal correspondiente al agotamiento de los conejos cuando los zorros están alrededor.
• cxy: Cuantos más conejos haya, más comida para los zorros. Entonces, agregamos un término no lineal dando lugar a un incremento en la población de zorros.

El análisis del modelo Lotka-Volterra comienza con la determinación de los puntos fijos. Entonces, tenemos de la Ecuación (3.34)

\[\begin{gathered} x(a-b y)=0, \\ y(-d+c x)=0 . \end{gathered} \nonumber \]

Por lo tanto, el origen y\(\left(\dfrac{d}{c} \dfrac{a}{b}\right)\) son los puntos fijos.

A continuación, determinamos su estabilidad, por linealización sobre los puntos fijos. Podemos usar la matriz jacobiana, o podríamos simplemente expandir el lado derecho de cada ecuación en (3.34). La matriz jacobiana es\(D f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}a-b y & -b x \\ c y & -d+c x\end{array}\right)\). Evaluando en cada punto fijo, tenemos

\[\begin{gathered} D f(0,0)=\left(\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & -d \end{array}\right), \\ D f\left(\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{b}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & -\dfrac{b d}{c} \\ \dfrac{a c}{b} & 0 \end{array}\right) . \end{gathered} \nonumber \]

Los valores propios de\((3.36)\) son\(\lambda=a,-d\). Entonces, el origen es un punto de silla de montar. Los valores propios de (3.37) satisfacen\(\lambda^{2}+a d=0\). Entonces, el otro punto es un centro. En la Figura\(3.17\) se muestra un campo de dirección de muestra para el sistema Lotka-Volterra.

Otra forma de linealizar es expandir las ecuaciones sobre los puntos fijos. A pesar de que esto equivale a computar la matriz jacobiana, a veces puede ser más rápida.

Límite de ciclos

Hasta el momento nos acaban de preocupar las soluciones de equilibrio y su comportamiento. Sin embargo, los puntos fijos asintóticamente estables no son los únicos atractores. Existen otros tipos de soluciones, conocidas como ciclos límite, hacia los que puede tender una solución. En esta sección veremos algunos ejemplos de estas soluciones periódicas.

Tales soluciones son de naturaleza común. Rayleigh investigó el problema

\[x^{\prime \prime}+c\left(\dfrac{1}{3}\left(x^{\prime}\right)^{2}-1\right) x^{\prime}+x=0 \nonumber \]

en el estudio de las vibraciones de una cuerda de violín. Van der Pol estudió un circuito eléctrico, modelando este comportamiento. Otros han investigado sistemas biológicos, como los sistemas neuronales, las reacciones químicas, como la cinética de Michaelis-Menton o los sistemas que conducen a oscilaciones químicas. Uno de los modelos más importantes en el estudio histórico de los sistemas dinámicos es el del movimiento planetario y la investigación de la estabilidad de las órbitas planetarias. Como es bien sabido, estas órbitas son periódicas.

Los ciclos límite son soluciones periódicas aisladas hacia las que los estados vecinos pueden tender cuando son estables. Un ejemplo clave que muestra un ciclo límite es dado por el sistema

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=\mu x-y-x\left(x^{2}+y^{2}\right) \\ &y^{\prime}=x+\mu y-y\left(x^{2}+y^{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Es claro que el origen es un punto fijo. La matriz jacobiana se da como

\[\operatorname{Df}(0,0)=\left(\begin{array}{cc} \mu & -1 \\ 1 & \mu \end{array}\right) \nonumber \]

Se encuentra que los valores propios son\(\lambda=\mu \pm i\). Porque\(\mu=0\) tenemos un centro. Porque\(\mu<0\) tenemos una espiral estable y para\(\mu>0\) tenemos una espiral inestable. Sin embargo, esta espiral no vaga hacia el infinito. Vemos en la Figura\(3.18\) que el punto de equilibrio es una espiral. No obstante, en la Figura\(3.19\) es claro que la solución no sale en espiral hacia el infinito. Está delimitado por un círculo.

En realidad se puede encontrar el radio de este círculo. Esto requiere reescribir el sistema en forma polar. Recordemos del Capítulo 2 que esto se hace usando

\[\begin{gathered} r r^{\prime}=x x^{\prime}+y y^{\prime}, \\ r^{2} \theta^{\prime}=x y^{\prime}-y x^{\prime} . \end{gathered} \nonumber \]

Insertando el sistema (3.39) en estas expresiones, tenemos

\[r r^{\prime}=\mu r^{2}-r^{4}, \quad r^{2} \theta^{\prime}=r^{2}, \nonumber \]

\[r^{\prime}=\mu r-r^{3}, \theta^{\prime}=1 . \nonumber \]

Por supuesto, para una\(r=\) const circular, por lo tanto necesitamos mirar las soluciones de equilibrio de la Ecuación (3.43). Esto equivale a resolver\(\mu r-r^{3}=0\) para\(r\). Las soluciones de esta ecuación son\(r=0, \pm \sqrt{\mu}\). Solo necesitamos mantener la solución de un radio positivo,\(r=\sqrt{\mu}\). En Cifras\(3.18-3.19 \mu=0.4\), por lo que esperamos un círculo con\(r=\sqrt{0.4} \approx 0.63\). La\(\theta\) ecuación solo nos dice que seguimos el ciclo límite en sentido contrario a las agujas del reloj.

Los ciclos límite no son siempre círculos. En las Figuras 3.20-3.21 mostramos el comportamiento del sistema Rayleigh (3.38) para\(c=0.4\) y\(c=2.0\). En este caso vemos que las soluciones tienden hacia un ciclo límite no circular.

El ciclo límite para\(c=2.0\) se muestra en la Figura\(3.22\).

¿Se puede determinar con anticipación si un sistema no lineal dado tendrá un ciclo límite? Para responder a esta pregunta, introduciremos algunas definiciones.

Primero describimos diferentes trayectorias y familias de trayectorias. Un flujo encendido\(R^{2}\) es una función\(\phi\) que satisface lo siguiente

1. \(\phi(\mathbf{x}, t)\)es continuo en ambos argumentos.
2. \(\phi(\mathbf{x}, 0)=\mathbf{x}\)para todos\(\mathbf{x} \in R^{2}\)
3. \(\phi\left(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}\right), t_{2}\right)=\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}+t_{2}\right)\).

La órbita, o trayectoria, a través\(\mathbf{x}\) se define como\(\gamma=\{\phi(\mathbf{x}, t) \mid t \in I\}\). En la Figura\(3.23\) demostramos estas propiedades. Para\(t=0, \phi(\mathbf{x}, 0)=\mathbf{x}\). Al aumentar\(t\), se sigue la trayectoria hasta llegar al punto\(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}\right)\). Continuando\(t_{2}\) más, uno está entonces en\(\phi\left(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}\right), t_{2}\right)\). Por la tercera propiedad, esto es lo mismo que ir de\(\mathbf{x}\) a\(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}+t_{2}\right)\) para\(t=t_{1}+t_{2}\).

Una vez definidas las órbitas, necesitamos definir el comportamiento asintótico de la órbita tanto para tiempos grandes positivos como negativos. Definimos la semiórbita positiva a través de\(\mathbf{x}\) como\(\gamma^{+}=\{\phi(\mathbf{x}, t) \mid t>0\}\). La semiórbita negativa a través\(\mathbf{x}\) se define como\(\gamma^{-}=\{\phi(\mathbf{x}, t) \mid t<0\}\). Así, tenemos\(\gamma=\gamma^{+} \cup^{-}\).

El conjunto de límites positivos, o\(\omega\) -limit set, de punto\(\mathbf{x}\) se define como

\[\Lambda^{+}=\left\{\mathbf{y} \mid \text { there exists a sequence of } t_{n} \rightarrow \infty \text { such that } \phi\left(\mathbf{x}, t_{n}\right) \rightarrow \mathbf{y}\right\} \nonumber \]

Los\(\mathbf{y}\)'s se denominan puntos\(\omega\) -límite. Esto se muestra en la Figura\(3.24\).

Del mismo modo, definimos el conjunto de límites negativos, o conjuntos de límite alfa, de punto\(\mathbf{x}\) se define ya que\(\Lambda^{-}=\left\{\mathbf{y} \mid\right.\) existe una secuencia de\(t_{n} \rightarrow-\infty\) tales que\(\left.\phi\left(\mathbf{x}, t_{n}\right) \rightarrow \mathbf{y}\right\}\)

y los correspondientes\(\mathbf{y}\) son\(\alpha\) -puntos límite. Esto se muestra en la Figura\(3.25\).

Hay varios tipos de órbitas que un sistema podría poseer. Un ciclo u órbita periódica es cualquier órbita cerrada que no es un punto de equilibrio. Una órbita periódica es estable si por cada vecindario de la órbita tal que todas las órbitas cercanas permanezcan dentro del vecindario. De lo contrario, es inestable. La órbita es asintóticamente estable si todas las órbitas cercanas convergen a la órbita periódica.

Un ciclo límite es un ciclo que es el conjunto\(\alpha\) o\(\omega\) -limit de alguna trayectoria que no sea el ciclo límite. Un ciclo límite\(\Gamma\) es estable si\(\Lambda^{+}=\Gamma\) para todos\(\mathbf{x}\) en algún barrio de\(\Gamma\). Un ciclo límite\(\Gamma\) es inestable si\(\Lambda^{-}=\Gamma\) para todos\(\mathbf{x}\) en algún vecindario de\(\Gamma\). Por último, un ciclo de límites es semistable si está atrayendo por un lado y repeliendo por el otro lado. En los ejemplos anteriores, vimos ciclos límite que eran estables. Las figuras\(3.24\) y\(3.25\) representan ciclos límite estables e inestables, respectivamente.

Ahora declaramos un teorema que describe el tipo de órbitas que podríamos encontrar en nuestro sistema.

Teorema 3.7. Teorema de Poincaré-Bendixon Dejar\(\gamma^{+}\) estar contenidos en una región acotada en la que hay finitamente muchos puntos críticos. Entonces\(\Lambda^{+}\) es

1. un único punto crítico;
2. una sola órbita cerrada;
3. un conjunto de puntos críticos unidos por órbitas heteroclínicas. [Comparar Cifras\(3.27\) y??.]

Nos interesa determinar cuándo pueden existir, o no, ciclos límite. Una consecuencia del Teorema de Poincaré-Bendixon viene dada por el siguiente corolario.

Corolario Let\(D\) Ser un conjunto cerrado acotado que no contenga puntos críticos y supongamos que\(\gamma^{+} \subset D\). Entonces existe un ciclo límite contenido en\(D\).

Criterios más específicos nos permiten determinar si existe un ciclo límite en una región determinada. Estos están dados por Criterios de Dulac y Criterios de Bendixon.

Criterios de Dulac Considerar el sistema plano autónomo

\[x^{\prime}=f(x, y), \quad y^{\prime}=g(x, y) \nonumber \]

y una función continuamente diferenciable\(\psi\) definida en una región anular\(D\) contenida en algún conjunto abierto. Si

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi f)+\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi g) \nonumber \]

no cambia de inicio de sesión\(D\), entonces hay como máximo un ciclo límite contenido completamente en\(D\).

Criterios de Bendixon Considerar el sistema plano autónomo

\[x^{\prime}=f(x, y), \quad y^{\prime}=g(x, y) \nonumber \]

definido en un dominio simplemente conectado de\(D\) tal manera que

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi f)+\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi g) \neq 0 \nonumber \]

pulg\(D\). Entonces no hay ciclos límite enteramente en\(D\).

Estos se prueban fácilmente usando el Teorema de Green en el plano. Demostramos los Criterios de Bendixon. Vamos\(\mathbf{f}=(f, g)\). Supongamos que\(\Gamma\) es una órbita cerrada que se encuentra en\(D\). Que\(S\) sea el interior de\(\Gamma\). Entonces

\[\begin{aligned} \int_{S} \nabla \cdot \mathbf{f} d x d y &=\oint_{\Gamma}(f d y-g d x) \\ &=\int_{0}^{T}(f \dot{y}-g \dot{x}) d t \\ &=\int_{0}^{T}(f g-g f) d t=0 \end{aligned} \nonumber \]

Entonces, si no\(\nabla \cdot \mathbf{f}\) es idénticamente cero y no cambia de inicio de sesión\(S\), entonces desde la continuidad de\(\nabla \cdot \mathbf{f}\) adentro\(S\) tenemos que el lado derecho arriba es positivo o negativo. Así, tenemos una contradicción y no hay una órbita cerrada que se encuentra en\(D\)

Ejemplo 3.8. Considere el ejemplo anterior en (3.39) con\(\mu=1\).

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=x-y-x\left(x^{2}+y^{2}\right) \\ &y^{\prime}=x+y-y\left(x^{2}+y^{2}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Ya sabemos que existe un ciclo límite en\(x^{2}+y^{2}=1\). Un simple cómputo da que

\[\nabla \cdot \mathbf{f}=2-4 x^{2}-4 y^{2} \nonumber \]

Para un anillo arbitrario\(a<x^{2}+y^{2}<b\), tenemos

\[2-4 b<\nabla \cdot \mathbf{f}<2-4 a . \nonumber \]

Para\(a=3 / 4\) y\(b=5 / 4,-3<\nabla \cdot \mathbf{f}<-1\). Así,\(\nabla \cdot \mathbf{f}<0\) en el anillo\(3 / 4<x^{2}+y^{2}<5 / 4\). Por lo tanto, por Criterios de Dulac hay como máximo un ciclo límite en este anillo.

Ejemplo 3.9. Considerar el sistema

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=y \\ &y^{\prime}=-a x-b y+c x^{2}+d y^{2} . \end{aligned} \nonumber \]

Vamos\(\psi(x, y)=e^{-2 d x}\). Entonces,

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi y)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\psi\left(-a x-b y+c x^{2}+d y^{2}\right)\right)=-b e^{-2 d x} \neq 0 \nonumber \]

Concluimos por Criterios de Bendixon que no hay ciclos límite para este sistema.

Sistemas no autónomos no lineales

En esta sección se discuten los sistemas no autónomos. Recordemos que un sistema autónomo es aquel en el que no existe una dependencia explícita del tiempo. Un ejemplo sencillo es el péndulo no lineal forzado dado por la ecuación no homogénea

\[\ddot{x}+\omega^{2} \sin x=f(t) . \nonumber \]

Podemos configurarlo como un sistema de dos ecuaciones de primer orden:

\[\begin{aligned} &\dot{x}=y \\ &\dot{y}=-\omega^{2} \sin x+f(t) \end{aligned} \nonumber \]

Este sistema no está en una forma para la que pudiéramos utilizar los métodos anteriores. Es decir, se trata de un sistema no autónomo. Sin embargo, introducimos una nueva variable\(z(t)=t\) y la convertimos en un sistema autónomo en una dimensión más. El nuevo sistema toma la forma

\[\begin{aligned} &\dot{x}=y \\ &\dot{y}=-\omega^{2} \sin x+f(z) \\ &\dot{z}=1 \end{aligned} \nonumber \]

Este sistema es un sistema autónomo tridimensional, posiblemente no lineal, y se puede explorar utilizando nuestros métodos anteriores.

Un modelo más interesante es proporcionado por la Ecuación Duffing. Esta ecuación modela las oscilaciones de resorte duro y resorte blando. También modela una viga forzada periódicamente como se muestra en la Figura 3.28. Es de interés porque es un sistema simple que exhibe dinámicas caóticas y nos motivará a utilizar nuevos métodos de visualización para sistemas no autónomos.

La forma más general de la ecuación de Duffing viene dada por

\[\ddot{x}+k \dot{x}+\left(\beta x^{3} \pm \omega_{0}^{2} x\right)=\Gamma \cos (\omega t+\phi) . \nonumber \]

Esta ecuación modela las\((\beta<0)\) oscilaciones de resorte duro\((\beta>0)\) y resorte blando. Sin embargo, usaremos una versión más simple de la ecuación Duffing:

\[\ddot{x}+k \dot{x}+x^{3}-x=\Gamma \cos \omega t . \nonumber \]

Veamos primero el comportamiento de algunas de las órbitas del sistema a medida que variamos los parámetros. En las Figuras\(3.29-3.31\) se muestran algunas gráficas de solución típicas superpuestas sobre el campo de dirección. Comenzamos con la ecuación de\((\Gamma=0)\) Duffing sin amortiguar\((k=0)\) y no forzada,

\[\ddot{x}+x^{3}-x==0 . \nonumber \]

Podemos escribir esta ecuación de segundo orden como el sistema autónomo

\[\begin{aligned} &\dot{x}=y \\ &\dot{y}=x\left(1-x^{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Vemos que hay tres puntos de equilibrio en\((0,0),(\pm 1,0)\). En la Figura\(3.29\) trazamos varias órbitas para Vemos que los tres puntos de equilibrio constan de dos centros y una silla de montar.

Ahora encendemos la amortiguación. El sistema se convierte

\[\begin{aligned} &\dot{x}=y \\ &\dot{y}=-k y+x\left(1-x^{2}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

En Figura\(3.30\) mostramos lo que sucede cuando\(k=0.1\) Estas parcelas recuerdan a las parcelas para el péndulo no lineal; sin embargo, hay menos equilibrios. Los centros se convierten en espirales estables.

A continuación encendemos el forzamiento para obtener una ecuación de Duffing amortiguada y forzada. El sistema es ahora no autónomo.

\[\begin{aligned} &\dot{x}=y \\ &\dot{y}=x\left(1-x^{2}\right)+\Gamma \cos \omega t \end{aligned} \nonumber \]

En la Figura solo\(3.31\) mostramos una órbita con\(k=0.1, \Gamma=0.5\), y\(\omega=1.25\). La solución se cruza y se ve un poco desordenada. Podemos imaginar lo que obtendríamos si agregáramos más órbitas. Para completar, mostramos en la Figura\(3.32\) un ejemplo con cuatro órbitas diferentes.

En los casos para los que se tienen órbitas periódicas como la ecuación Duffing, Poincaré introdujo la noción de superficies de sección. Uno incrusta la órbita en un espacio dimensional superior para que no haya autointersecciones, como vimos en las Figuras\(3.31\) y 3.32. En la Figura\(3.33\) mostramos un ejemplo donde se muestra una órbita simple ya que perfora periódicamente una superficie determinada.

Para simplificar las imágenes resultantes, solo se trazan los puntos en los que la órbita perfora la superficie como se esboza en la Figura 3.34. En la práctica, hay una frecuencia natural, como\(\omega\) en la ecuación de Duffing forzado. Entonces, uno traza puntos en momentos que son múltiplos del periodo,\(T=\dfrac{2 \pi}{\omega}\). En Figura\(3.35\) mostramos cómo sería la trama para una órbita para la ecuación de Duffing amortiguada y no forzada.

El caso más interesante, es cuando hay forzamiento y amortiguación. En este caso la superficie de la gráfica de sección se da en la Figura\(3.36\). Si bien esto no está tan ocupado como la gráfica de solución en la Figura 3.31, todavía proporciona algún comportamiento interesante. Lo que uno encuentra es lo que se llama un atractor extraño. Trazando muchas órbitas, encontramos que después de mucho tiempo, todas las órbitas son atraídas por una pequeña región en el plano, al igual que un nodo estable atrae órbitas cercanas. Sin embargo, esto

conjunto consta de más de un punto. Además, el flujo en el atractor es de naturaleza caótica. Así, los puntos deambulan de manera irregular por todo el atractor. Este es uno de los temas interesantes de la teoría del caos y toda esta teoría de los sistemas dinámicos solo ha sido tocada en este texto dejando al lector a vagar en mayor profundidad en este fascinante campo.

Código de arce para trazados de plano de fase

Como referencia, las gráficas en Figuras\(3.29\) y\(3.30\) se generaron en Maple usando los siguientes comandos:

Esto lleva a lo que se conoce como un extraño atractor.

La superficie de las parcelas de sección al final de la última sección se obtuvo utilizando código del libro de S. Lynch Sistemas dinámicos con aplicaciones usando arce. El código Maple viene dado por

Apéndice: Periodo del Péndulo No Lineal

En la Sección 3.5.1 vimos que la solución del problema del péndulo no lineal se puede encontrar hasta cuadratura. De hecho, la integral en la Ecuación (3.19) puede transformarse en lo que se conoce como una integral elíptica de primer tipo. Reescribiremos nuestro resultado y luego lo usaremos para obtener una aproximación al período de oscilación de nuestro péndulo no lineal, conduciendo a correcciones al resultado lineal encontrado anteriormente.

Primero reescribiremos la constante que se encuentra en (3.18). Esto requiere un poco de física. El balanceo de una masa sobre una cuerda, asumiendo que no hay pérdida de energía en el punto de pivote, es un proceso conservador. A saber, se conserva la energía mecánica total. Así, el total de las energías potenciales cinéticas y gravitacionales es una constante. Señalando que\(v=L \dot{\theta}\), la energía cinética de la masa en la cuerda se da como

\[T=\dfrac{1}{2} m v^{2}=\dfrac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}^{2} . \nonumber \]

La energía potencial es la energía potencial gravitacional. Si establecemos la energía potencial a cero en la parte inferior del columpio, entonces la energía potencial es\(U=m g h\), dónde\(h\) está la altura a la que está la masa desde el fondo del columpio. Un poco de trigonometría da eso\(h=L(1-\cos \theta)\). Esto le da la energía potencial como

\[U=m g L(1-\cos \theta) . \nonumber \]

Entonces, la energía mecánica total es

\[E=\dfrac{1}{2} m L^{2} \theta^{\prime 2}+m g L(1-\cos \theta) . \nonumber \]

Observamos que un poco de reorganización muestra que podemos relacionar esto con la Ecuación\((3.18)\)

\[\dfrac{1}{2}\left(\theta^{\prime}\right)^{2}-\omega^{2} \cos \theta=\dfrac{1}{m L^{2}} E-\omega^{2}=c . \nonumber \]

Podemos usar la Ecuación (3.56) para obtener un valor para la energía total. En la parte superior del columpio la masa no se mueve, aunque sólo sea por un momento. Así, la energía cinética es cero y la energía total es energía potencial pura. Dejando\(\theta_{0}\) denotar el ángulo en la posición más alta, tenemos que

\[E=m g L\left(1-\cos \theta_{0}\right)=m L^{2} \omega^{2}\left(1-\cos \theta_{0}\right) . \nonumber \]

Aquí hemos utilizado la relación\(g=L \omega^{2}\).

Por lo tanto, hemos encontrado que

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta=\omega^{2}\left(1-\cos \theta_{0}\right) . \nonumber \]

Usando la fórmula de medio ángulo,

\[\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos \theta) \nonumber \]

podemos reescribir la ecuación\((3.57)\) como

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}=2 \omega^{2}\left[\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}\right] \nonumber \]

Resolviendo para\(\theta^{\prime}\), tenemos

\[\dfrac{d \theta}{d t}=2 \omega\left[\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}\right]^{1 / 2} \nonumber \]

Ahora se puede aplicar la separación de variables y obtener una integral similar a la solución que habíamos obtenido anteriormente. Al señalar que una moción de\(\theta=0\) a\(\theta=\theta_{0}\) es un cuarto de ciclo, entonces tenemos que

\[T=\dfrac{2}{\omega} \int_{0}^{\theta_{0}} \dfrac{d \phi}{\sqrt{\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}}} \nonumber \]

Este resultado no es muy diferente a nuestro resultado anterior, pero ahora podemos transformar fácilmente la integral en una integral elíptica. Definimos

\[z=\dfrac{\sin \dfrac{\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta_{0}}{2}} \nonumber \]

y

\[k=\sin \dfrac{\theta_{0}}{2} \nonumber \]

Entonces la Ecuación (3.60) se convierte

\[T=\dfrac{4}{\omega} \int_{0}^{1} \dfrac{d z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-k^{2} z^{2}\right)}} . \nonumber \]

Esto se hace al señalar eso\(d z=\dfrac{1}{2 k} \cos \dfrac{\theta}{2} d \theta=\dfrac{1}{2 k}\left(1-k^{2} z^{2}\right)^{1 / 2} d \theta\) y aquello\(\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}=k^{2}\left(1-z^{2}\right)\). La integral en este resultado es una integral elíptica de primer tipo. En particular, se define la integral elíptica del primer tipo

\[F(\phi, k) \equiv=\int_{0}^{\phi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}}=\int_{0}^{\sin \phi} \dfrac{d z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-k^{2} z^{2}\right)}} . \nonumber \]

En algunos contextos, esto se conoce como la integral elíptica incompleta del primer tipo y\(K(k)=F\left(\dfrac{\pi}{2}, k\right)\) se llama la integral completa del primer tipo.

Hay tablas de valores para integrales elípticas. Históricamente, así es como se encontraron valores de integrales elípticas. Sin embargo, ahora tenemos acceso a sistemas informáticos de álgebra que pueden ser utilizados para calcular valores de tales integrales. Para ángulos pequeños, tenemos que\(k\) es pequeño. Entonces, podemos desarrollar una expansión en serie para el periodo,\(T\), para pequeños\(k\). Esto se hace expandiendo primero

\[\left(1-k^{2} z^{2}\right)^{-1 / 2}=1+\dfrac{1}{2} k^{2} z^{2}+\dfrac{3}{8} k^{2} z^{4}+O\left((k z)^{6}\right) \nonumber \]

Sustituyendo esto en el término integrando y integrando término por término, se encuentra que

\[T=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}\left[1+\dfrac{1}{4} k^{2}+\dfrac{9}{64} k^{4}+\ldots\right] \nonumber \]

Esta expresión da más correcciones al resultado lineal, que sólo proporciona el primer término. En la Figura\(3.37\) se muestran los errores relativos incurridos al mantener los\(k^{4}\) términos\(k^{2}\) y versus no conservarlos. Se pide al lector que explore esto más a fondo en el Problema 3.8.

Introducción

Hasta este punto hemos resuelto problemas iniciales de valor. Para un problema de valor inicial se tiene que resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas a un valor de la variable independiente. Por ejemplo, porque\(x=x(t)\) podríamos tener el problema de valor inicial

\[x^{\prime \prime}+x=2, \quad x(0)=1, \quad x^{\prime}(0)=0 \nonumber \]

En los próximos capítulos estudiaremos problemas de valor límite y diversas herramientas para resolver dichos problemas. En este capítulo vamos a motivar nuestro interés por los problemas de valor límite buscando resolver la ecuación de calor unidimensional, que es una ecuación diferencial parcial. para el resto de la sección, utilizaremos esta solución para mostrar que en el fondo de nuestra solución de problemas de valor límite es un estructura basada en álgebra lineal y análisis que conduzca al estudio de los espacios internos del producto. Aunque técnicamente, deberíamos ser guiados a los espacios de Hilbert, que son espacios de producto interiores completos.

Para un problema de valor inicial se tiene que resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida o sus derivadas a más de un valor de la variable independiente. Como ejemplo, tenemos una ligera modificación del problema anterior: Encuentra la solución\(x=x(t)\) para\(0 \leq t \leq 1\) que satisfaga el problema

\[x^{\prime \prime}+x=2, \quad x(0)=1, \quad x(1)=0 . \nonumber \]

Por lo general, los problemas de valor inicial implican funciones dependientes del tiempo y los problemas de valor límite son espaciales. Entonces, con un problema de valor inicial se sabe cómo evoluciona un sistema en términos de la ecuación diferencial y el estado del sistema en algún momento fijo. Entonces se busca determinar el estado del sistema en un momento posterior.

Para problemas de valores límite, se sabe cómo cada punto responde a sus vecinos, pero hay condiciones que hay que satisfacer en los puntos finales. Un ejemplo sería una viga horizontal soportada en los extremos, como un puente. La forma de la viga bajo la influencia de la gravedad, u otras fuerzas, conduciría a una ecuación diferencial y las condiciones límite en los extremos de la viga afectarían la solución del problema. También hay una variedad de otros tipos de condiciones de límite. En el caso de una viga, un extremo podría ser fijo y el otro extremo podría ser libre para moverse. Exploraremos los efectos de diferentes condiciones de valor límite en nuestras discusiones y ejercicios.

Resolvamos el problema del valor límite anterior. Al igual que con los problemas de valor inicial, necesitamos encontrar la solución general y luego aplicar las condiciones que podamos tener. Esta es una ecuación diferencial no homogénea, por lo que tenemos que la solución es una suma de una solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea,\(x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\). La solución de\(x^{\prime \prime}+x=0\) se encuentra fácilmente como

\[x_{h}(t)=c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \nonumber \]

La solución particular se encuentra fácilmente utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados,

\[x_{p}(t)=2 \nonumber \]

Así, la solución general es

\[x(t)=2+c_{1} \cos t+c_{2} \sin t . \nonumber \]

Ahora aplicamos las condiciones de contorno y vemos si hay valores de\(c_{1}\) y\(c_{2}\) que dan una solución a nuestro problema. La primera condición,\(x(0)=0\), da

\[0=2+c_{1} \nonumber \]

Así,\(c_{1}=-2\). Usando este valor para\(c_{1}\), la segunda condición,\(x(1)=1\), da

\[0=2-2 \cos 1+c_{2} \sin 1 \nonumber \]

Esto rinde

\[c_{2}=\dfrac{2(\cos 1-1)}{\sin 1} . \nonumber \]

Hemos encontrado que existe una solución al problema del valor límite y viene dado por

\[x(t)=2\left(1-\cos t \dfrac{(\cos 1-1)}{\sin 1} \sin t\right) \nonumber \]

Los problemas de valor límite surgen en muchos sistemas físicos, así como muchos de los problemas de valores iniciales que hemos visto. Veremos en la siguiente sección que los problemas de valor límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen aparecer en la solución de ecuaciones diferenciales parciales.

Ecuaciones diferenciales parciales

En esta sección introduciremos algunas ecuaciones diferenciales parciales genéricas y veremos cómo la discusión de tales ecuaciones conduce naturalmente al estudio de problemas de valores límite para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, no derivaremos las ecuaciones particulares, dejando eso a cursos en ecuaciones diferenciales, física matemática, etc.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones desconocidas son funciones de una sola variable, por ejemplo,\(y=y(x)\). Las ecuaciones diferenciales parciales son ecuaciones que involucran una función desconocida de varias variables, tales como\(u=u(x, y), u=\)\(u(x, y), u=u(x, y, z, t)\), y sus derivadas (parciales). Por lo tanto, los derivados son derivados parciales. Usaremos las notaciones estándar\(u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_{x x}=\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\), etc.

Hay algunas ecuaciones estándar que uno encuentra. Estas se pueden estudiar en una a tres dimensiones y son todas ecuaciones diferenciales lineales. En la Tabla 4.1 se proporciona una lista. Aquí hemos presentado al operador laplaciano,\(\nabla^{2} u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\). Dependiendo de los tipos de condiciones de contorno impuestas y de la geometría del sistema (rectangular, cilíndrica, esférica, etc.), se encuentran muchos problemas interesantes de valores límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cuadro 4.1. Listado de ecuaciones diferenciales parciales genéricas.

Veamos la ecuación del calor en una dimensión. Esto podría describir la conducción de calor en una varilla delgada y aislada de longitud\(L\). También podría describir la difusión de contaminante en un arroyo largo y estrecho, o el flujo de tráfico por una carretera. En los problemas que involucran procesos de difusión, uno llama a esta ecuación la ecuación de difusión.

Un problema típico de valor de límite inicial para la ecuación de calor sería que inicialmente uno tiene una distribución de temperatura\(u(x, 0)=f(x)\). Colocando la barra en un baño de hielo y asumiendo que el flujo de calor es solo a través de los extremos de la barra, uno tiene las condiciones límite\(u(0, t)=0\) y\(u(L, t)=0\). Por supuesto, estamos lidiando con temperaturas Celsius y asumimos que hay mucho hielo para mantener esa temperatura fija en cada extremo para siempre. Entonces, el problema que uno tendría que resolver se da como

Otro problema que surgirá en discusiones posteriores es el de la cuerda vibratoria. Una cuerda de longitud\(L\) se estira horizontalmente con ambos extremos fijos. Piensa en una cuerda de violín o una cuerda de guitarra. Después se arranca la cuerda, dando a la cadena un perfil inicial. Dejar\(u(x, t)\) ser el desplazamiento vertical de la cuerda en posición\(x\) y tiempo\(t\). El movimiento de la cuerda se rige por la ecuación de onda unidimensional. El problema del valor de límite inicial para este problema se da como

Conexiones a álgebra lineal

Ya hemos visto en capítulos anteriores que las ideas del álgebra lineal surgen en nuestros estudios de ecuaciones diferenciales. A saber, resolvimos problemas de valores propios asociados a nuestros sistemas de ecuaciones diferenciales para determinar el comportamiento local de sistemas dinámicos cerca de puntos fijos. En nuestro estudio de problemas de valor límite encontraremos más conexiones con la teoría de los espacios vectoriales. Sin embargo, encontraremos que nuestros problemas radican en el ámbito de los espacios vectoriales infinitos dimensionales. En esta sección comenzaremos a ver estas conexiones.

Introducción

En este capítulo veremos las series trigonométricas. Anteriormente, vimos que dicha expansión en serie se producía de forma natural en la solución de la ecuación de calor y otros problemas de valor límite. En el último capítulo vimos que tales funciones podían verse como una base en un espacio vectorial dimensional infinito de funciones. Dada una función en ese espacio, ¿cuándo tendrá una representación como una serie trigonométrica? ¿Para qué valores de\(x\) convergerá? Encontrar tales series está en el corazón del análisis de Fourier, o espectral,.

Hay muchas aplicaciones que utilizan el análisis espectral. En la raíz de estos estudios está la creencia de que muchas formas de onda continuas están compuestas por una serie de armónicos. Tales ideas se remontan al estudio pitagórico de las vibraciones de las cuerdas, que llevan a su visión de un mundo de armonía. Esta idea fue llevada más allá por Johannes Kepler en su armonía de las esferas que se acercan a las órbitas planetarias. En los años 1700 otros trabajaron en la teoría de superposición para ondas vibratorias en un resorte estirado, comenzando con la ecuación de onda y conduciendo a la superposición de ondas viajeras derecha e izquierda. Esta obra la llevaron a cabo personas como John Wallis, Brook Taylor y Jean le Rond d'Alembert.

En 1742 d'Alembert resolvió la ecuación de onda

\[c^{2} \dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}-\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0 \nonumber \]

donde\(y\) esta la altura de la cuerda y\(c\) es la velocidad de ola. No obstante, su solución llevó a sí mismo y a otros, como Leonhard Euler y Daniel Bernoulli, a investigar qué “funciones” podrían ser las soluciones de esta ecuación. De hecho, esto condujo a un acercamiento más riguroso al estudio del análisis al primero acercarse al concepto de una función. Por ejemplo, en 1749 Euler buscó la solución para una cuerda desplumada en cuyo caso la condición inicial\(y(x, 0)=h(x)\) tiene una derivada discontinua! En 1753 Daniel Bernoulli vio las soluciones como una superposición de vibraciones simples, o armónicos. Tales superposiciones equivalían a buscar soluciones de la forma

\[y(x, t)=\sum_{k} a_{k} \sin \dfrac{k \pi x}{L} \cos \dfrac{k \pi c t}{L}, \nonumber \]

donde la cadena se extiende sobre el intervalo\([0, L]\) con extremos fijos en\(x=0\) y\(x=L\). Sin embargo, las condiciones iniciales para tales superposiciones son

\[y(x, 0)=\sum_{k} a_{k} \sin \dfrac{k \pi x}{L} . \nonumber \]

Se determinó que muchas funciones no podían ser representadas por un número finito de armónicos, incluso para la cuerda simplemente arrancada dada por una condición inicial de la forma

\[y(x, 0)=\left\{\begin{array}{cc} c x, & 0 \leq x \leq L / 2 \\ c(L-x), & L / 2 \leq x \leq L \end{array}\right. \nonumber \]

Así, la solución consiste generalmente en una serie infinita de funciones trigonométricas.

Tales expansiones de series también fueron importantes en la solución de Joseph Fourier de la ecuación de calor. El uso de tales expansiones de Fourier se convirtió en una herramienta importante en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales, como la ecuación de onda y la ecuación de calor. Como se ve en el último capítulo, utilizando el Método de Separación de Variables, permite reducir problemas dimensionales superiores a varios problemas de valor límite unidimensional. Sin embargo, estos estudios conducen a preguntas muy importantes, que a su vez abrieron las puertas a campos enteros de análisis. Algunos de los problemas planteados fueron

1. ¿Qué funciones se pueden representar como la suma de funciones trigonométricas?
2. ¿Cómo se puede representar una función con derivadas discontinuas por una suma de funciones suaves, como las sumas anteriores?
3. ¿Tales sumas infinitas de funciones trigonométricas a convergen realmente con las funciones que representan?

Las sumas sobre las funciones sinusoidales ocurren naturalmente en la música y en el estudio de las ondas sonoras. Una nota pura se puede representar como

\[y(t)=A \sin (2 \pi f t), \nonumber \]

donde\(A\) esta la amplitud,\(f\) es la frecuencia en hercios\((\mathrm{Hz})\), y\(t\) es el tiempo en segundos. La amplitud está relacionada con el volumen, o intensidad, del sonido. Cuanto mayor es la amplitud, más fuerte es el sonido. En la Figura\(5.1\) se muestran parcelas de dos de esos tonos con\(f=2 \mathrm{~Hz}\) en la parcela superior y\(f=5 \mathrm{~Hz}\) en la inferior.

diferentes amplitudes y frecuencias. En Figura\(5.2\) vemos lo que sucede cuando agregamos varios sinusoides. Tenga en cuenta que a medida que uno agrega más y más tonos con diferentes características, la señal resultante se vuelve más complicada. Sin embargo, todavía tenemos una función de tiempo. En este capítulo vamos a preguntar: “Dada una función\(f(t)\), ¿podemos encontrar un conjunto de funciones sinusoidales cuya suma converja a\(f(t)\)?”

Al observar las superposiciones en la Figura 5.2, vemos que las sumas rinden funciones que parecen ser periódicas. Esto no va a ser inesperado. Recordamos que una función periódica es aquella en la que los valores de la función se repiten sobre el dominio de la función. La longitud de la parte más pequeña del dominio que se repite se denomina período. Esto lo podemos definir con mayor precisión.

Definición 5.1. Se dice que una función es periódica con punto\(T\) si\(f(t+T)=\)\(f(t)\) para todos\(t\) y el menor número positivo de este tipo\(T\) se llama el período.

Por ejemplo, consideramos las funciones utilizadas en la Figura\(5.2\). Empezamos con\(y(t)=2 \sin (4 \pi t)\). Recuerda de tus primeros estudios de funciones trigonométricas que se puede determinar el periodo dividiendo el coeficiente de\(t\) en\(2 \pi\) para obtener el periodo. En este caso tenemos

\[T=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2} . \nonumber \]

Mirando la gráfica superior en la Figura\(5.1\) podemos verificar este resultado. (Se puede contar el número completo de ciclos en la gráfica y dividirlo en el tiempo total para obtener un valor más preciso del periodo).

Por supuesto, este resultado tiene sentido, ya que la unidad de frecuencia, el hertz, también se define como\(s^{-1}\), o ciclos por segundo.

Volviendo a las superposiciones en la Figura 5.2, tenemos que\(y(t)=\)\(\sin (10 \pi t)\) tiene un periodo de\(0.2 \mathrm{~Hz}\) y\(y(t)=\sin (16 \pi t)\) tiene un periodo de\(0.125 \mathrm{~Hz}\). Las dos superposiciones conservan el mayor periodo de las señales agregadas, que es\(0.5 \mathrm{~Hz}\).

Nuestro objetivo será comenzar con una función y luego determinar las amplitudes de los sinusoides simples necesarios para sumar a esa función. En primer lugar, veremos que esto podría implicar un número infinito de tales términos. Así, estaremos estudiando una serie infinita de funciones sinusoidales.

En segundo lugar, encontraremos que el uso justo de funciones sinusoidales tampoco será suficiente. Esto se debe a que podemos agregar funciones sinusoidales que no necesariamente alcanzan un pico al mismo tiempo. Consideraremos dos señales que se originan en diferentes momentos. Esto es similar a cuando tu profesor de música haría que secciones de la clase cantaran una canción como “Row, Row, Row your Boat” comenzando en momentos ligeramente diferentes.

Podemos agregar fácilmente funciones sinusoidales cambiadas. En la Figura\(5.3\) se muestran las funciones\(y(t)=2 \sin (4 \pi t)\) y\(y(t)=2 \sin (4 \pi t+7 \pi / 8)\) y su suma. Tenga en cuenta que esta función sinusoidal desplazada se puede escribir como\(y(t)=2 \sin (4 \pi(t+7 / 32))\). Así, esto corresponde a un cambio de tiempo de\(-7 / 8\).

Ahora estamos en condiciones de exponer nuestro objetivo en este capítulo.

Serie Trigonométrica de Fourier

Como hemos visto en el último apartado, nos interesa encontrar representaciones de funciones en términos de senos y cosenos. Dada una función\(f(x)\) buscamos una representación en la forma

\[f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right] \nonumber \]

Observe que hemos optado por dejar caer la referencia a la forma de frecuencia de la fase. Esto conducirá a una discusión más sencilla por ahora y siempre se puede hacer la transformación a la\(n x=2 \pi f_{n} t\) hora de aplicar estas ideas a las aplicaciones.

La representación de la serie en la Ecuación (5.1) se denomina serie trigonométrica de Fourier. Simplemente nos referiremos a esto como una serie de Fourier por ahora. El conjunto de constantes\(a_{0}, a_{n}, b_{n}, n=1,2, \ldots\) se denominan coeficientes de Fourier. El término constante se elige en esta forma para simplificar los cálculos posteriores, aunque algunos otros autores optan por escribir el término constante como\(a_{0}\). Nuestro objetivo es encontrar la representación de la serie de Fourier dada\(f(x)\). Habiendo encontrado la representación de la serie de Fourier, nos interesará determinar cuándo converge la serie de Fourier y a qué función converge.

De nuestra discusión en la última sección, vemos que la serie infinita es periódica. El mayor periodo de los términos proviene de los\(n=1\) términos. Los periodos de\(\cos x\) y\(\sin x\) son\(T=2 \pi\). Así, la serie de Fourier tiene periodo\(2 \pi\). Esto significa que la serie debe ser capaz de representar funciones que son periódicas de periodo\(2 \pi\).

Si bien esto parece restrictivo, también podríamos considerar funciones que se definen a lo largo de un periodo. En la Figura\(5.4\) mostramos una función definida en\([0,2 \pi]\). En la misma figura, mostramos su extensión periódica. Estas son solo copias de la función original desplazada por el periodo y pegadas entre sí. La extensión ahora puede ser representada por una serie de Fourier y restringir la serie de Fourier a\([0,2 \pi]\) dará una representación de la función original. Por lo tanto, primero consideraremos representaciones de series de Fourier de funciones definidas en este intervalo. Tenga en cuenta que podríamos considerar fácilmente funciones definidas en\([-\pi, \pi]\) o cualquier intervalo de longitud\(2 \pi\).

Serie de Fourier a través de otros intervalos

En muchas aplicaciones estamos interesados en determinar representaciones en series de Fourier de funciones definidas en intervalos distintos a\([0,2 \pi]\). En esta sección determinaremos la forma de la expansión en serie y los coeficientes de Fourier en estos casos.

El tipo de intervalo más general se da como\([a, b]\). Sin embargo, esto a menudo es demasiado general. Los intervalos más comunes son de la forma\([-\pi, \pi],[0, L]\), o\([-L / 2, L / 2]\). La generalización más simple es al intervalo\([0, L]\). Tales intervalos surgen a menudo en aplicaciones. Por ejemplo, se pueden estudiar las vibraciones de una cuerda unidimensional de longitud\(L\) y configurar los ejes con el extremo izquierdo en\(x=0\) y el extremo derecho en\(x=L\). Otro problema sería estudiar la distribución de temperatura a lo largo de una varilla unidimensional de longitud\(L\). Tales problemas conducen a los estudios originales de las series de Fourier. Como veremos más adelante, los intervalos simétricos,\([-a, a]\), también son útiles.

Dado un intervalo\([0, L]\), podríamos aplicar una transformación a un intervalo de longitud\(2 \pi\) simplemente reescalando nuestro intervalo. Entonces podríamos aplicar esta transformación a nuestra representación en serie de Fourier para obtener una equivalente útil para las funciones definidas en\([0, L]\).

Definimos\(x \in[0,2 \pi]\) y\(t \in[0, L]\). Una transformación lineal que relaciona estos intervalos es simplemente\(x=\dfrac{2 \pi t}{L}\) como se muestra en la Figura\(5.5\). Entonces,\(t=0\) mapas a\(x=0\) y\(t=L\) mapas a\(x=2 \pi\). Además, esta transformación se mapea\(f(x)\) a una nueva función\(g(t)=f(x(t))\), que se define en\([0, L]\). Determinaremos la representación en serie de Fourier de esta función usando la representación para\(f(x)\)

Recordemos la forma de la representación de Fourier para\(f(x)\) en la Ecuación (5.1):

\[f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right] \nonumber \]

Insertando la transformación relativa\(x\) y\(t\), tenemos

\[g(t) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \dfrac{2 n \pi t}{L}+b_{n} \sin \dfrac{2 n \pi t}{L}\right] . \nonumber \]

Esto da la forma de la expansión en serie para\(g(t)\) con\(t \in[0, L]\). Pero, aún necesitamos determinar los coeficientes de Fourier. Recordemos, que

\[a_{n}=\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cos n x d x \nonumber \]

Tenemos que hacer una sustitución en la integral de\(x=\dfrac{2 \pi t}{L}\). También habrá que transformar el diferencial,\(d x=\dfrac{2 \pi}{L} d t\). Así, la forma resultante para nuestro coeficiente es

\[a_{n}=\dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} g(t) \cos \dfrac{2 n \pi t}{L} d t \nonumber \]

Del mismo modo, encontramos que

\[b_{n}=\dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} g(t) \sin \dfrac{2 n \pi t}{L} d t \nonumber \]

Notamos primero que cuando\(L=2 \pi\) volvemos la representación de la serie que estudiamos por primera vez. También, el periodo de\(\cos \dfrac{2 n \pi t}{L}\) es\(L / n\), lo que significa que la representación para\(g(t)\) tiene un periodo de\(L\).

Al final de esta sección se presenta la derivación de la representación de la serie de Fourier para un intervalo general para el lector interesado. En Tabla\(5.1\) resumimos algunas representaciones de series de Fourier de uso común.

Terminaremos nuestra discusión por ahora con algunos casos especiales y un ejemplo para una función definida en\([-\pi, \pi]\).

Ejemplo 5.7. \(f(x)=|x|\)Vamos\([-\pi, \pi]\) Calculamos los coeficientes, comenzando como de costumbre con\(a_{0}\). Tenemos

\[\begin{aligned} a_{0} &=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|x| d x \\ &=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}|x| d x=\pi \end{aligned} \nonumber \]

En este punto hay que recordar al lector sobre la integración de funciones pares e impares.

1. Incluso Funciones: En esta evaluación hicimos uso del hecho de que el integrando es una función par. Recordemos que\(f(x)\) es una función par si es\(f(-x)=f(x)\) para todos\(x\). Se pueden reconocer funciones pares ya que son simétricas con respecto al\(y\) eje -como se muestra en la Figura 5.6 (A). Si uno integra una función par a lo largo de un intervalo simétrico, entonces uno tiene esa

\[\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \nonumber \]

Se puede probar esto dividiendo la integración sobre valores negativos de\(x\), usando la sustitución\(x=-y\), y empleando la uniformidad de\(f(x)\). Así, Cuadro 5.1. Representaciones especiales de series de Fourier en diferentes intervalos

Serie de Fourier en\([0, L]\)

\[\begin{aligned} f(x) & \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \dfrac{2 n \pi x}{L}+b_{n} \sin \dfrac{2 n \pi x}{L}\right] \\ a_{n} &=\dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \dfrac{2 n \pi x}{L} d x . \quad n=0,1,2, \ldots, \\ b_{n} &=\dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \dfrac{2 n \pi x}{L} d x . \quad n=1,2, \ldots \end{aligned} \nonumber \]

Serie de Fourier en\(\left[-\dfrac{L}{2}, \dfrac{L}{2}\right]\)

\[\begin{aligned} f(x) & \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \dfrac{2 n \pi x}{L}+b_{n} \sin \dfrac{2 n \pi x}{L}\right] . \\ a_{n} &=\dfrac{2}{L} \int_{-\dfrac{L}{2}}^{\dfrac{L}{2}} f(x) \cos \dfrac{2 n \pi x}{L} d x . \quad n=0,1,2, \ldots, \\ b_{n} &=\dfrac{2}{L} \int_{-\dfrac{L}{2}}^{\dfrac{L}{2}} f(x) \sin \dfrac{2 n \pi x}{L} d x . \quad n=1,2, \ldots \end{aligned} \nonumber \]

Serie de Fourier en\([-\pi, \pi]\)

\[\begin{gathered} f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right] . \\ a_{n}=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x . \quad n=0,1,2, \ldots, \\ b_{n}=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x . \quad n=1,2, \ldots \end{gathered} \nonumber \]

\[\begin{aligned} \int_{-a}^{a} f(x) d x &=\int_{-a}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(x) d x \\ &=-\int_{a}^{0} f(-y) d y+\int_{0}^{a} f(x) d x \\ &=\int_{0}^{a} f(y) d y+\int_{0}^{a} f(x) d x \\ &=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \end{aligned} \nonumber \]

Esto se puede verificar visualmente mirando Figura\(5.6(\mathrm{~A})\).

3. Funciones impares: Se podría hacer un cálculo similar para funciones impares. \(f(x)\)es una función impar si es\(f(-x)=-f(x)\) para todos\(x\). Las gráficas de tales funciones son simétricas con respecto al origen como se muestra en la Figura\(5.6(\mathrm{~B})\). Si uno integra una función impar sobre un intervalo simétrico, entonces uno tiene esa

Ahora continuamos con nuestro cálculo de los coeficientes de Fourier para\(f(x)=|x|\) on\([-\pi, \pi]\). Tenemos

\[a_{n}=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|x| \cos n x d x=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos n x d x . \nonumber \]

Aquí hemos hecho uso del hecho de que\(|x| \cos n x\) es una función par. Para poder calcular la integral resultante, necesitamos utilizar la integración por partes,

\[\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u \nonumber \]

por dejar\(u=x\) y\(d v=\cos n x d x\). Así,\(d u=d x\) y\(v=\int d v=\dfrac{1}{n} \sin n x\). Continuando con el cómputo, tenemos

\[\begin{aligned} a_{n} &=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos n x d x \\ &=\dfrac{2}{\pi}\left[\left.\dfrac{1}{n} x \sin n x\right|_{0} ^{\pi}-\dfrac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \sin n x d x\right] \\ &=-\dfrac{2}{n \pi}\left[-\dfrac{1}{n} \cos n x\right]_{0}^{\pi} \\ &=-\dfrac{2}{\pi n^{2}}\left(1-(-1)^{n}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Aquí hemos utilizado el hecho de que\(\cos n \pi=(-1)^{n}\) para cualquier entero\(n\). Esto lleva a un factor\(\left(1-(-1)^{n}\right)\). Este factor puede simplificarse como

\[1-(-1)^{n}=\left\{\begin{array}{l} 2, n \text { odd } \\ 0, n \text { even } \end{array}\right. \nonumber \]

Entonces,\(a_{n}=0\) para\(n\) par y\(a_{n}=-\dfrac{4}{\pi n^{2}}\) para\(n\) impar.

Computar los\(b_{n}\)'s es más sencillo. Observamos que tenemos que integrarnos\(|x| \sin n x\) de\(x=-\pi\) a\(\pi\). El integrando es una función impar y este es un intervalo simétrico. Entonces, el resultado es eso\(b_{n}=0\) para todos\(n\).

Armando todo esto, la representación de la serie de Fourier de\(f(x)=|x|\) on\([-\pi, \pi]\) se da como

\[f(x) \sim \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi} \sum_{n=1, \text { odd }}^{\infty} \dfrac{\cos n x}{n^{2}} \nonumber \]

Si bien esto es correcto, podemos reescribir la suma sobre solo impar\(n\) reindexando. Dejamos\(n=2 k-1\) para\(k=1,2,3, \ldots\) Entonces solo obtenemos los enteros impares. La serie se puede escribir como

\[f(x) \sim \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\cos (2 k-1) x}{(2 k-1)^{2}} . \nonumber \]

A lo largo de nuestra discusión nos hemos referido a tales resultados como representaciones de Fourier. No hemos mirado la convergencia de estas series. He aquí un ejemplo de una serie infinita de funciones. ¿A qué suma esta serie? Mostramos en\(5.7\) la Figura las primeras sumas parciales. Parecen estar convergiendo con\(f(x)=|x|\) bastante rapidez.

A pesar de que se\(f(x)\) definió en todavía\([-\pi, \pi]\) podemos evaluar la serie de Fourier a valores\(x\) fuera de este intervalo. En la Figura\(5.8\), vemos que la representación concuerda con\(f(x)\) en el intervalo\([-\pi, \pi]\). Fuera de este intervalo tenemos una extensión periódica de\(f(x)\) con periodo\(2 \pi\).

Otro ejemplo es la representación de la serie de Fourier de\(f(x)=x\) on\([-\pi, \pi]\) como izquierda para Problema 5.1. Esto se determina que es

\[f(x) \sim 2 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \sin n x . \nonumber \]

Como se ve en la Figura\(5.9\) obtenemos nuevamente la extensión periódica de nuestra función. En este caso necesitábamos muchos más términos. Además, las partes verticales de la primera parcela son inexistentes. En la segunda gráfica solo trazamos los puntos y no los típicos puntos conectados que la mayoría de los paquetes de software trazan como estilo predeterminado.

\[\pi=4\left[1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots\right] \nonumber \]

Apéndice: El fenómeno Gibbs

Hemos visto que cuando hay una discontinuidad de salto en la extensión periódica de nuestras funciones, si la función originalmente tenía una discontinuidad o desarrolló una debido a un desajuste en los valores de los puntos finales. Esto se puede ver en las Figuras\(5.9,5.11\) y 5.13. La serie de Fourier tiene dificultades para converger en el punto de discontinuidad y estas gráficas de la serie de Fourier muestran un sobreimpulso distinto que no desaparece. Esto se llama fenómeno Gibbs y se puede calcular la cantidad de sobreimpulso.

En uno de nuestros primeros ejemplos, Ejemplo\(5.6\), encontramos la representación en serie de Fourier de la función definida por partes

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c} 1, \quad 0<x<\pi \\ -1, \quad \pi<x<2 \pi \end{array}\right. \nonumber \]

ser

\[f(x) \sim \dfrac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin (2 k-1) x}{2 k-1} . \nonumber \]

En Figura\(5.14\) mostramos la suma de los diez primeros términos. Tenga en cuenta los meneamientos, rebasamientos y debajo de brotes cerca\(x=0, \pm \pi\). Estos se ven más cuando trazamos la representación para\(x \in[-3 \pi, 3 \pi]\), como se muestra en la Figura 5.15. Observamos que los rebasamientos y subbrotes ocurren a discontinuidades en la extensión periódica de\(f(x)\). Estos ocurren siempre que\(f(x)\) tenga una discontinuidad o si los valores de\(f(x)\) en los puntos finales del dominio no coinciden.

Uno podría esperar que solo necesitamos agregar más términos. En la Figura\(5.16\) se muestra la suma de veinte términos. Tenga en cuenta que la suma parece converger mejor para puntos alejados de las discontinuidades. Pero, los rebasamientos y subbrotes siguen presentes. En Figuras\(5.17\) y se\(5.18\) muestran gráficas ampliadas del sobreimpulso a\(x=0\) para\(N=100\) y\(N=500\), respectivamente. Vemos que el sobreimpulso persiste. El pico se encuentra aproximadamente a la misma altura, pero su ubicación parece estar cada vez más cerca del origen. Mostraremos cómo se puede estimar el tamaño del sobreimpulso.

Podemos estudiar el fenómeno de Gibbs observando las sumas parciales de series trigonométricas generales de Fourier para funciones\(f(x)\) definidas en el intervalo\([-L, L]\). Escribiendo las sumas parciales, insertando los coeficientes de Fourier y reordenando, tenemos

\[\begin{aligned} =& \dfrac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} f(y) d y+\sum_{n=1}^{N}\left[\left(\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(y) \cos \dfrac{n \pi y}{L} d y\right) \cos \dfrac{n \pi x}{L}\right.\\ &\left.+\left(\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(y) \sin \dfrac{n \pi y}{L} d y\right) \sin \dfrac{n \pi x}{L}\right] \\ =&\left.\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}\left\{\dfrac{1}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left(\cos \dfrac{n \pi y}{L} \cos \dfrac{n \pi x}{L}+\sin \dfrac{n \pi y}{L} \sin \dfrac{n \pi x}{L}\right)\right\} f(y)\right\} f(y) d y \\ =& \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}\left\{\dfrac{1}{2}+\sum_{n=1}^{N} \cos \dfrac{n \pi(y-x)}{L}\right\} \\ \equiv & \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} D_{N}(y-x) f(y) d y . \end{aligned} \nonumber \]

Hemos definido

\[D_{N}(x)=\dfrac{1}{2}+\sum_{n=1}^{N} \cos \dfrac{n \pi x}{L}, \nonumber \]

que se llama el\(N\) -ésimo Kernel de Dirichlet. Ahora probamos

Introducción

En los últimos capítulos hemos explorado la solución de problemas de valor límite que llevaron a funciones propias trigonométricas. Tales funciones pueden ser utilizadas para representar funciones en expansiones de series de Fourier. Nos gustaría generalizar algunas de esas técnicas para resolver otros problemas de valor límite. Una clase de problemas a los que pertenecen nuestros ejemplos anteriores y que tienen funciones propias con propiedades similares son los problemas de valor propio de Sturm-Liouville. Estos problemas involucran operadores autoagregados (diferenciales) que juegan un papel importante en la teoría espectral de los operadores lineales y la existencia de las funciones propias que describimos en la Sección 4.3.2. Estas ideas se introducirán en este capítulo.

En la física surgen muchos problemas en forma de problemas de valor límite que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por ejemplo, podríamos querer resolver la ecuación

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=f(x) \nonumber \]

sujeto a condiciones de límite. Podemos escribir tal ecuación en forma de operador definiendo el operador diferencial

\[L=a_{2}(x) \dfrac{d^{2}}{d x^{2}}+a_{1}(x) \dfrac{d}{d x}+a_{0}(x) . \nonumber \]

Entonces, la Ecuación (6.1) toma la forma

\[L y=f \text {. } \nonumber \]

Como vimos en el problema general del valor límite (4.20) en la Sección 4.3.2, podemos resolver algunas ecuaciones usando expansiones de valor propio. A saber, buscamos soluciones al problema del valor propio

\[L \phi=\lambda \phi \nonumber \]

con condiciones de límite homogéneas y luego buscar una solución como una expansión de las funciones propias. Formalmente, dejamos

\[y=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n} \nonumber \]

Sin embargo, no se nos garantiza un buen conjunto de funciones propias. Necesitamos un conjunto apropiado para formar una base en el espacio de funciones. Además, sería bueno tener ortogonalidad para que podamos resolver fácilmente para los coeficientes de expansión como se hizo en la Sección 4.3.2. [De lo contrario, tendríamos que resolver un sistema acoplado infinito de ecuaciones algebraicas en lugar de un sistema desacoplado y diagonal.]

Resulta que cualquier operador lineal de segundo orden se puede convertir en un operador que posea las propiedades correctas (autoadjointedness para llevar a cabo este procedimiento. El operador resultante se conoce como un operador de Sturm-Liouville. Destacaremos algunas de las propiedades de dichos operadores y probaremos algunos teoremas clave, aunque esta no será una revisión extensa de la teoría de SturmLiouville. El lector interesado puede revisar la literatura y textos más avanzados para un análisis más profundo.

Definimos al operador de Sturm-Liouville como

\[\mathcal{L}=\dfrac{d}{d x} p(x) \dfrac{d}{d x}+q(x) \nonumber \]

El problema del valor propio de Sturm-Liouville viene dado por la ecuación diferencial

\[\mathcal{L} u=-\lambda \sigma(x) u \nonumber \]

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d u}{d x}\right)+q(x) u+\lambda \sigma(x) u=0 \nonumber \]

para\(x \in(a, b)\). Las funciones\(p(x), p^{\prime}(x), q(x)\) y\(\sigma(x)\) se supone que son continuas una\((a, b)\) y\(p(x)>0, \sigma(x)>0\) otra vez\([a, b]\). Si el intervalo es finito y estas suposiciones sobre los coeficientes son verdaderas\([a, b]\), entonces se dice que el problema es regular. De lo contrario, se le llama singular.

También necesitamos imponer el conjunto de condiciones de contorno homogéneas

\[\begin{array}{r} \alpha_{1} u(a)+\beta_{1} u^{\prime}(a)=0 \\ \alpha_{2} u(b)+\beta_{2} u^{\prime}(b)=0 \end{array} \nonumber \]

Los\(\alpha\)\(\beta\)'s y los son constantes. Para diferentes valores, uno tiene tipos especiales de condiciones de contorno. Porque\(\beta_{i}=0\), tenemos lo que se llaman condiciones de contorno de Dirichlet. A saber,\(u(a)=0\) y\(u(b)=0\). Porque\(\alpha_{i}=0\), tenemos condiciones de límite de Neumann. En este caso,\(u^{\prime}(a)=0\) y\(u^{\prime}(b)=0\). En términos del ejemplo de la ecuación de calor, las condiciones de Dirichlet corresponden a mantener una temperatura fija en los extremos de la varilla. Las condiciones límite de Neumann corresponderían a no flujo de calor a través de los extremos, o condiciones aislantes, ya que no habría gradiente de temperatura en esos puntos. Las condiciones de contorno más generales permiten límites parcialmente aislados.

Otro tipo de condición de límite que a menudo se encuentra es la condición de límite periódica. Considera la varilla calentada que ha sido doblada para formar un círculo. Entonces los dos puntos finales son físicamente iguales. Entonces, esperaríamos que la temperatura y el gradiente de temperatura coincidieran en esos puntos. Para este caso escribimos\(u(a)=u(b)\) y\(u^{\prime}(a)=u^{\prime}(b)\). Los problemas de valor límite utilizando estas condiciones deben manejarse de manera diferente a las condiciones homogéneas anteriores. Estas condiciones conducen a diferentes tipos de funciones propias y valores propios.

Como se mencionó anteriormente, las ecuaciones de la forma (6.1) ocurren a menudo. Ahora mostramos que la Ecuación (6.1) se puede convertir en una ecuación diferencial de la forma SturmLiouville:

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) \nonumber \]

Otra forma de enunciar esto se proporciona en el teorema:

Teorema 6.1. Cualquier operador lineal de segundo orden se puede poner en la forma del operador Sturm-Liouville (6.2).

La prueba de ello es sencilla, como pronto mostraremos. Considera la ecuación (6.1). Si\(a_{1}(x)=a_{2}^{\prime}(x)\), entonces podemos escribir la ecuación en la forma

\[\begin{aligned} f(x) &=a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y \\ &=\left(a_{2}(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+a_{0}(x) y \end{aligned} \nonumber \]

Esto está en la forma correcta. Solo identificamos\(p(x)=a_{2}(x)\) y\(q(x)=a_{0}(x)\).

Sin embargo, considere la ecuación diferencial

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0 . \nonumber \]

En este caso\(a_{2}(x)=x^{2}\) y\(a_{2}^{\prime}(x)=2 x \neq a_{1}(x)\). El operador diferencial lineal en esta ecuación no es del tipo Sturm-Liouville. Pero, podemos cambiarlo a un operador de Sturm Liouville.

En el operador de Sturm Liouville los términos derivados se reúnen en una derivada perfecta. Esto es similar a lo que vimos en el primer capítulo cuando resolvimos ecuaciones lineales de primer orden. En ese caso se buscó un factor integrador. Aquí podemos hacer lo mismo. Buscamos una función multiplicativa por la\(\mu(x)\) que podamos multiplicar\((6.1)\) para que pueda escribirse en forma de Sturm-Liouville. Primero dividimos la\(a_{2}(x)\), dando

\[y^{\prime \prime}+\dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\dfrac{f(x)}{a_{2}(x)} . \nonumber \]

Ahora, multiplicamos la ecuación diferencial por\(\mu\):

\[\mu(x) y^{\prime \prime}+\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\mu(x) \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\mu(x) \dfrac{f(x)}{a_{2}(x)} \nonumber \]

Los dos primeros términos ahora se pueden combinar en una derivada exacta\(\left(\mu y^{\prime}\right)^{\prime}\) si\(\mu(x)\) satisface

\[\dfrac{d \mu}{d x}=\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} . \nonumber \]

Esto se resuelve formalmente para dar

\[\mu(x)=e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} . \nonumber \]

Así, la ecuación original se puede multiplicar por factor

\[\dfrac{\mu(x)}{a_{2}(x)}=\dfrac{1}{a_{2}(x)} e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} \nonumber \]

para convertirlo en forma de Sturm-Liouville.

En resumen,

\[\begin{aligned} &\text { Equation (6.1), } \\ &\qquad a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=f(x) \end{aligned} \nonumber \]

se puede poner en la forma de Sturm-Liouville

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) \nonumber \]

donde

\[\begin{aligned} p(x) &=e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} \\ q(x) &=p(x) \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} \\ F(x) &=p(x) \dfrac{f(x)}{a_{2}(x)} \end{aligned} \nonumber \]

Ejemplo 6.2. Para el ejemplo anterior,

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0 . \nonumber \]

Solo necesitamos multiplicar esta ecuación por

\[\dfrac{1}{x^{2}} e^{\int \dfrac{d x}{x}}=\dfrac{1}{x}, \nonumber \]

para poner la ecuación en forma de Sturm-Liouville:

\[\begin{aligned} 0 &=x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\dfrac{2}{x} y \\ &=\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{2}{x} y \end{aligned} \nonumber \]

Propiedades de Sturm-Liouville Eigenvalue Problems

Hay varias propiedades que se pueden probar para el problema de valor propio de SturmLiouville (regular). Sin embargo, aquí no vamos a probarlos todos. Nos limitaremos a enumerar algunos de los hechos importantes y nos centraremos en algunas de las propiedades.

1. Los valores propios son reales, contables, ordenados y hay un valor propio más pequeño. Así, podemos escribirlos como\(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots\). Sin embargo, no hay mayor valor propio y\(n \rightarrow \infty, \lambda_{n} \rightarrow \infty\).
2. Para cada valor propio\(\lambda_{n}\) existe una función propia\(\phi_{n}\) con\(n-1\) ceros encendidos\((a, b)\).
3. Las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales con respecto a la función de peso,\(\sigma(x)\). Definir el producto interno de\(f(x)\) y\(g(x)\) como

\[<f, g>=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \sigma(x) d x \nonumber \]

entonces la ortogonalidad de los eigenfunctios se puede escribir en la forma

\[<\phi_{n}, \phi_{m}>=<\phi_{n}, \phi_{n}>\delta_{n m}, \quad n, m=1,2, \ldots \nonumber \]

5. El conjunto de funciones propias es completo; es decir, cualquier función suave por tramos puede ser representada por una expansión generalizada de la serie de Fourier de las funciones propias,

\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x) \nonumber \]

donde

\[c_{n}=\dfrac{<f, \phi_{n}>}{<\phi_{n}, \phi_{n}>} \nonumber \]

En realidad, se necesita\(f(x) \in L_{\sigma}^{2}[a, b]\), el conjunto de funciones integrables cuadradas sobre\([a, b]\) con función de peso\(\sigma(x)\). Por cuadrado integrable, queremos decir eso\(<f, f><\infty\). Se puede demostrar que tal espacio es isomórfico a un espacio de Hilbert, un espacio de producto interno completo.

6. Multiplicar el problema del valor propio

\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma(x) \phi_{n} \nonumber \]

por\(\phi_{n}\) e integrar. Resuelve este resultado para\(\lambda_{n}\), para encontrar el cociente Rayleigh

\[\lambda_{n}=\dfrac{-\left.p \phi_{n} \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b}\left[p\left(\dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)^{2}-q \phi_{n}^{2}\right] d x}{<\phi_{n}, \phi_{n}>} \nonumber \]

El cociente Rayleigh es útil para obtener estimaciones de valores propios y probar algunas de las otras propiedades. Ejemplo 6.3. Buscamos las funciones propias del operador que se encuentran en el Ejemplo 6.2. A saber, queremos resolver el problema del valor propio

\[\mathcal{L} y=\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{2}{x} y=-\lambda \sigma y \nonumber \]

sujeto a un conjunto de condiciones de contorno. Vamos a usar las condiciones de contorno

\[y^{\prime}(1)=0, \quad y^{\prime}(2)=0 \nonumber \]

[Tenga en cuenta que\(\sigma(x)\) aún no lo sabemos, pero elegiremos una función adecuada para obtener soluciones.]

Ampliando el derivado, tenemos

\[x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\dfrac{2}{x} y=-\lambda \sigma y . \nonumber \]

Multiplicar por\(x\) para obtener

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+(2+\lambda x \sigma) y=0 \nonumber \]

Observe que si elegimos\(\sigma(x)=x^{-1}\), entonces esta ecuación se puede hacer una ecuación de tipo Cauchy-Euler. Así, tenemos

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+(\lambda+2) y=0 . \nonumber \]

La ecuación característica es

\[r^{2}+\lambda+2=0 . \nonumber \]

Para soluciones oscilatorias, necesitamos\(\lambda+2>0\). Así, la solución general es

\[y(x)=c_{1} \cos (\sqrt{\lambda+2} \ln |x|)+c_{2} \sin (\sqrt{\lambda+2} \ln |x|) . \nonumber \]

A continuación aplicamos las condiciones de contorno. \(y^{\prime}(1)=0\)fuerzas\(c_{2}=0\). Esto deja

\[y(x)=c_{1} \cos (\sqrt{\lambda+2} \ln x) . \nonumber \]

La segunda condición,\(y^{\prime}(2)=0\), rinde

\[\sin (\sqrt{\lambda+2} \ln 2)=0 \nonumber \]

Esto dará soluciones no triviales cuando

\[\sqrt{\lambda+2} \ln 2=n \pi, \quad n=0,1,2,3 \ldots \nonumber \]

En resumen, las funciones propias para este problema de valor propio son

\[y_{n}(x)=\cos \left(\dfrac{n \pi}{\ln 2} \ln x\right), \quad 1 \leq x \leq 2 \nonumber \]

y los valores propios son\(\lambda_{n}=2+\left(\dfrac{n \pi}{\ln 2}\right)^{2}\) para\(n=0,1,2, \ldots\)

Nota: Incluimos el\(n=0\) caso porque\(y(x)=\) constante es una solución del\(\lambda=-2\) caso. Más específicamente, en este caso la ecuación característica se reduce a\(r^{2}=0\). Así, la solución general de esta ecuación de Cauchy-Euler es

\[y(x)=c_{1}+c_{2} \ln |x| \nonumber \]

Ajuste\(y^{\prime}(1)=0\), las fuerzas\(c_{2}=0 . y^{\prime}(2)\) se desvanecen automáticamente, dejando la solución en este caso como\(y(x)=c_{1}\).

Observamos que algunas de las propiedades listadas al inicio de la sección se mantienen para este ejemplo. Los valores propios son vistos como reales, contables y ordenados. Hay al menos uno,\(\lambda=2\). A continuación, se pueden encontrar los ceros de cada función propia encendida\([1,2]\). Entonces el argumento del coseno,\(\dfrac{n \pi}{\ln 2} \ln x\), toma valores 0 a\(n \pi\) for\(x \in[1,2]\). La función coseno tiene\(n-1\) raíces en este intervalo.

También se puede verificar la ortogonalidad. Configuramos la integral y usamos la sustitución\(y=\pi \ln x / \ln 2\). Esto da

\[\begin{aligned} <y_{n}, y_{m}>&=\int_{1}^{2} \cos \left(\dfrac{n \pi}{\ln 2} \ln x\right) \cos \left(\dfrac{m \pi}{\ln 2} \ln x\right) \dfrac{d x}{x} \\ &=\dfrac{\ln 2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos n y \cos m y d y \\ &=\dfrac{\ln 2}{2} \delta_{n, m} \end{aligned} \nonumber \]

El método de expansión de la función propia

En la sección\(4.3 .2\) vimos generalmente cómo se pueden usar las funciones propias de un operador diferencial para resolver un problema de valor límite no homogéneo. En este capítulo hemos visto que los problemas de valores propios de Sturm-Liouville tienen el conjunto requerido de funciones propias ortogonales. En esta sección aplicaremos el método de expansión de función propia para resolver un problema de valor límite no homogéneo en particular.

Recordemos que uno comienza con una ecuación diferencial no homogénea

\[\mathcal{L} y=f, \nonumber \]

donde\(y(x)\) es satisfacer determinadas condiciones de contorno homogéneas. El método hace uso de las funciones propias que satisfacen el problema del valor propio

\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma \phi_{n} \nonumber \]

sujeto a las condiciones de límite dadas. Entonces, se asume que se\(y(x)\) puede escribir como una expansión en las funciones propias,

\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x), \nonumber \]

e inserta la expansión en la ecuación no homogénea. Esto da

\[f(x)=\mathcal{L}\left(\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x)\right)=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \sigma(x) \phi_{n}(x) \nonumber \]

Los coeficientes de expansión se encuentran entonces haciendo uso de la ortogonalidad de las funciones propias. A saber, multiplicamos la última ecuación por\(\phi_{m}(x)\) e integramos. Obtenemos

\[\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \int_{a}^{b} \phi_{n}(x) \phi_{m}(x) \sigma(x) d x \nonumber \]

Rendimientos de ortogonalidad

\[\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x=-c_{m} \lambda_{m} \int_{a}^{b} \phi_{m}^{2}(x) \sigma(x) d x \nonumber \]

Resolviendo para\(c_{m}\), tenemos

\[c_{m}=-\dfrac{\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x}{\lambda_{m} \int_{a}^{b} \phi_{m}^{2}(x) \sigma(x) d x} . \nonumber \]

Ejemplo 6.11. Como ejemplo, consideramos la solución del problema del valor límite

\[\begin{aligned} \left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{y}{x} &=\dfrac{1}{x}, \quad x \in[1, e], \\ y(1) &=0=y(e) . \end{aligned} \nonumber \]

Esta ecuación ya está en forma autoadjoint. Entonces, sabemos que el problema asociado de valores propios de Sturm-Liouville tiene un conjunto ortogonal de funciones propias. Primero determinamos este conjunto. A saber, tenemos que resolver

\[\left(x \phi^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{\phi}{x}=-\lambda \sigma \phi, \quad \phi(1)=0=\phi(e) . \nonumber \]

Reordenando los términos y multiplicando por\(x\), tenemos que

\[x^{2} \phi^{\prime \prime}+x \phi^{\prime}+(1+\lambda \sigma x) \phi=0 . \nonumber \]

Esta es casi una ecuación del tipo Cauchy-Euler. Escogiendo la función de peso\(\sigma(x)=\dfrac{1}{x}\), tenemos

\[x^{2} \phi^{\prime \prime}+x \phi^{\prime}+(1+\lambda) \phi=0 . \nonumber \]

Esto se resuelve fácilmente. La ecuación característica es

\[r^{2}+(1+\lambda)=0 . \nonumber \]

Se obtienen soluciones no triviales del problema del valor propio satisfaciendo las condiciones límite cuando\(\lambda>-1\). Las soluciones son

\[\phi_{n}(x)=A \sin (n \pi \ln x), \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]

donde\(\lambda_{n}=n^{2} \pi^{2}-1\)

A menudo es útil para normalizar las funciones propias. Esto significa que uno elige\(A\) para que la norma de cada función propia sea una. Así, tenemos

\[\begin{aligned} 1 &=\int_{1}^{e} \phi_{n}(x)^{2} \sigma(x) d x \\ &=A^{2} \int_{1}^{e} \sin (n \pi \ln x) \dfrac{1}{x} d x \\ &=A^{2} \int_{0}^{1} \sin (n \pi y) d y=\dfrac{1}{2} A^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Así,\(A=\sqrt{2}\)

Ahora giramos hacia la solución del problema no homogéneo,\(\mathcal{L} y=\dfrac{1}{x}\). Primero ampliamos la solución desconocida en términos de las funciones propias,

\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sqrt{2} \sin (n \pi \ln x) . \nonumber \]

Insertando esta solución en la ecuación diferencial, tenemos

\[\dfrac{1}{x}=\mathcal{L} y=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \sqrt{2} \sin (n \pi \ln x) \dfrac{1}{x} \nonumber \]

A continuación, hacemos uso de la ortogonalidad. Multiplicando ambos lados por\(\phi_{m}(x)=\)\(\sqrt{2} \sin (m \pi \ln x)\) e integrando, da

\[\lambda_{m} c_{m}=\int_{1}^{e} \sqrt{2} \sin (m \pi \ln x) \dfrac{1}{x} d x=\dfrac{\sqrt{2}}{m \pi}\left[(-1)^{m}-1\right] . \nonumber \]

Resolviendo para\(c_{m}\), tenemos

\[c_{m}=\dfrac{\sqrt{2}}{m \pi} \dfrac{\left[(-1)^{m}-1\right]}{m^{2} \pi^{2}-1} . \nonumber \]

Finalmente, insertamos nuestros coeficientes en la expansión para\(y(x)\). La solución es entonces

\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{n \pi} \dfrac{\left[(-1)^{n}-1\right]}{n^{2} \pi^{2}-1} \sin (n \pi \ln (x)) . \nonumber \]

El teorema alternativo de Fredholm

Ante eso\(L y=f\), ¿cuándo se puede esperar encontrar una solución? ¿Es único? Estas preguntas son respondidas por el Teorema Alternativo de Fredholm. Este teorema ocurre en muchas formas desde una declaración sobre soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas hasta soluciones de problemas de valor límite y ecuaciones integrales. El teorema viene en dos partes, de ahí el término “alternativa”. O la ecuación tiene exactamente una solución para todos\(f\), o la ecuación tiene muchas soluciones para algunas\(f^{\prime}\) y ninguna para el resto.

El lector está familiarizado con las afirmaciones de la Alternativa de Fredholm para la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas. Se buscan soluciones del sistema\(A x=b\) para\(A\) una\(n \times m\) matriz. Definir la matriz contigua,\(A^{*}\) a través\(<A x, y>=<x, A^{*} y>\) para todos\(x, y, \in \mathcal{C}^{n}\), entonces ya sea